基于Bayes小子樣理論的艦炮彈丸落點(diǎn)散布方差估計(jì)＊

馬 康

（92941部隊(duì) 葫蘆島 125001）

1 引言

為了對(duì)艦炮武器系統(tǒng)進(jìn)行定型，必須進(jìn)行定性試驗(yàn)，對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析以確定武器系統(tǒng)的性能指標(biāo)。但以頻率穩(wěn)定性為出發(fā)點(diǎn)的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論是以大子樣為分析基礎(chǔ)，而昂貴的武器系統(tǒng)若進(jìn)行大量的試驗(yàn)是難以承受的。在只能進(jìn)行少量試驗(yàn)的前提下，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論的有效性將大為降低。在這種情況下，Bayes小子樣統(tǒng)計(jì)理論得到了廣泛的重視和發(fā)展［1～6］，并已廣泛應(yīng)用于艦炮武器系統(tǒng)試驗(yàn)中［7～10］。

Bayes方法綜合樣本信息與先驗(yàn)信息（包括專家意見(jiàn)、歷史數(shù)據(jù)等）組成較完整的后驗(yàn)信息，在后驗(yàn)分布的基礎(chǔ)上進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，為解決小樣本問(wèn)題提出了一系列方法。本文重點(diǎn)研究彈點(diǎn)散布方差的估計(jì)問(wèn)題，提出動(dòng)態(tài)修正Bayes估計(jì)模型。

2 Bayes參數(shù)統(tǒng)計(jì)模型

參數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)構(gòu)（X，B，｛pθ：θ∈Θ｝），其中參數(shù)θ是一個(gè)未知量，X＝（X1，…，Xn）T是其中一個(gè)樣本。Bayes學(xué)派的基本觀點(diǎn)是：任一未知量θ都可看作隨機(jī)變量，具有不確定性，可用一個(gè)概率分布π（θ）去描述，這個(gè)分布稱為先驗(yàn)分布。給定θ后，樣本X＝（X1，…，Xn）T的密度函數(shù)為條件密度函數(shù)f（x｜θ）。

由Bayes公式可得：

式（1）確定的后驗(yàn)分布集中了樣本和先驗(yàn)信息中有關(guān)θ的所有信息。后驗(yàn)分布族是Bayes參數(shù)估計(jì)及Bayes統(tǒng)計(jì)推斷的出發(fā)點(diǎn)。這里，樣本觀測(cè)值是確定的，θ是隨機(jī)的。通常記為

其中f（x1，…，xn｜θ）＝L（θ｜x1，…，xn）為似然函數(shù)，是定義在Θ上的θ的函數(shù)，式中“∞”表示該符號(hào)兩邊公差一個(gè)常數(shù)因子。式（2）可以描述多個(gè)觀測(cè)值相繼得到時(shí)，關(guān)于θ的信息不斷更新。

當(dāng)?shù)玫降谝粋€(gè)觀測(cè)值x1時(shí)，有：

當(dāng)?shù)玫降诙€(gè)觀測(cè)值x2時(shí)，有：

一般地，對(duì)于m＝2，…，n有：

即所謂“先驗(yàn)”與“后驗(yàn)”是相對(duì)的。試驗(yàn)中我們不斷獲取新的數(shù)據(jù)信息，通過(guò)Bayes定理對(duì)后驗(yàn)分布進(jìn)行動(dòng)態(tài)修正，Bayes方法實(shí)質(zhì)上描述了一個(gè)如何利用采樣信息修正和改進(jìn)現(xiàn)有的概率分布的規(guī)律。

3 彈丸落點(diǎn)方差的Bayes估計(jì)

3.1 基于IGamma分布的先驗(yàn)分布

樣本數(shù)據(jù)的條件密度函數(shù)為

選取先驗(yàn)分布為IGamma分布，記為θ～I(xiàn)G（α，β），則有：

IGamma（α，β）分布函數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差分別為

聯(lián)合式（8）和式（9），可得：

3.2 彈丸落點(diǎn)方差θ的估計(jì)

假設(shè)在鑒定試驗(yàn)之前開(kāi)展了前期的研制試驗(yàn)，研制試驗(yàn)中測(cè)得m組彈丸落點(diǎn)數(shù)據(jù)d1，d2，…，dm，其中di為一維空間中彈點(diǎn)到靶心的距離。則彈丸落點(diǎn)的均值為

第i組彈丸的方差為

利用式（10）和式（11）可對(duì)參數(shù)α和β進(jìn)行估計(jì)：

式中：

鑒定試驗(yàn)中，測(cè)得n組彈丸落點(diǎn)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由Bayes定理可得：

聯(lián)合式（6）和式（18）可得：

式中：

由式（19）可知，后驗(yàn)分布服從參數(shù)α1＝α＋s／2，β1＝β＋n／2的IG（α1，β1）分布。

對(duì)后驗(yàn)分布函數(shù)求數(shù)學(xué)期望得θ的Bayes估計(jì)可得：

式中：

由式（21）～式（24）可知，后驗(yàn)均值是先驗(yàn)均值與樣本信息的加權(quán)和，其中E（θ）為先驗(yàn)均值（即研制試驗(yàn)）為鑒定試驗(yàn)樣本信息中θ的無(wú)偏估計(jì)，ω為先驗(yàn)權(quán)重，υ為后驗(yàn)權(quán)重。顯然，ω是鑒定試驗(yàn)測(cè)得的樣本數(shù)量n的單調(diào)遞減函數(shù)，υ是鑒定試驗(yàn)測(cè)得的樣本數(shù)量n的單調(diào)遞增函數(shù)。當(dāng)n較小時(shí)，先驗(yàn)信息占主導(dǎo)地位，當(dāng)n逐漸增加，鑒定試驗(yàn)的數(shù)據(jù)信息對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的評(píng)估作用逐漸增加。

