張景中
從前,公理被認為是自明之理,自明之理是從哪里來的呢?唯心論者認為來自人的先天洞察、上帝給人的啟示、人對理念的認識等,唯物論者認為來自人對客觀世界規(guī)律性的認識,二元論者認為來自人通過先天感知能力對經(jīng)驗的總結(jié),雖眾說紛紜,但有一點是共同的:公理是真理,數(shù)學(xué)家總是受各種各樣哲學(xué)觀點支配的,故數(shù)學(xué)家也傾向于認為公理應(yīng)當(dāng)是自明之理,是真理。
現(xiàn)在,數(shù)學(xué)家的看法變了,他們認為沒有什么自明之理,即使有,也不必要求數(shù)學(xué)公理是真理,數(shù)學(xué)公理是對數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)的約定,什么是直線?直線就是滿足某公理的某種東西,滿足歐幾里得公理,叫歐氏直線;滿足羅巴切夫斯基公理,叫羅氏直線:等等。
討論公理對不對,這對數(shù)學(xué)家來說是沒有意義的,數(shù)學(xué)家只這樣說:如果某一些對象適合于這些公理,它們一定也適合于從這些公理推出的定理,從這個意義上說,數(shù)學(xué)公理總是對的,就如同中國象棋中“單車難破士象全”總是對的一樣,它依賴于下中國象棋的規(guī)則,
但也不是隨便幾條湊起來便可以作為公理,首先,公理不能自相矛盾,也不能推出自相矛盾的東西,這叫作公理的相容性或協(xié)調(diào)性,其次,講究節(jié)約,任一種公理不應(yīng)當(dāng)能從別的公理推出來,能推出來,就作為定理算了,何必算作公理呢?這叫作公理的獨立性,還有一條叫完全性,就是在這個系統(tǒng)中,一切命題的真假都是可以確定的,不過,一般說來,有了前兩條,也就可以了,甚至,有人認為獨立性也不重要,最重要的是相容性,
對公理看法的進步,大大解放了數(shù)學(xué)家的思維,現(xiàn)代數(shù)學(xué)中各種公理層出不窮,誰也不說準(zhǔn)的公理不對,不過,有些公理很有用,很受歡迎,有些公理沒什么用,“束之高閣,并不實行”,建立之后漸漸被人們忘了,甚至沒有人注意它們,
數(shù)學(xué)家也是人,也要吃飯、穿衣,他們自然希望自己的研究于人類有用,盡管他們在邏輯上有建立任何能自圓其說的公理的權(quán)力,但他們總還會想到“有什么用”的問題,這樣,實際上被數(shù)學(xué)家重視的公理,總是在一定程度上反映了人們在社會實踐中的經(jīng)驗,或代表了人類向某一未知領(lǐng)域探索的愿望,從這個意義上說,公理也就不完全是人們?nèi)我獾募s定了。
中學(xué)生數(shù)理化·七年級數(shù)學(xué)人教版2016年5期