馬明月 劉艷芳 徐向陽 王 祎

(北京航空航天大學(xué) 交通科學(xué)與工程學(xué)院，北京100191)

不同于其他形式的自動(dòng)變速器，液力自動(dòng)變速器(AT，Automatic Transmission)采用行星齒輪機(jī)構(gòu)作為變速機(jī)構(gòu)，為獲得一系列不同的傳動(dòng)比，需要在行星齒輪機(jī)構(gòu)中布置多個(gè)換擋元件.換擋元件的作用是閉鎖行星齒輪機(jī)構(gòu)中兩個(gè)獨(dú)立構(gòu)件，實(shí)現(xiàn)獨(dú)立構(gòu)件之間的剛性連接，減少行星齒輪機(jī)構(gòu)的自由度.與殼體相連的換擋元件為制動(dòng)器，其他換擋元件為離合器.AT換擋元件方案由若干制動(dòng)器和離合器組成，通過閉合不同的換擋元件組合，可以使AT獲得需要的傳動(dòng)比.AT換擋元件方案設(shè)計(jì)是應(yīng)用代數(shù)法或圖論法給出換擋元件方案相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，綜合出所有可能的換擋元件方案，利用現(xiàn)代優(yōu)化算法來選擇和設(shè)計(jì)滿足要求的最佳方案［1-8］.

目前，圍繞行星齒輪機(jī)構(gòu)和換擋元件方案的綜合問題，國內(nèi)外學(xué)者已作了很多研究工作［9-14］.文獻(xiàn)［9-10］采用線圖綜合法實(shí)現(xiàn)了 2自由度行星傳動(dòng)方案綜合與優(yōu)選的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)，但該方法只適用于2和3自由度行星齒輪機(jī)構(gòu)的方案設(shè)計(jì).文獻(xiàn)［11］提出了用構(gòu)件分析法來實(shí)現(xiàn)方案的綜合與優(yōu)選，在方案優(yōu)選過程中，使用變量變換法來求解行星排的廣義特性參數(shù)，從而避免求解非線性不等式組，但是對(duì)于擋位數(shù)較多的換擋元件方案，運(yùn)算過程較繁瑣，不利于快速尋找方案.文獻(xiàn)［12-14］都是通過綜合傳動(dòng)比序列來尋找最佳換擋元件方案，但是大量的符號(hào)運(yùn)算降低了運(yùn)算效率，該方法不適用于多自由度行星齒輪機(jī)構(gòu)的換擋元件方案設(shè)計(jì).

本文通過建立易于被計(jì)算機(jī)識(shí)別的AT換擋元件方案的數(shù)學(xué)模型，并基于遺傳算法提出一種高效且易于實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)的AT換擋元件方案優(yōu)選方法.

1 AT換擋元件方案的數(shù)學(xué)模型

在單排行星齒輪機(jī)構(gòu)中，繞中心軸旋轉(zhuǎn)的基本元件包括了太陽輪、齒圈和行星架.AT的行星齒輪變速機(jī)構(gòu)是由多個(gè)行星排、輔助構(gòu)件、輸入軸、輸出軸及換擋元件組成的.通過輔助構(gòu)件相連的行星排基本元件在動(dòng)力傳遞過程中始終以同一轉(zhuǎn)速繞中心軸旋轉(zhuǎn)，稱其為行星齒輪機(jī)構(gòu)的一個(gè)構(gòu)件.對(duì)于只包含基本行星排的行星齒輪機(jī)構(gòu)，其構(gòu)件個(gè)數(shù)m與基本元件個(gè)數(shù)n之間的關(guān)系可以表示為

其中f為行星齒輪機(jī)構(gòu)自由度數(shù).

以構(gòu)件為基本單元對(duì)行星齒輪機(jī)構(gòu)進(jìn)行劃分，并對(duì)不同構(gòu)件進(jìn)行相應(yīng)編碼.以德國ZF公司的4自由度8速自動(dòng)變速器為例，該變速器包含4個(gè)行星排和8個(gè)構(gòu)件，依次對(duì)該變速器的構(gòu)件進(jìn)行編碼，編碼后的結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示.

