劉莉欣，曹云峰，莊麗葵，王 彪

(1.南京航空航天大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京210016;2.南京航空航天大學(xué) 高新技術(shù)研究院，江蘇南京210016)

四旋翼飛行器是一種具有4個(gè)螺旋槳的飛行器，并且4個(gè)螺旋槳呈十字形交叉結(jié)構(gòu)，相對(duì)的四旋翼具有相同的旋轉(zhuǎn)方向，分2組，2組的旋轉(zhuǎn)方向不同.具有垂直起降穩(wěn)定懸停和自主巡航能力.與傳統(tǒng)的直升機(jī)不同，四旋翼直升機(jī)能通過(guò)改變螺旋槳的速度來(lái)實(shí)現(xiàn)各種動(dòng)作.在軍事和民事領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景.

微小型四旋翼飛行器的姿態(tài)取決于4個(gè)直流電機(jī)的轉(zhuǎn)速［1］.為了精確控制電機(jī)的轉(zhuǎn)速，通常對(duì)電機(jī)模型的傳遞函數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，電機(jī)的扭矩和角速度等輸出取決于當(dāng)前輸入電壓.當(dāng)然它們的這種相關(guān)性取決于電機(jī)的電感、電阻、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及摩擦因數(shù)和載荷等因素.用系統(tǒng)辨識(shí)方法確定的傳遞函數(shù)相對(duì)比機(jī)理建模準(zhǔn)確，辨識(shí)得到直流電機(jī)模型的一種方法是利用遞推預(yù)報(bào)誤差方法(RPEM)，該方法利用電壓作為輸入，位置信息作為輸出，有研究者利用一個(gè)加有噪聲的變化電壓作為輸入，位置信息作為輸出來(lái)進(jìn)行辨識(shí)，然而極少能得到準(zhǔn)確模型.系統(tǒng)辨識(shí)方法也廣泛應(yīng)用于非線性機(jī)電一體化系統(tǒng)［2］、異步電機(jī)［3］、數(shù)控機(jī)床［4］和機(jī)器人技術(shù)［5］方面.本文直流電機(jī)模型的辨識(shí)將利用脈沖響應(yīng)來(lái)得到輸出數(shù)據(jù)，通過(guò)最速下降自回歸滑動(dòng)平均模型算法(ARMA)來(lái)將原系統(tǒng)輸出角速度和辨識(shí)模型的角速度之間的誤差降到最小［6］.建立起ARMA模型后通過(guò)脈沖響應(yīng)辨識(shí)出系統(tǒng)的Z變換傳遞函數(shù)模型.

1 直流電機(jī)模型

對(duì)于直流電機(jī)，根據(jù)機(jī)械和電壓守恒有以下2個(gè)等式:

其中T為電機(jī)扭矩，Tload為電機(jī)載荷扭矩，ω為電機(jī)角速度，J為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，b為電機(jī)摩擦因數(shù)，Vin為電機(jī)輸入電壓值，Vemf為電磁式電壓力，i為電機(jī)電流，R為電機(jī)繞組阻值，L是電機(jī)繞組電感.

另外扭矩T和電機(jī)當(dāng)前電流存在比例關(guān)系，電磁電壓Vemf與電機(jī)角速度ω存在比例關(guān)系，

其中Km是電機(jī)機(jī)械常數(shù)，Ke為電機(jī)電力常數(shù).

另外電機(jī)載荷的扭矩可以進(jìn)一步化成包含載荷轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的形式.

將(3)～(5)式代入(1)、(2)，將輸入電壓作為輸入，電機(jī)轉(zhuǎn)速作為輸出并且進(jìn)行拉氏變換，得到電機(jī)輸入輸出模型，如圖1所示.

2 ARMA模型和最速下降算法

系統(tǒng)辨識(shí)指的是通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(系統(tǒng)的輸入和輸出)來(lái)確定系統(tǒng)的模型.

在ARMA模型中，假設(shè)被辨識(shí)的系統(tǒng)滿足以下條件:

輸入輸出值可通過(guò)待辨識(shí)系統(tǒng)的仿真或物理模型的實(shí)際測(cè)量得到，輸入輸出在式(6)中用來(lái)計(jì)算，它們的關(guān)系如圖2所示，aj和bi隨著輸入輸出的值變化而變化，使得誤差最小.

其中p是有效數(shù)據(jù)采樣數(shù)，每個(gè)序列最小二乘逼近值為:

這是我們需要的最小化誤差方程.

