程亞龍，劉曉軍，劉金鋒

（東南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 211189）

0 引言

尺寸標(biāo)注的主要作用是精確描述零件的結(jié)構(gòu)特征、形狀特征和精度特征，其質(zhì)量將直接影響產(chǎn)品生命周期各個(gè)階段的順利運(yùn)行，因此尺寸的完備性檢查也一直是計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（Computer Aided De-sign，CAD）／計(jì)算機(jī)輔助工藝規(guī)劃（Computer Aided Poress Planning，CAPP）領(lǐng)域研究的重要問題［1］。幾何模型上的幾何基元在尺寸標(biāo)注下不添加輔助元素就可以順序確定其空間位姿，即固定該幾何基元，這樣的尺寸標(biāo)注稱為順序標(biāo)注，否則稱為循環(huán)標(biāo)注。順序標(biāo)注是尺寸完備性檢查所要面對的首要問題，也是本文要解決的主要問題。

國內(nèi)學(xué)者主要對二維工程圖的尺寸完備性檢測進(jìn)行了研究，并取得了很多成果［2-5］，所采用的基本方法是將各視圖尺寸標(biāo)注坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到空間投影模型，建立統(tǒng)一的空間尺寸標(biāo)注，然后按照坐標(biāo)方向建立鄰接矩陣來判斷尺寸的封閉性。這些方法能處理較為簡單的二維工程圖的尺寸完備性檢測問題。當(dāng)三維幾何模型設(shè)計(jì)完成后，所有的幾何基元都被完整約束，這與傳統(tǒng)的幾何約束求解問題極為相似。目前幾何約束求解領(lǐng)域存在基于圖論的方法［6］、基于規(guī)則的方法［7］、數(shù)學(xué)計(jì)算法［8］和符號計(jì)算法［9］等幾種主要方法。實(shí)際應(yīng)用中，上述幾種方法的綜合運(yùn)用往往會(huì)取得更好的結(jié)果［10-11］。Gao等［12-13］利用幾何約束生成幾何基元的動(dòng)態(tài)軌跡，通過軌跡的交點(diǎn)求出幾何基元的確切解；Hoffman等［9，14］在約束關(guān)系圖的基礎(chǔ)上提出分解—組合的規(guī)劃算法，將約束問題分解為可作子圖的算法；Ait-Aoudia等［15］在Hoffman算法的基礎(chǔ)上做了改進(jìn)，提出S-DR 算法，彌補(bǔ)了分解—組合算法只利用結(jié)構(gòu)信息而忽略數(shù)值信息的缺點(diǎn)。

三維尺寸標(biāo)注所約束的幾何基元遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于幾何約束求解所面對的幾何基元，而多種幾何基元的引入會(huì)增加檢測系統(tǒng)的復(fù)雜度，因此有必要對幾何基元進(jìn)行簡化分解。Clemént等［16］提出“與工藝和拓?fù)湎嚓P(guān)的表面”（Topologically and Technologically Related Surfaces，TTRS）的概念，該理論將零件的功能表面劃分為7個(gè)基本類型，而為了更好地表達(dá)功能表面之間的關(guān)系，提出了最小幾何基準(zhǔn)要素（Minimum Geometric Datum Elements，MGDE）的概念，即一個(gè)功能表面的MGDE 實(shí)質(zhì)上是參考點(diǎn)、參考線或參考面的最小幾何，并能充分確定相應(yīng)的功能表面約束不變。根據(jù)上述理論，通過點(diǎn)、直線和平面可以表示各種幾何基元，因此尺寸標(biāo)注完備性檢查也主要以點(diǎn)、直線、平面為研究對象。

本文對三維順序尺寸標(biāo)注的完備性檢查進(jìn)行了研究，提出幾何基元軌跡的概念，分析了各種約束下軌跡的生成規(guī)則，通過依賴性分析明確了幾何約束的使用規(guī)則，并建立尺寸完備性狀態(tài)與幾何基元的約束狀態(tài)、尺寸使用狀態(tài)之間的映射關(guān)系。通過離散化分解實(shí)現(xiàn)了軌跡兩兩求交，并分析了求交規(guī)則。最后基于幾何約束圖依次判斷得到幾何基元的約束狀態(tài)，進(jìn)而得到了尺寸的完備性狀態(tài)。