圖1 編碼后ZF-8AT的結(jié)構(gòu)簡圖［10］Fig.1 Coded diagram of ZF-8AT［10］

為建立行星齒輪機(jī)構(gòu)及其換擋元件的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建矩陣T來表示構(gòu)件與基本元件之間的從屬關(guān)系.矩陣T的構(gòu)建規(guī)則如下:矩陣的列號(hào)為構(gòu)件在行星齒輪機(jī)構(gòu)中的編碼，矩陣的行號(hào)代表行星齒輪機(jī)構(gòu)的某一基本元件，則矩陣的總行數(shù)為n，矩陣的總列數(shù)為m.當(dāng)構(gòu)件j中包含基本元件i時(shí)，矩陣元素tij=1;否則tij=0，則矩陣T的普遍形式如下:

AT換擋元件根據(jù)布置位置的不同，可以分為制動(dòng)器和離合器，制動(dòng)器的基本功能是制動(dòng)行星齒輪機(jī)構(gòu)中的獨(dú)立旋轉(zhuǎn)構(gòu)件，離合器的基本功能是連接或分離行星齒輪機(jī)構(gòu)中的兩個(gè)獨(dú)立旋轉(zhuǎn)構(gòu)件.AT換擋元件方案是指實(shí)現(xiàn)行星齒輪機(jī)構(gòu)以不同傳動(dòng)比來傳遞轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速所需制動(dòng)器與離合器的組合.為構(gòu)建換擋元件方案數(shù)學(xué)模型，對(duì)制動(dòng)器和離合器進(jìn)行編碼，編碼規(guī)則如下:①制動(dòng)器的編碼由字母B和與制動(dòng)器相連的構(gòu)件編碼組合而成，記為BX，其中X為構(gòu)件編碼;②離合器的編碼由字母C和與離合器相連的兩構(gòu)件編碼組合而成，記為CXY，其中X和Y均為構(gòu)件編碼.對(duì)圖1所示的ZF-8AT的制動(dòng)器PA和PB及離合器PC，PD，PE進(jìn)行編碼，其換擋元件方案的矩陣表示為

基于對(duì)換擋元件的編碼，快速實(shí)現(xiàn)對(duì)換擋元件方案的遍歷.對(duì)包含7個(gè)構(gòu)件、3個(gè)制動(dòng)器和3個(gè)離合器的自動(dòng)變速器進(jìn)行換擋元件方案的遍歷，綜合出的換擋元件方案總數(shù)為1 140個(gè)，方案結(jié)果如表1所示.

表1 某行星齒輪機(jī)構(gòu)換擋元件方案Table 1 Clutch design of the planetary gear train

2 換擋元件方案的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

多自由度行星齒輪機(jī)構(gòu)需要通過閉鎖換擋元件才能實(shí)現(xiàn)動(dòng)力傳遞.考慮部分換擋元件同時(shí)閉鎖時(shí)變速器無法傳遞動(dòng)力，對(duì)同一行星齒輪機(jī)構(gòu)，不同換擋元件方案可以實(shí)現(xiàn)不同的擋位數(shù).為提高優(yōu)選算法的效率，對(duì)換擋元件方案的實(shí)際擋位數(shù)進(jìn)行預(yù)判，對(duì)實(shí)際擋位數(shù)小于設(shè)計(jì)要求的方案予以排除.為了實(shí)現(xiàn)換擋元件方案擋位數(shù)的預(yù)判，則需要針對(duì)換擋元件方案對(duì)行星齒輪變速機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析.

行星齒輪機(jī)構(gòu)基本元件的轉(zhuǎn)速滿足下面的關(guān)系式:

其中，nsi，nri，nci分別為同一行星排的太陽輪、齒圈和行星架的轉(zhuǎn)速;ne，nf為行星齒輪機(jī)構(gòu)中經(jīng)輔助構(gòu)件相連的基本元件e和f的轉(zhuǎn)速;Ki為行星排的特性參數(shù)且和 Zr分別是太陽輪和齒圈的齒數(shù)，特性參數(shù)的取值范圍取決于行星排的結(jié)構(gòu).

當(dāng)制動(dòng)器或離合器結(jié)合時(shí)，相連的基本元件的轉(zhuǎn)速滿足關(guān)系式:

其中，ni是與制動(dòng)器相連的基本元件i的轉(zhuǎn)速;nj，nk是與離合器相連的基本元件j和k的轉(zhuǎn)速.

設(shè)輸出轉(zhuǎn)速為1，基本元件個(gè)數(shù)為 n，由式(1)～式(4)可得行星齒輪機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程組:

其中，A為系數(shù)矩陣;b為常數(shù)項(xiàng)向量;n為基本元件轉(zhuǎn)速向量.矩陣A中不同行向量分別對(duì)應(yīng)基本元件連接信息、換擋元件閉合信息及輸入輸出軸信息.

矩陣T表示了構(gòu)件與基本元件之間的從屬關(guān)系，通過矩陣變換得到了求解構(gòu)件轉(zhuǎn)速向量的線性方程組:

其中n1為構(gòu)件轉(zhuǎn)速向量.構(gòu)件轉(zhuǎn)速向量中的輸入構(gòu)件轉(zhuǎn)速即為變速器的傳動(dòng)比.改變線性方程組系數(shù)矩陣中閉合換擋元件的信息，求解出換擋元件方案可實(shí)現(xiàn)的傳動(dòng)比序列，實(shí)際的擋位數(shù)即傳動(dòng)比序列中包含的不同傳動(dòng)比的個(gè)數(shù).通過對(duì)換擋元件方案實(shí)際擋位數(shù)的預(yù)判，進(jìn)一步縮小換擋元件方案的選擇范圍.