最速平滑下降算法可以在此處用來(lái)計(jì)算誤差的最小值，通過(guò)以下求導(dǎo)可得:

最速下降平滑算法被用來(lái)得到以下不斷更新的值:

其中α為步長(zhǎng)，為了得到最佳步長(zhǎng)值，可以利用線性搜索方法，但該方法相對(duì)用時(shí)較長(zhǎng)，參數(shù)確定之后，我們就可以利用計(jì)算ARMA模型的Z變換來(lái)得到待估計(jì)模型的傳遞函數(shù):

我們知道，當(dāng)系統(tǒng)的輸入為脈沖函數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的輸出為y(n)，等于該系統(tǒng)傳遞函數(shù)h(n).因此系統(tǒng)輸出的Z變換等于系統(tǒng)傳遞函數(shù)的Z變換值H(z).

3 仿真結(jié)果

利用脈沖輸入來(lái)使得電機(jī)模型產(chǎn)生角速度的輸出，然后根據(jù)已知的輸入和電機(jī)角速度的輸出，利用ARMA算法對(duì)模型參數(shù)aj和bi進(jìn)行計(jì)算，從而就能得到待辨識(shí)的模型.

對(duì)實(shí)驗(yàn)室飛行器上的電機(jī)進(jìn)行辨識(shí)，已知飛行器400個(gè)輸入數(shù)據(jù)，400個(gè)輸出數(shù)據(jù)，取步長(zhǎng)為5×10-7，5 ×10-6，1 ×10-5，辨識(shí)模型輸入輸出如圖3 ～5所示，可見(jiàn)步長(zhǎng)取5×10-6更加接近電機(jī)實(shí)際輸出模型，步長(zhǎng)越小，待辨識(shí)模型接近實(shí)際模型的速度變慢，而步長(zhǎng)過(guò)大導(dǎo)致電機(jī)待辨識(shí)模型噪聲過(guò)大，最大值與最小值之間差距抖動(dòng)劇烈，模型結(jié)構(gòu)相對(duì)不穩(wěn)定.因此我們?nèi)”容^接近實(shí)際模型的步長(zhǎng)值5×10-6.圖6為實(shí)際電機(jī)模型輸出.

圖6與圖4很相似，一定程度保證了數(shù)據(jù)的有效性.通過(guò)已知的輸入輸出和本文第3章介紹的ARMA及最速下降平滑算法，可以計(jì)算出aj和bi的值，從而得到系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的模型.分別對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行3階、4階和5階的脈沖傳遞函數(shù)的計(jì)算，結(jié)果為

不同階數(shù)脈沖傳遞函數(shù)得到的系統(tǒng)進(jìn)行階躍響應(yīng)，曲線如圖7～9所示.

4 結(jié)語(yǔ)

階躍響應(yīng)輸入值為1，而電機(jī)采用的輸入值為前200個(gè)數(shù)據(jù)是0.15定值，后200個(gè)數(shù)據(jù)是0.圖3中可見(jiàn)，前200 ms時(shí)系統(tǒng)已達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)，電機(jī)輸出峰值在300～350 rad/s，部分值接近400 rad/s，我們對(duì)辨識(shí)出的3階系統(tǒng)模型進(jìn)行階躍輸入，可見(jiàn)輸出值為2 000左右;對(duì)辨識(shí)出的4階系統(tǒng)模型進(jìn)行階躍輸入，可見(jiàn)輸出值為3 000左右;而我們對(duì)辨識(shí)出的5階系統(tǒng)模型進(jìn)行階躍輸入，可見(jiàn)輸出值為3 000左右.3階系統(tǒng)穩(wěn)定值與電機(jī)模型輸出輸入值相比，比4階與5階系統(tǒng)的更接近.可見(jiàn)3階系統(tǒng)更接近系統(tǒng)真實(shí)值.因電機(jī)系統(tǒng)本來(lái)階數(shù)較小，增大階數(shù)反而引進(jìn)了不必要的誤差，并且階數(shù)越大引入的誤差反而越大，未來(lái)我們可以對(duì)輸出信號(hào)進(jìn)行多種階數(shù)的測(cè)試，并對(duì)電機(jī)輸出值進(jìn)行濾波處理，將野值進(jìn)行剔除，這樣所得結(jié)果會(huì)更準(zhǔn)確.

［1］楊成順，楊忠，張強(qiáng).一種新型多旋翼飛行器的建模與反演控制［J］.濟(jì)南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2013(1):52-58.

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