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      運(yùn)用余弦定理解三角形的一類錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)

      2014-11-29 16:43:32施元蘭
      關(guān)鍵詞:正數(shù)對(duì)角余弦定理

      施元蘭

      正弦定理、余弦定理都是揭示三角形邊角之間數(shù)量關(guān)系的重要定理,要求能夠運(yùn)用正余弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題.學(xué)了正、余弦定理后,不少同學(xué)為判斷三角形的解的個(gè)數(shù)而煩惱,當(dāng)三角形中已知兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí),可能出現(xiàn)一解、二解、無解等情況,雖然書上也有相應(yīng)的方法,可是一些同學(xué)茫然依舊.

      近日在網(wǎng)上拜讀了不少關(guān)于如何判斷三角形的解的個(gè)數(shù)的文章,不少文章都認(rèn)為在△ABC中,已知a,b和角A,常??蓪?duì)角A應(yīng)用余弦定理,并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2bccosA+b2-a2=0,若該方程無解或只有負(fù)數(shù)解,則該三角形無解;若方程有一個(gè)正數(shù)解,則該三角形有一解;若方程有兩個(gè)不等的正數(shù)解,則該三角形有兩解.

      本人最近正好遇到當(dāng)三角形中已知兩邊和其中一邊的對(duì)角求解第三邊的問題,發(fā)現(xiàn)這類觀念有不當(dāng)之處.

      請(qǐng)看下例:

      例1 在△ABC中,a=2,b=7,B=60°,則c= .

      已知兩邊及其中一邊對(duì)角利用正弦定理求解,解法如下:

      在△ABC中,由正弦定理asinA=bsinB=csinC,

      得sinA=asinBb=2·327=37,

      因?yàn)閟inC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB.

      又因?yàn)閍

      因?yàn)閟inA=37,所以cosA=467,

      所以sinC=37·12+467·32=(46+1)143.

      在△ABC中由正弦定理asinA=bsinB=csinC,

      得c=bsinCsinB=7·(46+1)14332=46+1.

      讀者不難看出本例已知兩邊及其中一邊對(duì)角,利用正弦定理程序的繁瑣性、計(jì)算的復(fù)雜性不言而喻,下面請(qǐng)看利用余弦定理解決本例的過程:

      在△ABC中,由余弦定理得

      cosB=a2+c2-b22ac=22+c2-722×2×c=cos60°,即c2-2c-45=0,解得c=46+1(舍負(fù)),所以c=46+1.

      本例利用余弦定理程序的簡(jiǎn)潔、計(jì)算的簡(jiǎn)單一目了然.本解法中對(duì)角B應(yīng)用余弦定理,并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0,由于該方程僅有一個(gè)正數(shù)解,故該三角形有且僅有一解.而下面筆者要舉的兩個(gè)例子一個(gè)是利用余弦定理時(shí)關(guān)于c的一元二次方程有兩正根,三角形有兩解;一個(gè)是利用余弦定理時(shí)關(guān)于c的一元二次方程有兩個(gè)正根,但三角形卻僅有一解.

      例2 在△ABC中,已知a=8,b=7,B=60°,則c= .

      本例如何利用正弦定理解決以及利用正弦定理解決的缺點(diǎn)不再贅述,下面利用余弦定理來解決問題:

      在△ABC中,由余弦定理得

      cosB=a2+c2-b22ac=82+c2-722×8×c=cos60°,

      即c2-8c+15=0,解得c=3或c=5,

      事實(shí)上,當(dāng)c=3時(shí),可以有a=8,b=7,B=60°;而c=5時(shí)同樣可以有a=8,b=7,B=60°,故本題有兩解.

      本例中僅僅是將例1中邊a的值做了改變,其最終結(jié)果導(dǎo)致我們?cè)趯?duì)角B應(yīng)用余弦定理,并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0時(shí)關(guān)于c的方程有兩正數(shù)解,故該三角形有兩解.再看下例:

      例3 在△ABC中,已知,a=6,b=5,A=2B,則c的值是 .