3 換擋元件方案的優(yōu)選

遺傳算法是模擬生物界的自然選擇法則用于解決各類復(fù)雜的最優(yōu)化問題的一種隨機(jī)優(yōu)化算法.通過對(duì)適應(yīng)度函數(shù)的計(jì)算，得到種群中較優(yōu)的個(gè)體來進(jìn)行選擇、交叉和變異操作，保留好的個(gè)體，淘汰差的個(gè)體，逐步提高整個(gè)種群的品質(zhì)，最終得到優(yōu)化問題的最優(yōu)解.換擋元件方案優(yōu)選問題是一個(gè)復(fù)雜的非線性優(yōu)化問題，其適應(yīng)度函數(shù)需要反映出兩方面的要求:一方面是優(yōu)化后的傳動(dòng)比序列與設(shè)計(jì)要求的傳動(dòng)比序列之間的相對(duì)誤差應(yīng)小于規(guī)定值;另一方面是相鄰擋位之間換擋時(shí)，只變換一個(gè)換擋元件.此外，倒擋設(shè)計(jì)誤差值不同于前進(jìn)擋，在進(jìn)行換擋元件優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，倒擋的設(shè)計(jì)是單獨(dú)考慮的.

設(shè)行星齒輪機(jī)構(gòu)的自由度為f，行星排的個(gè)數(shù)為p，換擋元件的個(gè)數(shù)為s，設(shè)計(jì)要求的前進(jìn)擋個(gè)數(shù)為 r，前進(jìn)擋的傳動(dòng)比序列為{i1，i2，…，ir}.實(shí)際傳動(dòng)比序列與目標(biāo)傳動(dòng)比序列之間的相對(duì)誤差為

其中，it表示第t擋位的目標(biāo)傳動(dòng)比;i't表示第t擋位的實(shí)際傳動(dòng)比;bt表示第t擋位的權(quán)重系數(shù)，權(quán)重的選取與該擋位的使用頻率相關(guān).

設(shè)第t擋位對(duì)應(yīng)的閉合換擋元件集合為Mt，第t+1擋位對(duì)應(yīng)的閉合換擋元件集合為Mt+1，取Mt與Mt+1的交集，如果所得集合的元素個(gè)數(shù)小于f-2，系統(tǒng)會(huì)給定一個(gè)常數(shù)作為誤差偏移值ε，否則，誤差偏移值ε=0.

設(shè)換擋元件方案包含q個(gè)閉合換擋元件集合，即{M1，M2，…，Mq}.當(dāng)換擋元件組合 Mt閉合時(shí)，求得行星齒輪變速機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)比it.依次閉合換擋元件組合可得傳動(dòng)比序列{i1，i2，…，it}，對(duì)該傳動(dòng)比序列做降序排列可得實(shí)際傳動(dòng)比序列{i'1，i'2，…，i'q}.在實(shí)際傳動(dòng)比序列中，依次選取 r個(gè)傳動(dòng)比構(gòu)成實(shí)際傳動(dòng)比的子集，且子集的個(gè)數(shù)為將實(shí)際傳動(dòng)比序列與目標(biāo)傳動(dòng)比序列的相對(duì)誤差φ與誤差偏移值ε之和作為修正誤差，因此可得到修正誤差集，則該換擋元件方案的適應(yīng)度函數(shù)為

當(dāng)變速器結(jié)構(gòu)一定的情況下，影響換擋元件方案適應(yīng)度函數(shù)的主要因素是行星排特性參數(shù)，因此，把行星排特性參數(shù)選為該優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)變量，分別對(duì)每個(gè)換擋元件方案適應(yīng)度函數(shù)最小化問題進(jìn)行求解.圖2是對(duì)ZF-8AT換擋元件方案采用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化時(shí)每一代種群的平均適應(yīng)度與最大適應(yīng)度曲線.由平均適應(yīng)度曲線可以看到當(dāng)遺傳算法進(jìn)行到第40代時(shí)，平均適應(yīng)度基本保持不變，算法終止于第51代，其適應(yīng)度值為0.006.

圖2 平均適應(yīng)度與最大適應(yīng)度曲線Fig.2 Average fitness and optimal fitness

為了進(jìn)一步提高計(jì)算效率，降低由于方案過多而帶來的時(shí)間成本，采用重力梯度法與遺傳算法相結(jié)合的方式進(jìn)行了行星排特性參數(shù)優(yōu)化.梯度法收斂速度快，尋找局部最優(yōu)點(diǎn)能力強(qiáng)，但其求解空間必須連續(xù)且可導(dǎo)，而遺傳算法具有全局尋優(yōu)能力強(qiáng)、求解空間可不連續(xù)等優(yōu)勢(shì).因此，本文首先通過對(duì)遺傳算法設(shè)定適合的種群規(guī)模，使其能在較短的時(shí)間內(nèi)在全局最優(yōu)點(diǎn)附近收斂停止，然后利用遺傳算法的終止點(diǎn)作為梯度法的起始點(diǎn)，進(jìn)行局部細(xì)致優(yōu)化，最終求得全局最優(yōu)解，優(yōu)選算法的主要流程如圖3所示.

