胡少偉，魯文妍

(1.南京水利科學(xué)研究院，江蘇 南京210024;2.水文水資源與水利工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京210024)

混凝土是復(fù)雜的非線(xiàn)性脆性材料，其斷裂問(wèn)題受到廣泛關(guān)注. 自1961年混凝土斷裂力學(xué)誕生以來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)展了廣泛的研究，提出許多混凝土斷裂模型，如虛擬裂縫模型［1］、等效裂縫模型［2］、尺寸效應(yīng)模型［3］、雙K 斷裂模型［4］等. 這些模型在描述混凝土斷裂特性方面各具特色，同時(shí)也有其各自的局限性.近年來(lái)，由Belytschko 和Black 提出的擴(kuò)展有限元法［5］得到不斷發(fā)展，它將非連續(xù)富集技術(shù)應(yīng)用到有限元中，以單位分解法［6］來(lái)確定裂縫擴(kuò)展路徑，具有需網(wǎng)格細(xì)化、允許裂縫在連續(xù)單元內(nèi)部擴(kuò)展等優(yōu)點(diǎn).筆者介紹了擴(kuò)展有限元法的基本原理，給出了擴(kuò)展有限元法分析斷裂問(wèn)題的實(shí)現(xiàn)方法，并基于最大主拉應(yīng)力牽引損傷開(kāi)裂準(zhǔn)則和線(xiàn)性軟化損傷模型，應(yīng)用擴(kuò)展有限元法模擬了含初始裂紋的混凝土三點(diǎn)彎曲梁的開(kāi)裂擴(kuò)展過(guò)程，展示了擴(kuò)展有限元法在混凝土開(kāi)裂擴(kuò)展分析中的獨(dú)特優(yōu)勢(shì).

1 擴(kuò)展有限元法的基本原理

擴(kuò)展有限元法(Extended Finite Element Method，XFEM)利用裂紋富集技術(shù)來(lái)考慮裂縫尖端奇異應(yīng)力場(chǎng)和裂縫面兩側(cè)位移的不連續(xù)性，并引入水平集函數(shù)來(lái)跟蹤裂縫擴(kuò)展路徑和確定裂縫尖端位置［7］.它最基本的思想是用一些局部附加函數(shù)來(lái)改進(jìn)傳統(tǒng)有限元，使得裂縫幾何獨(dú)立于計(jì)算網(wǎng)格.XFEM 富集模式如圖1所示.

圖1 XFEM 富集模式

在裂縫所在區(qū)域(圖1)定義了Heaviside 函數(shù)和裂縫尖端富集函數(shù)，其位移表達(dá)式為

式中:Ni為i 點(diǎn)常規(guī)有限元形函數(shù);ui為常規(guī)有限元節(jié)點(diǎn)位移;H(x)為Heaviside 階躍函數(shù);Nj為j 點(diǎn)與Heaviside 函數(shù)相關(guān)的形函數(shù);bj為被裂縫貫穿的單元結(jié)點(diǎn)附加自由度(圖1中方點(diǎn)所示);Fl(x)為裂縫尖端富集函數(shù);Nk為k 點(diǎn)與裂縫尖端彈性富集函數(shù)相關(guān)的形函數(shù);ck為裂縫尖端所在單元的結(jié)點(diǎn)附加自由度(圖1中圓點(diǎn)所示);I 為網(wǎng)格中所有節(jié)點(diǎn)的集合;J 為裂縫貫穿單元節(jié)點(diǎn)的集合;K 為裂縫尖端所在單元節(jié)點(diǎn)的集合.

對(duì)于沒(méi)有加強(qiáng)的區(qū)域，式(1)位移函數(shù)退化為常規(guī)有限元位移函數(shù):

裂縫貫穿單元只有Heaviside 階躍函數(shù)加強(qiáng)，其位移函數(shù)為

裂縫尖端所在單元只有裂縫尖端函數(shù)加強(qiáng)，其位移函數(shù)為

擴(kuò)展有限元應(yīng)用水平集函數(shù)來(lái)追蹤裂縫擴(kuò)展迭代中裂縫面和裂縫尖端位置. Heaviside 階躍函數(shù)通過(guò)裂縫面水平集函數(shù)φ(x)來(lái)描述裂縫面單元內(nèi)部位移的不連續(xù)性，具體公式為

式中φ(x)為裂縫面水平集函數(shù)(如圖2所示)，代表Heaviside 函數(shù)加強(qiáng)點(diǎn)相對(duì)于裂縫面的垂直距離(包含正負(fù)).