      本例可以先利用正弦定理結(jié)合A與B的關(guān)系求出cosB=35,然后求出sinB、sinA、cosA、sinC,最后再次利用正弦定理解決問題,下面請(qǐng)看求出cosB=35之后如何利用余弦定理解題的過程:

      在△ABC中,由余弦定理得

      cosB=a2+c2-b22ac=62+c2-522×6×c=35,

      即5c2-36c+55=0,解得c=5或c=115,當(dāng)c=5時(shí),b=5,故c=b,又因?yàn)锳=2B,所以2B+B+B=π,即B=π4,這與cosB=35矛盾,故c=5不合題意,舍去,

      所以c=115.

      由此例可知“已知a,b和角B,常??蓪?duì)角B應(yīng)用余弦定理,并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0,若該方程無解或只有負(fù)數(shù)解,則該三角形無解;若方程有一個(gè)正數(shù)解,則該三角形有一解;若方程有兩個(gè)不等的正數(shù)解,則該三角形有兩解”,這樣的觀念是錯(cuò)誤的.關(guān)于如何判斷三角形解的個(gè)數(shù)的問題,《必修5》在第8頁(yè)到第9頁(yè)的“探究與發(fā)現(xiàn)”《解三角形的進(jìn)一步討論》中有詳細(xì)說明,在此不再贅述.

      本文例2和例3提醒我們:已知a,b和角B,常??蓪?duì)角B應(yīng)用余弦定理,并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0,即使該方程有兩個(gè)正根,三角形也不一定有兩解,還應(yīng)該結(jié)合條件,利用三角形內(nèi)角和定理、大邊對(duì)大角等進(jìn)行檢驗(yàn),以防增根混入.

      正弦定理、余弦定理都是揭示三角形邊角之間數(shù)量關(guān)系的重要定理,要求能夠運(yùn)用正余弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題.學(xué)了正、余弦定理后,不少同學(xué)為判斷三角形的解的個(gè)數(shù)而煩惱,當(dāng)三角形中已知兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí),可能出現(xiàn)一解、二解、無解等情況,雖然書上也有相應(yīng)的方法,可是一些同學(xué)茫然依舊.

      近日在網(wǎng)上拜讀了不少關(guān)于如何判斷三角形的解的個(gè)數(shù)的文章,不少文章都認(rèn)為在△ABC中,已知a,b和角A,常??蓪?duì)角A應(yīng)用余弦定理,并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2bccosA+b2-a2=0,若該方程無解或只有負(fù)數(shù)解,則該三角形無解;若方程有一個(gè)正數(shù)解,則該三角形有一解;若方程有兩個(gè)不等的正數(shù)解,則該三角形有兩解.

      本人最近正好遇到當(dāng)三角形中已知兩邊和其中一邊的對(duì)角求解第三邊的問題,發(fā)現(xiàn)這類觀念有不當(dāng)之處.

      請(qǐng)看下例:

      例1 在△ABC中,a=2,b=7,B=60°,則c= .

      已知兩邊及其中一邊對(duì)角利用正弦定理求解,解法如下:

      在△ABC中,由正弦定理asinA=bsinB=csinC,

      得sinA=asinBb=2·327=37,

      因?yàn)閟inC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB.

      又因?yàn)閍

      因?yàn)閟inA=37,所以cosA=467,

      所以sinC=37·12+467·32=(46+1)143.

      在△ABC中由正弦定理asinA=bsinB=csinC,

      得c=bsinCsinB=7·(46+1)14332=46+1.

      讀者不難看出本例已知兩邊及其中一邊對(duì)角,利用正弦定理程序的繁瑣性、計(jì)算的復(fù)雜性不言而喻,下面請(qǐng)看利用余弦定理解決本例的過程:

      在△ABC中,由余弦定理得

      cosB=a2+c2-b22ac=22+c2-722×2×c=cos60°,即c2-2c-45=0,解得c=46+1(舍負(fù)),所以c=46+1.

      本例利用余弦定理程序的簡(jiǎn)潔、計(jì)算的簡(jiǎn)單一目了然.本解法中對(duì)角B應(yīng)用余弦定理,并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0,由于該方程僅有一個(gè)正數(shù)解,故該三角形有且僅有一解.而下面筆者要舉的兩個(gè)例子一個(gè)是利用余弦定理時(shí)關(guān)于c的一元二次方程有兩正根,三角形有兩解;一個(gè)是利用余弦定理時(shí)關(guān)于c的一元二次方程有兩個(gè)正根,但三角形卻僅有一解.