1 幾何基元的軌跡

幾何約束包括拓?fù)浼s束和度量約束兩部分［17］，尺寸標(biāo)注的完備性檢查就是在拓?fù)浼s束已經(jīng)確定的情況下，檢查標(biāo)注的尺寸是否有冗余或缺失，而該問題最終歸結(jié)為幾何基元的約束狀態(tài)判斷問題，可以借鑒幾何約束求解方面已有的技術(shù)和方法。

本文考慮點(diǎn)（P）、直線（L）和平面（PL）三種類型的幾何基元，以及距離、角度、平行、垂直和重疊五種基本約束類型，并用DIS（O1，O2）=d，ANG（O1，O2）=θ，PAR（O1，O2），PER（O1，O2）和SUP（O1，O2）分別表示上述約束，其中：O1和O2表示幾何基元，d表示距離值，θ表示角度值。若不區(qū)分約束種類，則用CONS（O1，O2）表示O1和O2之間的一個(gè)約束。

假定一個(gè)幾何約束CONS（O1，O2）中的一個(gè)幾何基元O1被固定，則O2在該幾何約束的限制下，在幾何空間中任意移動(dòng)所形成的與其共切、重疊、平行或垂直的幾何形狀即為軌跡，它可以是形象具體的幾何基元，也可以是抽象的矢量方向。用LOCI（O2，CONS（O1，O2））表示O2在幾何約束CONS（O1，O2）作用下形成的軌跡，其形成不僅與O1和O2的類型有關(guān)，也與幾何約束的類型有關(guān)。

1.1 距離約束下的軌跡生成規(guī)則

在距離約束DIS（O1，O2）=d的情況下，當(dāng)O1為點(diǎn)且固定時(shí)，無論O2的類型如何，O2的軌跡都是一個(gè)以O(shè)1為圓心、以d為半徑的球面，反之亦然。軌跡生成規(guī)則為

式中：TYPE（O）表示幾何基元O的類型，SP表示球面，如圖1a所示。當(dāng)P1固定時(shí)，P2在距離尺寸d的作用下形成了以P1為圓心、以d為半徑的球面軌跡SP，P2可以是SP上的任意一點(diǎn)，如P3。同理，如圖1b和圖1c所示，含有直線和平面的距離約束的軌跡生成規(guī)則下：

式中CY表示圓柱面。

1.2 角度約束下的軌跡生成規(guī)則

與距離尺寸不同的是，角度尺寸只能約束幾何基元的方向，不能約束其位置。以直線L1和L2間的角度約束ANG（L1，L2）=θ為例，假定L1固定，則L2為一個(gè)以L1為軸線、以L1上任意一點(diǎn)P為錐點(diǎn)的圓錐面上的一條母線。因?yàn)镻點(diǎn)可以在L1上自由移動(dòng)，所以L2可以是一個(gè)以L1為軸線并在L1上自由移動(dòng)的圓錐面的母線。換言之，L2在角度約束下形成的軌跡是一個(gè)沿軸移動(dòng)的圓錐面，它限制了L2的方向，本文將這種軌跡定義為線型圓錐，用COL表示，如圖2a和圖2b所示。圖2c所示為面面角度θ，當(dāng)PL1固定時(shí)，角度形成圓錐面CF，錐角為2（90°-θ），它可以在PL1上自由移動(dòng)，而角度約束的另外一個(gè)平面與CF相切于任一母線，如PL2，PL3等。當(dāng)CF移動(dòng)時(shí)，PL2和PL3同步移動(dòng)，它形成的軌跡是一個(gè)沿平面移動(dòng)的圓錐面，定義為面型圓錐，用COP表示。

綜上所述，無論直線還是平面，它們之間的角度尺寸生成軌跡的規(guī)則表示如下：

1.3 平行、垂直約束下的軌跡生成規(guī)則

平行和垂直屬于特殊的角度約束，當(dāng)兩個(gè)幾何基元之間的夾角為0°或180°時(shí)即為平行，90°時(shí)即為垂直。以直線L1和L2之間的平行約束PAR（L1，L2）為例，假定L1固定，則L2可以是平行于L1的任意一條直線，甚至與L1共線。換言之，平行約束限制了L2的方向平行于一個(gè)固定方向，但沒有限制它的位置，因此該軌跡可以表示為平行方向，本文用PAD表示，如圖3a和圖3b所示。

經(jīng)過分析，可以生成PAD軌跡的規(guī)則如下：

以直線L1和L2之間的垂直約束PER（L1，L2）為例，假定L1固定，則L2可以是與L1垂直的任意平面上的任意一條直線，即垂直約束限制了L2的方向垂直于一個(gè)固定方向，這個(gè)固定方向可以是平面的法向或者直線的方向。因此該軌跡可以表示為垂直方向，本文用PED表示，如圖3c所示?？梢陨蒔ED軌跡的規(guī)則如下：