裂縫尖端水平集函數(shù)ψ(x)(如圖2所示)代表裂縫尖端加強(qiáng)點(diǎn)相對(duì)于裂縫前沿邊界的垂直距離(包含正負(fù)).裂縫尖端加強(qiáng)函數(shù)定義了裂縫尖端單元的不連續(xù)性，具體公式為

式中r 和θ 為局部裂紋尖端場(chǎng)坐標(biāo)系統(tǒng)中的極坐標(biāo).

圖2 裂縫水平集函數(shù)

2 裂縫擴(kuò)展模擬方法

一般認(rèn)為混凝土材料是脆性材料，裂紋萌生準(zhǔn)則采用最大主應(yīng)力準(zhǔn)則(即當(dāng)最大主應(yīng)力值達(dá)到材料屈服應(yīng)力值時(shí)裂紋萌生)，表達(dá)式為

應(yīng)用最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則來(lái)確定裂縫每一步擴(kuò)展的方向，根據(jù)這一準(zhǔn)則，裂縫擴(kuò)展角計(jì)算如下:

式中KⅠ，KⅡ分別為Ⅰ型和Ⅱ型斷裂應(yīng)力強(qiáng)度因子.

3 單邊切口混凝土三點(diǎn)彎曲梁模型數(shù)值分析

3.1 模型建立

混凝土三點(diǎn)彎曲梁的幾何尺寸、受力及邊界條件如圖3所示.試件跨中位置設(shè)置一預(yù)制裂縫，初始裂縫長(zhǎng)度為80 mm，即初始縫高比α0(α0=a0/h)為0.4.混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C35，材料物理參數(shù)見(jiàn)表1，混凝土采用最大主拉應(yīng)力牽引損傷開(kāi)裂準(zhǔn)則和基于能量的線(xiàn)性軟化損傷模型.

圖3 混凝土三點(diǎn)彎曲梁幾何形式、受力及邊界條件(單位:mm)

表1 混凝土材料物理力學(xué)參數(shù)

利用大型有限元軟件ABAQUS，建立含有初始裂縫的混凝土三點(diǎn)彎曲梁數(shù)值模型，如圖4所示.模型左端采用固定支座，右端采用滑動(dòng)支座，跨中位置施加一豎向位移荷載，并約束除豎向以外的其他自由度.混凝土梁采用C3D8R 實(shí)體單元，對(duì)梁中部裂紋擴(kuò)展區(qū)域網(wǎng)格進(jìn)行適當(dāng)加密. 加載點(diǎn)下墊塊作用為防止加載過(guò)程中梁上加載面及支座處出現(xiàn)應(yīng)力集中，但若將墊塊與梁綁定則人為引入了過(guò)多的約束，而將墊塊與混凝土梁之間設(shè)置接觸則存在收斂問(wèn)題，因此建模時(shí)在支座和加載點(diǎn)采用耦合點(diǎn)位移加載，耦合點(diǎn)位于墊塊中心軸線(xiàn)上.

圖4 混凝土三點(diǎn)彎曲梁數(shù)值模型

3.2 結(jié)果分析

利用所建立的模型對(duì)混凝土三點(diǎn)彎曲梁進(jìn)行數(shù)值模擬，將模擬結(jié)果與課題組所做同尺寸試件試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.圖5為混凝土三點(diǎn)彎曲梁荷載－裂縫張口位移(F－CMOD)模擬結(jié)果曲線(xiàn)與試驗(yàn)結(jié)果曲線(xiàn)的對(duì)比，兩曲線(xiàn)大體吻合.