圖3 優(yōu)選算法流程圖Fig.3 Data flow of optimization algorithm

4 方案優(yōu)選案例

基于MATLAB仿真平臺(tái)，以圖1所示的德國ZF公司的4自由度8速自動(dòng)變速器為研究對(duì)象，編寫換擋元件方案優(yōu)選算法，并求解出該變速器的最優(yōu)換擋元件方案.

建立ZF-8AT換擋元件方案的數(shù)學(xué)模型，初步綜合出2 925個(gè)可行的換擋元件方案，經(jīng)對(duì)換擋元件方案的實(shí)際擋位數(shù)預(yù)判和優(yōu)選算法后方案數(shù)減小至82.對(duì)這82個(gè)換擋元件方案執(zhí)行換擋元件方案優(yōu)選算法，每個(gè)換擋元件方案對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度最小值如圖4所示.

圖4 適應(yīng)度最小值曲線Fig.4 Minimal fitness

由圖4可知，有多組適應(yīng)度函數(shù)接近零值的方案，適應(yīng)度函數(shù)最小值越接近零值，則方案的傳動(dòng)比序列越接近目標(biāo)傳動(dòng)比序列.

本案例存在3個(gè)最優(yōu)方案，換擋元件方案矩陣及其適應(yīng)度最小值見表2，其結(jié)構(gòu)簡圖和換擋邏輯矩陣見圖5.

表2 最優(yōu)換擋元件方案Table 2 Optimal clutch designs

通過方案的結(jié)構(gòu)簡圖(如圖5所示)可以看出，3個(gè)方案的區(qū)別在于離合器C3的軸連接方式不同.方案39中離合器C3連接第3個(gè)行星排GS3的行星架和太陽輪軸，方案40是連接GS3的齒圈和太陽輪，方案41是連接GS3的齒圈和行星架.

無論哪種連接方案，C3一旦閉合，GS3做整體轉(zhuǎn)動(dòng)，因此，3個(gè)軸連接方式的作用是一樣的.需要注意的是，不同的軸連接方案會(huì)影響3個(gè)離合器在變速箱中的空間布置方式而影響變速箱的軸向和徑向尺寸，例如圖1中的沿軸向并排可以方便油路的設(shè)計(jì)，或者將離合器PD～PE沿徑向并排，可以縮短軸向尺寸等，具體情況需要進(jìn)行動(dòng)力學(xué)校核.

圖5 最優(yōu)方案的結(jié)構(gòu)簡圖及換擋邏輯矩陣Fig.5 Optimal design diagrams and clutching sequences

對(duì)比圖5b和圖1可以看出，方案40與ZF-8AT的結(jié)構(gòu)方案相同.表2列出了計(jì)算得到的方案40的換擋邏輯矩陣和傳動(dòng)比，與ZF-8AT的傳動(dòng)比基本一致.可以證明，本文提出的優(yōu)選算法能夠?qū)ふ业綕M足傳動(dòng)比要求和換擋元件閉合有序化約束的最優(yōu)換擋元件方案.

5 結(jié)論

1)建立了易于計(jì)算機(jī)識(shí)別的行星齒輪變速機(jī)構(gòu)及換擋元件的數(shù)學(xué)模型，并基于MATLAB運(yùn)算平臺(tái)提出了較高效率的AT傳動(dòng)比求解算法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)換擋元件方案的預(yù)篩選;

2)基于傳動(dòng)比序列和換擋元件閉合有序化的設(shè)計(jì)要求，采用實(shí)際傳動(dòng)比序列與目標(biāo)傳動(dòng)比序列的相對(duì)誤差與誤差偏移值之和作為遺傳算法的換擋元件方案的適應(yīng)度函數(shù);

3)以遺傳算法和梯度法相結(jié)合的方式尋找到AT換擋元件的最優(yōu)方案，并計(jì)算出相應(yīng)的最優(yōu)行星排特性參數(shù)、傳動(dòng)比序列及其對(duì)應(yīng)的換擋邏輯;對(duì)ZF-8AT自動(dòng)變速器的換擋元件方案進(jìn)行了優(yōu)選，最終得到包括原方案在內(nèi)的3組最優(yōu)方案，驗(yàn)證了本文所提出的優(yōu)選算法的可行性和準(zhǔn)確性.

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