1.4 重疊約束下的軌跡生成規(guī)則

無論同類幾何基元還是異類幾何基元，在重疊約束的作用下，O1的軌跡就是O2，O2的軌跡就是O1，因此重疊約束下的軌跡生成規(guī)則可以統(tǒng)一表示為

2 尺寸完備性檢查的軌跡相交法

2.1 尺寸完備性狀態(tài)的映射

2.1.1 依賴性分析

Li等［18］認(rèn)為幾何基元之間由于約束的存在而互相依賴，這些互相依賴的幾何基元必須一起求解。在尺寸完備性的檢查過程中，當(dāng)幾何基元O1被固定后，幾何約束CONS（O1，O2）就可以用來約束O2，O2通過該約束依賴于O1，該約束就被O2“使用”。一旦該幾何約束被它的一個(gè)幾何基元使用，它就不能用于約束另外一個(gè)幾何基元。

2.1.2 尺寸的完備性狀態(tài)

尺寸的完備性狀態(tài)與幾何模型上的幾何基元的約束狀態(tài)有緊密的聯(lián)系，如果可以通過一種方法判斷得到每個(gè)幾何基元的約束狀態(tài)（包括已固定和未固定兩種）以及每個(gè)尺寸的使用狀態(tài)（包括已使用和未使用兩種），則通過以下映射關(guān)系就可以得到尺寸標(biāo)注的完備性狀態(tài)：

（1）若一個(gè)尺寸標(biāo)注的兩個(gè)幾何基元O1和O2均已被固定而該尺寸未使用，則其為冗余尺寸。

（2）若一個(gè)尺寸標(biāo)注的兩個(gè)幾何基元O1和O2均已被固定，且該尺寸已使用，則其為必需尺寸。

（3）若一個(gè)尺寸標(biāo)注的兩個(gè)幾何基元O1和O2至少有一個(gè)未固定且該尺寸未使用，則無法判斷其是否冗余或必需，為待定尺寸。

（4）若幾何基元未固定，則表明該幾何基元缺少尺寸標(biāo)注。

通過上述映射關(guān)系，可以將尺寸標(biāo)注的完備性檢查問題轉(zhuǎn)換為幾何基元的約束狀態(tài)的判斷問題，在幾何基元的約束狀態(tài)判斷過程中會(huì)同時(shí)得到尺寸的使用狀態(tài)。

2.2 軌跡相交分析

2.2.1 軌跡相交的離散化處理

幾何模型上的每個(gè)幾何基元會(huì)同時(shí)受到多個(gè)幾何約束的作用，每個(gè)幾何約束會(huì)形成該幾何基元的一個(gè)軌跡，則在幾何基元被完整約束的情況下，所有的軌跡求交就一定會(huì)得到該幾何基元，當(dāng)這些約束的其他幾何基元固定時(shí)，該幾何基元也被固定。

在分析軌跡相交規(guī)則之前，先定義INTER（Lc1，Lc2，…，Lcn）來表示軌跡Lc1，Lc2，…，Lcn之間的交集。前面的分析得到了幾何約束作用下各種幾何基元所能形成的軌跡，一個(gè)幾何基元O在多個(gè)幾何約束｛CONS（O，Oi）｜i=1，2，…，n｝作用下，會(huì)形成多個(gè)軌跡｛Lci=LOCI（O，CONS（O，Oi））｜i=1，2，…，n｝，這些軌跡的交集表示為In=INTER（O，Lc1，Lc2，…，Lcn），當(dāng)In與O的類型相同時(shí)，即TYPE（In）=TYPE（O）時(shí)，就表示幾何對象O被固定。因?yàn)檐壽E的數(shù)量和種類不同，同時(shí)求交不好處理，所以對求交過程進(jìn)行離散化處理，采用分步兩兩求交的方法，只需確定任意兩種軌跡之間的求交規(guī)則，就可以解決所有的軌跡求交問題。

