關(guān)于無窮小階數(shù)的幾點(diǎn)注記

楊吉英, 張 娟, 蔡姍姍

(1.保山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,云南 保山678000； 2.昆明理工大學(xué) 津橋?qū)W院工學(xué)系,昆明650106；3.普洱學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,云南 普洱665000)

1 引 言

本文結(jié)合無窮小階數(shù)的定義,給出階數(shù)的相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)以及確定階數(shù)的常用方法,其中無窮小階數(shù)的幾條運(yùn)算性質(zhì),解釋了無窮小內(nèi)容的兩個難點(diǎn):在什么條件下,兩個無窮小可以進(jìn)行階的比較?在等價無窮小代換求極限中,在什么條件下相減和相加的因子能看成一個整體直接代換?

2 主要結(jié)論

在文獻(xiàn)[10]中給出如下無窮小的階數(shù)的定義.

注1 并不是任一無窮小都有確定的階數(shù),即使與一切冪(x-a)α都能比較的.

注2f(x)是x→a時的α階無窮小等價于f(x)與(x-a)α是同階無窮小.

下面給出無窮小的階數(shù)的一些運(yùn)算性質(zhì).這些性質(zhì)可以來解釋初學(xué)者在學(xué)無窮小內(nèi)容時比較困惑的兩個問題:

(i) 是否任意兩個無窮小都可以進(jìn)行階的比較?若不是,那在什么條件下兩個無窮小才可以進(jìn)行比較?

(ii) 在用等價無窮小代換求極限中,什么條件下相減和相加的因子能看成一個整體直接代換?如何代換?

引理1設(shè)x→a, or(f(x))=α, 則存在某一非零實(shí)數(shù)c,使得f(x)～c(x-a)α.

定理2設(shè)x→a, or(f(x))=α, or(g(x))=β,則f(x)與g(x)在x→a是同階無窮小或高階無窮小或低階無窮小.

定理3設(shè)x→a, or(f(x))=α, or(g(x))=β,則有

(i) 若α<β,則or(f(x)±g(x))=or(f(x))；

(iii) 若α>β,則or(f(x)±g(x))=or(g(x)).

故當(dāng)α<β時,or(f(x)±g(x))=or(f(x))；

(ii) ，(iii)同理得證.

此定理可以推廣到有限個階數(shù)存在且不相等的無窮小代數(shù)和情形,即有限個階數(shù)存在且不相等的無窮小代數(shù)和的階數(shù)取決于其中階數(shù)最小的那個無窮小.

在滿足定理3(i)的條件下,有

也就是f(x)±g(x)～f(x).從而可得到如下定理.

定理4設(shè)x→a, or(f(x))=α, or(g(x))=β,有

(i) 若α<β,則[f(x)±g(x)]～f(x)；

(ii) 若α=β,f(x)～c1(x-a)α,g(x)～c2(x-a)α且c1≠?c2,則

[f(x)±g(x)]～(c1±c2)(x-a)α；

(iii) 若α>β,則[f(x)±g(x)]～g(x).

解由于當(dāng)x→0時,or(1-cosx)=2, or(sinx)=1,由定理4有

(1-cosx-sinx)～sinx,

故

(x3+tan2x)～tan2x～x2,

故

若在限運(yùn)算中,要把相加相減因子看成一個整體用等價無窮小代換,那確定無窮小的階數(shù)變得尤為重要,下面給出常用的求無窮小階數(shù)的方法.

根據(jù)無窮小階數(shù)的定義,確定無窮小f(x)(x→a)的階數(shù)主要取決于其等價無窮小中(x-a)α的冪α.

定理6設(shè)x→a, or(f(x))=α, or(g(x))=β,則有

(i) or(f(x)·g(x))=or(f(x))+or(g(x))=α+β；

(iii) 對任意非零實(shí)數(shù)k, or(kf(x))=or(f(x)).

即or(f(x)·g(x))=α+β=or(f(x))+or(g(x))；

(ii)，(iii)同理可證.

定理3給出的是兩個階數(shù)存在的無窮小相加相減后的階數(shù),而通過定理6可以確定兩個階數(shù)存在的無窮小相乘相除后的階數(shù).

定理7設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在0的某個鄰域上有定義,且有直到n階導(dǎo)數(shù),若f(x)-g(x)是x→0時的無窮小,且f(x)-g(x)的帶有penao型余項的Taylor展開式為

f(x)-g(x)=ckxk+o(xk) (ck≠0),

則or(f(x)-g(x))=k.

證由題意有f(x)-g(x)=ckxk+o(xk)(ck≠0),故

且ck≠0,由無窮小階的定義可得結(jié)論成立.

定理7告訴如何求階數(shù)存在的兩個等價無窮小做差后的階數(shù),是定理4(ii)的補(bǔ)充.借助定理7和定理4(ii),可以把等價無窮小代換中相加相減項等價代換做進(jìn)一步的推廣.

例4分別求當(dāng)x→0時,

(i) or(ln(1+3x3))； (ii) or(sin2x(ex-1))=3； (iii) or(tanx-sinx).

(ii) 當(dāng)x→0時,or(ex-1)=1, or(sin2x)=2,由定理6(i)有,or(sin2x(ex-1))=3,也就是sin2x(ex-1)～x3；

(iii) tanx,sinx在x=0處帶有penao型余項的Taylor展開式分別為

由定理7有or(tanx-sinx)=3.

3 結(jié) 論

本文給出了無窮小階數(shù)的若干注記,并從無窮小階數(shù)的角度去統(tǒng)一解釋,并不是任意的兩個無窮小都可以比較,階數(shù)都存在時,就可以做階的比較.以及用等價無窮小代換求極限中,相加相減因子不能直接代換,但在保持代換后整體階數(shù)不變的前提下,可以根據(jù)階數(shù)的大小來進(jìn)行等價代換.最后給出可以通過等價無窮小、無窮小階數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、Taylor公式來確定無窮小的階數(shù)的常用方法.

致謝非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.