      例2 在△ABC中,已知a=8,b=7,B=60°,則c= .

      本例如何利用正弦定理解決以及利用正弦定理解決的缺點(diǎn)不再贅述,下面利用余弦定理來解決問題:

      在△ABC中,由余弦定理得

      cosB=a2+c2-b22ac=82+c2-722×8×c=cos60°,

      即c2-8c+15=0,解得c=3或c=5,

      事實(shí)上,當(dāng)c=3時(shí),可以有a=8,b=7,B=60°;而c=5時(shí)同樣可以有a=8,b=7,B=60°,故本題有兩解.

      本例中僅僅是將例1中邊a的值做了改變,其最終結(jié)果導(dǎo)致我們?cè)趯?duì)角B應(yīng)用余弦定理,并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0時(shí)關(guān)于c的方程有兩正數(shù)解,故該三角形有兩解.再看下例:

      例3 在△ABC中,已知,a=6,b=5,A=2B,則c的值是 .

      本例可以先利用正弦定理結(jié)合A與B的關(guān)系求出cosB=35,然后求出sinB、sinA、cosA、sinC,最后再次利用正弦定理解決問題,下面請(qǐng)看求出cosB=35之后如何利用余弦定理解題的過程:

      在△ABC中,由余弦定理得

      cosB=a2+c2-b22ac=62+c2-522×6×c=35,

      即5c2-36c+55=0,解得c=5或c=115,當(dāng)c=5時(shí),b=5,故c=b,又因?yàn)锳=2B,所以2B+B+B=π,即B=π4,這與cosB=35矛盾,故c=5不合題意,舍去,

      所以c=115.

      由此例可知“已知a,b和角B,常??蓪?duì)角B應(yīng)用余弦定理,并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0,若該方程無解或只有負(fù)數(shù)解,則該三角形無解;若方程有一個(gè)正數(shù)解,則該三角形有一解;若方程有兩個(gè)不等的正數(shù)解,則該三角形有兩解”,這樣的觀念是錯(cuò)誤的.關(guān)于如何判斷三角形解的個(gè)數(shù)的問題,《必修5》在第8頁(yè)到第9頁(yè)的“探究與發(fā)現(xiàn)”《解三角形的進(jìn)一步討論》中有詳細(xì)說明,在此不再贅述.

      本文例2和例3提醒我們:已知a,b和角B,常??蓪?duì)角B應(yīng)用余弦定理,并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0,即使該方程有兩個(gè)正根,三角形也不一定有兩解,還應(yīng)該結(jié)合條件,利用三角形內(nèi)角和定理、大邊對(duì)大角等進(jìn)行檢驗(yàn),以防增根混入.

      正弦定理、余弦定理都是揭示三角形邊角之間數(shù)量關(guān)系的重要定理,要求能夠運(yùn)用正余弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題.學(xué)了正、余弦定理后,不少同學(xué)為判斷三角形的解的個(gè)數(shù)而煩惱,當(dāng)三角形中已知兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí),可能出現(xiàn)一解、二解、無解等情況,雖然書上也有相應(yīng)的方法,可是一些同學(xué)茫然依舊.

      近日在網(wǎng)上拜讀了不少關(guān)于如何判斷三角形的解的個(gè)數(shù)的文章,不少文章都認(rèn)為在△ABC中,已知a,b和角A,常常可對(duì)角A應(yīng)用余弦定理,并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2bccosA+b2-a2=0,若該方程無解或只有負(fù)數(shù)解,則該三角形無解;若方程有一個(gè)正數(shù)解,則該三角形有一解;若方程有兩個(gè)不等的正數(shù)解,則該三角形有兩解.

      本人最近正好遇到當(dāng)三角形中已知兩邊和其中一邊的對(duì)角求解第三邊的問題,發(fā)現(xiàn)這類觀念有不當(dāng)之處.

      請(qǐng)看下例:

      例1 在△ABC中,a=2,b=7,B=60°,則c= .