圖5 混凝土三點(diǎn)彎曲梁F－CMOD 曲線(xiàn)

由圖5可知:在初始階段，荷載與張口位移之間呈線(xiàn)性關(guān)系，加載至某一步使混凝土開(kāi)裂后，荷載與裂縫口張開(kāi)位移之間呈現(xiàn)出非線(xiàn)性關(guān)系;荷載增大到峰值荷載后開(kāi)始卸載. 試驗(yàn)結(jié)果荷載峰值(失穩(wěn)荷載)略高于模擬值，這主要是由于實(shí)際支座與試驗(yàn)臺(tái)面之間的摩擦阻礙混凝土梁裂縫開(kāi)裂，因此需要額外的力克服這部分摩擦力.此外，達(dá)到失穩(wěn)荷載后，試驗(yàn)曲線(xiàn)迅速下降，而模擬曲線(xiàn)下降相對(duì)較平緩，這是由于實(shí)際試驗(yàn)過(guò)程中混凝土梁本身的重力加速了裂縫的開(kāi)裂.

表2為三點(diǎn)彎曲梁模擬及試驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的對(duì)比匯總.同樣由于試驗(yàn)中重力及摩擦力的存在，使得模擬值與試驗(yàn)值在起裂韌度、失穩(wěn)韌度等方面存在差異，但總體相差不大.

表2 三點(diǎn)彎曲梁計(jì)算結(jié)果

圖6為混凝土三點(diǎn)彎曲梁最大主應(yīng)力云圖. 由圖6可知，加載初期梁頂端中部加載部位為壓應(yīng)力區(qū)，裂縫擴(kuò)展過(guò)程中在裂縫尖端區(qū)域拉應(yīng)力較大，存在局部應(yīng)力集中現(xiàn)象.

圖6 混凝土三點(diǎn)彎曲梁最大主應(yīng)力云圖(單位:Pa)

初始裂縫經(jīng)過(guò)10 步擴(kuò)展在梁的整個(gè)高度方向 貫穿，每次擴(kuò)展均貫穿一整個(gè)單元.以初始裂縫尖端相鄰單元13683 為例進(jìn)行分析，圖7為單元13683應(yīng)變與剛度退化標(biāo)量(SDEG)和分析步關(guān)系曲線(xiàn).在初始階段SDEG =0，表明混凝土單元仍然完好;當(dāng)t=0.022 4 時(shí)，SDEG 開(kāi)始增大，此時(shí)隨著載荷增加混凝土開(kāi)始發(fā)生損傷，微裂縫產(chǎn)生，混凝土單元?jiǎng)偠戎饾u退化;到t=0.031 9 時(shí)，SDEG 達(dá)到1，此時(shí)混凝土單元發(fā)生開(kāi)裂，對(duì)應(yīng)應(yīng)變曲線(xiàn)的峰值，即一旦開(kāi)裂，混凝土釋放能量，應(yīng)變開(kāi)始逐漸減小.SDEG 由0到1 經(jīng)歷的時(shí)間非常短，即裂紋萌生后不久就發(fā)生開(kāi)裂，這符合混凝土脆性材料的特性. 隨著荷載增大，裂縫以單元為單位不斷向前擴(kuò)展.

圖7 單元13683 應(yīng)變與SDEG 和分析步的關(guān)系曲線(xiàn)

4 結(jié) 語(yǔ)

基于最大主拉應(yīng)力牽引損傷開(kāi)裂準(zhǔn)則，應(yīng)用擴(kuò)展有限元技術(shù)對(duì)含初始裂縫的C35 混凝土梁進(jìn)行了三點(diǎn)彎曲數(shù)值模擬，依據(jù)基于能量的線(xiàn)性軟化損傷模型，模擬了混凝土梁在含有初始裂縫情況下從加載到失穩(wěn)破壞的全過(guò)程，獲得了裂紋萌生、擴(kuò)展的過(guò)程及破壞形態(tài)，分析了裂縫以單元為單位向前擴(kuò)展的損傷演化過(guò)程. 將模擬結(jié)果與相關(guān)試驗(yàn)進(jìn)行了對(duì)比分析，二者具有較好的吻合性，分析認(rèn)為存在的差異主要是由于混凝土梁自重、支座摩擦力，此外還可能是材料參數(shù)等原因造成的.

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