朱雙榮

摘 要： 本文先構造冪級數求其和函數或將給定函數展開成傅立葉級數，再在收斂域內給自變量取適當的值以得到數項級數的和.

關鍵詞： 交錯級數 冪級數 傅立葉級數 和函數

數項級數的求和是學生學習的一個難點，碰到這類題目時，除了有少數數項級數的和可以根據定義求部分和數列的極限得到以外，大部分數項級數的求和要通過其他途徑得到，比如通過一個冪級數的和函數或者某一個函數的傅立葉級數展開式在它們的收斂域內取某個特定的值時對應得到.下面求一個典型的交錯級數■（-1）■■的和.

根據萊布尼茲判別法易知，交錯級數

■（-1）■■=1-■+■-■+...+（-1）■■+...

是收斂的，那么其和是多少呢？它的和通過定義求部分和數列的極限是無法得到的，以下從不同的角度考慮其和的求法.

解法1：構造一個冪級數

令S（x）=x-■x■+■x■-■x■+...+（-1）■■x■+...

可以求得該冪級數的收斂域為（-1，+1]，下面來求該冪級數的和函數S（x）.

逐項求導得 S′（x）=1-x■+x■-x■+...+（-1）■x■+...=■，

所以S（x）=？蘩■■■dx=arctanx，

即arctanx=x-■x■+■x■-■x■+...+（-1）■■x■+...，

將x=1代入上式得arctan1=■=1-■+■-■+...+（-1）■■+....

即交錯級數■（-1）■■=1-■+■-■+...+（-1）■■+...的和為■.

解法2：寫出給定函數的傅立葉級數展開式

（1）設f（x）是以2π為周期的函數，它在[0，2π]上的表示式為f（x）=■，將f（x）展開為傅立葉級數.

由于傅立葉系數為

a■=■？蘩■■■dx=■[πx-■]■■=0；

a■=■？蘩■■■cosnxdx=■[■sinnx-■cosnx]■■=0（n=1，2，3，...）；

b■=■？蘩■■■sinnxdx=■[-■cosnx-■sinnx]■■=■（n=1，2，3，...）.

因此，

f（x）=■=sinx+■+■+...+■+...

其中且x∈（-∞，+∞），且x≠2kπ，k=0，±1，±2，±3...

在展開式中令x=■，即得

■（-1）■■=1-■+■-■+...+（-1）■■+...=■.

（2）已知鋸齒波函數f（x）是以2π為周期的周期函數，且 f（x）=x，（-π≤x<π），將其展開成傅立葉級數.

易知f（x）為奇函數，所以其傅立葉級數為正弦級數，且

a■=0（n=0，1，2，...）；

b■=■？蘩■■f（x）sinnxdx=■？蘩■■xsinnxdx

=■[-■xcosnx+■sinnx]■■

=-■cosnπ=（-1）■■（n=1，2，3，...）

因此f（x）的傅立葉級數展開式為

f（x）=x=2[sinx-■sin2x+■sin3x-■sin4x+...+（-1）■■sinnx+...]，

其中x∈（-∞，+∞），且x≠（2k+1）π，k=0，±1，±2，...

在展開式中取x=■，得■=2[1-■+■-■+...+（-1）■■+...]，

從而■（-1）■■=1-■+■-■+...+（-1）■■+...=■.

解法3：考慮復數域內的冪級數及復數相等的條件

先看兩個結論：（1）lnz=ln（|z|e■=ln|z|）+iargz[1]；

（2）■■=ln■[2]，其中z=e■.

注意到■■=ln■，其中z=e■，

而■■=■■+i■■；

ln■=-ln（1-cosx-isinx）

=-■ln（2-2cosx）+iarctan■

=-ln|2sin■|+iarctan■.

根據復數相等的條件有

■■=arctan■

=arctan（cot■）

=arctan（tan■）

=■，（0

在上式中令x=■，有■■sin■=■，即

■（-1）■■=1-■+■-■+...+（-1）■■+...=■.

參考文獻：

[1]費定暉，周學圣.數學分析習題解[M].濟南：山東科學技術出版社.

[2]華東師范大學數學系.數學分析（第三版）[M]北京：高等教育出版社，2001.