      已知兩邊及其中一邊對(duì)角利用正弦定理求解,解法如下:

      在△ABC中,由正弦定理asinA=bsinB=csinC,

      得sinA=asinBb=2·327=37,

      因?yàn)閟inC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB.

      又因?yàn)閍

      因?yàn)閟inA=37,所以cosA=467,

      所以sinC=37·12+467·32=(46+1)143.

      在△ABC中由正弦定理asinA=bsinB=csinC,

      得c=bsinCsinB=7·(46+1)14332=46+1.

      讀者不難看出本例已知兩邊及其中一邊對(duì)角,利用正弦定理程序的繁瑣性、計(jì)算的復(fù)雜性不言而喻,下面請(qǐng)看利用余弦定理解決本例的過程:

      在△ABC中,由余弦定理得

      cosB=a2+c2-b22ac=22+c2-722×2×c=cos60°,即c2-2c-45=0,解得c=46+1(舍負(fù)),所以c=46+1.

      本例利用余弦定理程序的簡(jiǎn)潔、計(jì)算的簡(jiǎn)單一目了然.本解法中對(duì)角B應(yīng)用余弦定理,并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0,由于該方程僅有一個(gè)正數(shù)解,故該三角形有且僅有一解.而下面筆者要舉的兩個(gè)例子一個(gè)是利用余弦定理時(shí)關(guān)于c的一元二次方程有兩正根,三角形有兩解;一個(gè)是利用余弦定理時(shí)關(guān)于c的一元二次方程有兩個(gè)正根,但三角形卻僅有一解.

      例2 在△ABC中,已知a=8,b=7,B=60°,則c= .

      本例如何利用正弦定理解決以及利用正弦定理解決的缺點(diǎn)不再贅述,下面利用余弦定理來解決問題:

      在△ABC中,由余弦定理得

      cosB=a2+c2-b22ac=82+c2-722×8×c=cos60°,

      即c2-8c+15=0,解得c=3或c=5,

      事實(shí)上,當(dāng)c=3時(shí),可以有a=8,b=7,B=60°;而c=5時(shí)同樣可以有a=8,b=7,B=60°,故本題有兩解.

      本例中僅僅是將例1中邊a的值做了改變,其最終結(jié)果導(dǎo)致我們?cè)趯?duì)角B應(yīng)用余弦定理,并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0時(shí)關(guān)于c的方程有兩正數(shù)解,故該三角形有兩解.再看下例:

      例3 在△ABC中,已知,a=6,b=5,A=2B,則c的值是 .

      本例可以先利用正弦定理結(jié)合A與B的關(guān)系求出cosB=35,然后求出sinB、sinA、cosA、sinC,最后再次利用正弦定理解決問題,下面請(qǐng)看求出cosB=35之后如何利用余弦定理解題的過程:

      在△ABC中,由余弦定理得

      cosB=a2+c2-b22ac=62+c2-522×6×c=35,

      即5c2-36c+55=0,解得c=5或c=115,當(dāng)c=5時(shí),b=5,故c=b,又因?yàn)锳=2B,所以2B+B+B=π,即B=π4,這與cosB=35矛盾,故c=5不合題意,舍去,

      所以c=115.

      由此例可知“已知a,b和角B,常??蓪?duì)角B應(yīng)用余弦定理,并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0,若該方程無解或只有負(fù)數(shù)解,則該三角形無解;若方程有一個(gè)正數(shù)解,則該三角形有一解;若方程有兩個(gè)不等的正數(shù)解,則該三角形有兩解”,這樣的觀念是錯(cuò)誤的.關(guān)于如何判斷三角形解的個(gè)數(shù)的問題,《必修5》在第8頁(yè)到第9頁(yè)的“探究與發(fā)現(xiàn)”《解三角形的進(jìn)一步討論》中有詳細(xì)說明,在此不再贅述.

      本文例2和例3提醒我們:已知a,b和角B,常常可對(duì)角B應(yīng)用余弦定理,并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0,即使該方程有兩個(gè)正根,三角形也不一定有兩解,還應(yīng)該結(jié)合條件,利用三角形內(nèi)角和定理、大邊對(duì)大角等進(jìn)行檢驗(yàn),以防增根混入.

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