包絡(luò)定理及其應(yīng)用

陳頌 閆曉芳

摘 要：包絡(luò)在數(shù)學(xué)中是一個(gè)很基本的概念，在各個(gè)學(xué)科上都有自己獨(dú)特的含義。通過(guò)討論包絡(luò)在數(shù)學(xué)中的概念，研究和數(shù)學(xué)聯(lián)系非常緊密的經(jīng)濟(jì)學(xué)中包絡(luò)的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：包絡(luò)；包絡(luò)定理；克萊羅方程

包絡(luò)，形象地說(shuō)就是許多橢圓形曲線(xiàn)交織，外觀(guān)看起來(lái)是包起來(lái)的一樣，故名包絡(luò)。它在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、地質(zhì)學(xué)、傳統(tǒng)中醫(yī)學(xué)等上都有自己獨(dú)特的含義。本文主要討論包絡(luò)在數(shù)學(xué)中的概念，以及和數(shù)學(xué)聯(lián)系非常緊密的經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用。本文共分五個(gè)部分，具體如下：

一、包絡(luò)的概念

在數(shù)學(xué)上，一族平面直線(xiàn)（或曲線(xiàn)）的“包絡(luò)”（envelope）是指一條與這族直線(xiàn)（或曲線(xiàn)）中任意一條都相切的曲線(xiàn)。假設(shè)這族平面曲線(xiàn)記為F（t，x，y），這里不同的t對(duì)應(yīng)著曲線(xiàn)族中不同的曲線(xiàn)，則包絡(luò)線(xiàn)上的每一點(diǎn)滿(mǎn)足下面的兩條方程：

F（t，x，y）=0■（t，x，y）=0

由這兩條方程消去t后便可得出包絡(luò)線(xiàn)的隱式表示。類(lèi)似地可以定義空間中一族平面（或曲面）的包絡(luò)。

數(shù)學(xué)中包絡(luò)線(xiàn)的例子很多。例如，繡曲線(xiàn)是包絡(luò)線(xiàn)；直線(xiàn)族（A-s）x+sy=（A-s）（s）（其中A是常數(shù)，s是直線(xiàn)族的變量）的包絡(luò)線(xiàn)為拋物線(xiàn)。

二、包絡(luò)在幾何中的概念

幾何中有包絡(luò)原理（the envelope principle），它的定義為：平面內(nèi)，以A、B為頂點(diǎn)的一條線(xiàn)段的一側(cè)有若干個(gè)點(diǎn)，與A，B相連構(gòu)成一個(gè)凸多邊形，則該圖形除AB外所有邊之和大于A(yíng)B；

若在該圖形之外且在A(yíng)B同側(cè)有另外若干點(diǎn)與AB構(gòu)成另一個(gè)凸多邊形，則此多邊形的周長(zhǎng)大于上一圖形的周長(zhǎng)。

利用此原理，可證明一個(gè)圓的周長(zhǎng)大于其內(nèi)接凸多邊形，小于其外切凸多邊形，進(jìn)而可以不斷地縮小π的取值范圍。

三、包絡(luò)在微分方程中的概念

在微分方程中，一階微分方程的奇解是通解曲線(xiàn)族的包絡(luò)。例如，在常微分方程克萊羅（Clairaut）方程u=tu′+f（u）′中，兩邊對(duì)t取導(dǎo)數(shù)，得：u′=u′+tu′+f′（u′）u″整理得：（t+f′（u′））u″=0

由此可知u″=0或u″=-t.當(dāng)u″=0時(shí)，u=Ct+f（C），稱(chēng)為克萊羅方程的一般解。當(dāng)u′=-t時(shí)，只有一個(gè)解，其圖像是一般解的圖像的包絡(luò)線(xiàn)。也就是說(shuō)，克萊羅方程的通解是直線(xiàn)族，而奇解是克萊羅方程的奇積分曲線(xiàn)，對(duì)應(yīng)的是通解的包絡(luò)。用圖形可以非常直觀(guān)的表示出來(lái)，這樣也可以更好地理解這一概念。