4 彈丸落點(diǎn)方差的動(dòng)態(tài)修正Bayes估計(jì)

隨著武器裝備研制方案的不斷改進(jìn)，武器試驗(yàn)鑒定數(shù)據(jù)也會(huì)不斷更新和增加，因此，彈點(diǎn)散布方差的估計(jì)也是一個(gè)動(dòng)態(tài)修正的過(guò)程。由式（21）～式（24）可知后驗(yàn)均值是先驗(yàn)均值與樣本信息的加權(quán)和，一次次通過(guò)獲得新的數(shù)據(jù)樣本信息去修正原估計(jì)，由于先驗(yàn)信息和后驗(yàn)信息的相對(duì)性，每次修正得到的后驗(yàn)均值又可作為新的估計(jì)的先驗(yàn)均值。

設(shè)研制試驗(yàn)中彈丸落點(diǎn)分布（即先驗(yàn)分布）為θ～I(xiàn)G（α0，β0），則第i＋1次彈點(diǎn)散布方差估計(jì)的動(dòng)態(tài)修正迭代為

式中，E（θi－1｜xi－1）和E（θi｜xi）分別為第i－1次和第i次彈點(diǎn)散布方差的Bayes估計(jì)的后驗(yàn)均值；為第i次樣本方差的無(wú)偏估計(jì)；ωi－1為第i－1次估計(jì)時(shí)的先驗(yàn)權(quán)重；υi－1為第i－1次估計(jì)時(shí)的樣本信息權(quán)重。

5 數(shù)值算例

5.1 先驗(yàn)分布的參數(shù)估計(jì)計(jì)算

表1 模擬產(chǎn)生的8組隨機(jī)數(shù)及其方差

5.2 先驗(yàn)分布的參數(shù)估計(jì)計(jì)算

由于研制試驗(yàn)信息服從IGamma分布，將表1的數(shù)據(jù)代入式（14）～式（17），可實(shí)現(xiàn)對(duì)IGamma分布的參數(shù)α和β進(jìn)行估計(jì)。經(jīng)計(jì)算可得：

5.3 鑒定試驗(yàn)隨機(jī)數(shù)據(jù)的生成

5.4 彈丸落點(diǎn)方差的矩估計(jì)

對(duì)表2給出的20組彈丸落點(diǎn)的仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行矩估計(jì)，其原理為

表3給出了利用矩估計(jì)法對(duì)表2中20組數(shù)據(jù)的估計(jì)值。

5.5 彈丸落點(diǎn)方差的動(dòng)態(tài)Bayes估計(jì)

本節(jié)以表1中序號(hào)1的6組測(cè)量數(shù)據(jù)為例，給出動(dòng)態(tài)Bayes估計(jì)的具體計(jì)算過(guò)程。

考慮第一個(gè)樣本x1＝11.4146后，此時(shí)n＝1，彈丸落點(diǎn)方差的后驗(yàn)估計(jì)為

式中：

表2 模擬產(chǎn)生的20次測(cè)量數(shù)據(jù)

表3 20組仿真數(shù)據(jù)的矩估計(jì)方差

將式（36）～式（39）代人式（35）可求出考慮第一個(gè)測(cè)量值后的后驗(yàn)均值E（θ1｜x1）為

考慮第2個(gè)測(cè)量點(diǎn)x2＝－14.7647后，此時(shí)n＝2，彈丸落點(diǎn)方差的后驗(yàn)估計(jì)為

將式（42）～式（44）代人式（41）可求出考慮第一個(gè)測(cè)量值后的后驗(yàn)均值E（θ2｜x2）為

按照如上的動(dòng)態(tài)Bayes估計(jì)方法對(duì)6個(gè)測(cè)量點(diǎn)逐一進(jìn)行計(jì)算，最終可以得到考慮第6個(gè)測(cè)量點(diǎn)后的彈丸落點(diǎn)方差的后驗(yàn)估計(jì)為

5.6 動(dòng)態(tài)Bayes估計(jì)和矩估計(jì)的比較

表4給出了利用動(dòng)態(tài)Bayes估計(jì)法對(duì)表2中20組數(shù)據(jù)的估計(jì)值。

表4 20組仿真數(shù)據(jù)的Bayes估計(jì)值

圖1給出了20組仿真測(cè)量點(diǎn)的真實(shí)均方差、傳統(tǒng)矩估計(jì)算法結(jié)果和動(dòng)態(tài)修正Bayes算法結(jié)果。由圖1可以看出，動(dòng)態(tài)Bayes算法明顯精度高。

圖1 動(dòng)態(tài)修正Bayes算法和傳統(tǒng)算法仿真結(jié)果

6 結(jié)語(yǔ)

基于后驗(yàn)均值是先驗(yàn)均值的加權(quán)和，以及樣本值是在武器產(chǎn)品不斷改進(jìn)的試驗(yàn)鑒定過(guò)程中獲得的原理，本研究采用動(dòng)態(tài)修正Bayes參數(shù)估計(jì)法，利用先驗(yàn)信息和后驗(yàn)信息的相對(duì)性，將先驗(yàn)信息與當(dāng)前樣本充分結(jié)合，由迭代法求得后驗(yàn)均值作為參數(shù)估計(jì)，解決了由于小樣本而導(dǎo)致的用傳統(tǒng)矩估計(jì)法無(wú)法給出有效評(píng)估的問(wèn)題。本文進(jìn)一步給出了數(shù)值算例，結(jié)果表明，相對(duì)于傳統(tǒng)的矩估計(jì)，方差的動(dòng)態(tài)修正Bayes估計(jì)明顯提高了估計(jì)精度，解決了小樣本帶來(lái)的問(wèn)題。

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