四、包絡(luò)在光學(xué)中的應(yīng)用

科學(xué)家惠更斯提出了包絡(luò)面理論，他認(rèn)為，在波的傳播過(guò)程中，總可以找到同相位各點(diǎn)的幾何位置，這些點(diǎn)的軌跡是一個(gè)等相位面，叫做波面（即包絡(luò)面）。

惠更斯是世界知名物理學(xué)家、天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家和發(fā)明家。他曾提出次波的假設(shè)來(lái)闡述波的傳播現(xiàn)象，創(chuàng)建惠更斯原理。惠更斯原理可表述如下：任何時(shí)刻波面上的每一點(diǎn)都可作為次波的波源，各自發(fā)出球面次波；在以后的任何時(shí)刻，所有這些次波面的包絡(luò)面形成整個(gè)波在該時(shí)刻的新波面。光的直線(xiàn)傳播、反射、折射等都能以此來(lái)進(jìn)行較好的解釋。此外，惠更斯原理還可解釋晶體的雙折射現(xiàn)象。

起初惠更斯原理是比較簡(jiǎn)單的，用它只能解釋波繞過(guò)障礙物的非直線(xiàn)傳播，而不能解釋衍射現(xiàn)象產(chǎn)生的明暗條紋。菲涅耳在惠更斯原理的基礎(chǔ)上，補(bǔ)充了描述次波的基本特征——位相和振幅的定量表示式，并增加了“次波相干疊加”的原理，從而發(fā)展成為惠更斯—菲涅耳原理。

菲涅耳以惠更斯原理和干涉原理為基礎(chǔ)，用新的定量形式建立了惠更斯—菲涅耳原理，完善了光的衍射理論。由于他在物理光學(xué)研究中的重大成就，被譽(yù)為“物理光學(xué)的締造者”。

五、包絡(luò)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

包絡(luò)在經(jīng)濟(jì)學(xué)上指的是每條包絡(luò)線(xiàn)上，在連續(xù)變化的每一個(gè)產(chǎn)量水平上，都存在著長(zhǎng)期成本LTC曲線(xiàn)和一條短期成本STC曲線(xiàn)的相切點(diǎn)。

經(jīng)濟(jì)上的包絡(luò)定理考慮含參量a的函數(shù)f（x，a）的無(wú)條件極值問(wèn)題（x是內(nèi)生變量，a是外生變量），顯然，其最優(yōu)解V是參量a的函數(shù)，即V（a）。

包絡(luò)定理指出：V對(duì)a的導(dǎo)數(shù)等于f對(duì)a的偏導(dǎo)數(shù)（注意是f對(duì)“a所在位”變量的偏導(dǎo)數(shù)）。

包絡(luò)定理主要用于比較靜態(tài)分析。比如，價(jià)格P1變化對(duì)效用最大值的邊際影響，包絡(luò)定理，求拉格朗日方程對(duì)P1的偏導(dǎo)就能得到，其結(jié)果是-X1*λ，其中X1是需求量，λ是拉格朗日乘子。

這里注意，事實(shí)上λ和X1也都是價(jià)格的函數(shù)。但包絡(luò)定理的結(jié)論是，在求偏導(dǎo)的時(shí)候不用考慮這一點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳維桓.微分幾何[M].北京大學(xué)出版社，2006.

[2]Eugene Siberberg，Wing Suen.The Siructure of Ecinomics[M].北京：清華大學(xué)出版社，2003.

作者簡(jiǎn)介：陳頌，女，1985年7月出生，碩士，就職于河南省永城市永城職業(yè)學(xué)院，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。

閆曉芳，女，1980年5月出生，碩士，就職于河南省永城市永城職業(yè)學(xué)院，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。