2.2.2 軌跡相交規(guī)則

每一次軌跡求交相當(dāng)于生成了幾何基元的一個(gè)新的軌跡，其生成也遵循軌跡的生成原則，即新的交集是幾何基元在多個(gè)約束作用下任意移動(dòng)所形成的共同相切（或重疊）的最大幾何體，其類型與軌跡和幾何對象的類型有關(guān)。如圖4所示，若點(diǎn)P的兩個(gè)軌跡為直線L1和L2，則在L1和L2不重疊的情況下，它們的交集既要與L1重疊、也要與L2重疊，它只能是L1和L2的交點(diǎn)，因此L1和L2的交集存在且必然是一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是點(diǎn)P。若平面PL的兩個(gè)軌跡為直線L1和L2，則在L1和L2不重疊的情況下，它們的交集即要穿過L1又要穿過L2，它只能是過L1和L2的平面，因此L1和L2的交集對PL而言就必然是一個(gè)平面。

各種幾何約束可以形成9種軌跡，它們兩兩相交會(huì)形成新類型的軌跡，包括圓錐面（CF）和非直線（NL）。通過分析，這11種軌跡兩兩相交，會(huì)在幾何空間中形成相交、相切、重合等多種位置關(guān)系，每種位置關(guān)系對應(yīng)不同的交集，最終針對點(diǎn)、直線和平面形成了21，44，42種合理可行的相交規(guī)則。

2.3 基于約束圖的幾何基元約束狀態(tài)判斷

幾何約束系統(tǒng)可以表示為幾何約束圖。幾何基元用圓圈表示，粗線圈表示幾何基元已固定，細(xì)線圈表示未固定。虛線表示幾何約束已被使用，箭頭指向使用該約束的幾何基元，實(shí)線表示未使用的幾何約束。以圖5為例，圖5a所示為含有完整尺寸標(biāo)注的零件三維模型，圖5b所示即為圖5a中零件的幾何約束圖。

一個(gè)完整約束的零件其幾何基元之間的相對位置關(guān)系是確定的，作為一個(gè)剛體，它可以在幾何空間自由運(yùn)動(dòng)，因此在零件設(shè)計(jì)和加工時(shí)還需要指定三個(gè)定位基準(zhǔn)。在圖5 中：指定PL1為第一基準(zhǔn)，默認(rèn)為固定；指定PL2為第二基準(zhǔn)，因?yàn)樗cPL1垂直，所以PL2也固定；指定PL6為第三基準(zhǔn)，它分別與PL1，PL2垂直，則PL6也固定。同時(shí)設(shè)置其相關(guān)的幾何約束線為虛線，并添加箭頭，如圖6a所示。由于PL1已固定，存在距離尺寸DIS（PL1，PL5）=38，則PL5的軌跡為平面，PL5被固定，如圖6b所示。從箭頭方向可知，PL5依賴于PL1。同理，由于PL2已固定，由距離尺寸DIS（PL2，PL4）可知，PL4也被固定。如圖6c所示，L與PL6之間的距離約束形成軌跡為平面，與PL5之間的重疊約束形成軌跡也為平面，對L而言，這兩個(gè)平面并不共面，因此它們的交集為其交線，即L被固定。如圖6d 所示，PL3與PL1的角度尺寸形成軌跡為面型圓錐COP，而PL3與L的重疊約束形成軌跡為直線，當(dāng)PL3與一個(gè)移動(dòng)的錐面相切且要穿過一條直線時(shí)，它們的軌跡相交是一個(gè)平面，因此PL3被固定。綜上，圖5a所示零件的所有幾何基元均被固定，根據(jù)前述的尺寸完備性狀態(tài)的映射關(guān)系可知，所有尺寸均為必需尺寸，既無冗余也無缺失。

2.4 完備性檢查算法流程

前述詳細(xì)分析了基于軌跡相交法的三維尺寸完備性檢查的各個(gè)基本環(huán)節(jié)，下面列出算法的完整流程：

步驟1 建立零件的幾何約束圖，初始化所有的幾何基元的約束狀態(tài)和幾何約束的使用狀態(tài)。

步驟2 依次指定零件的三個(gè)基準(zhǔn)面，第一基準(zhǔn)為默認(rèn)固定。第二基準(zhǔn)與第一基準(zhǔn)之間的角度已知時(shí)，第二基準(zhǔn)也固定。第三基準(zhǔn)與第一、第二基準(zhǔn)之間的角度已知時(shí)，第三基準(zhǔn)固定。

步驟3 從基準(zhǔn)開始，依次選擇與已固定的幾何基元有共同尺寸約束的未固定的幾何基元作為待判斷對象，提取與其相關(guān)的、未使用的、且對應(yīng)的幾何基元已固定的所有幾何約束，生成各個(gè)約束的軌跡，并按照軌跡相交規(guī)則，以兩兩求交的方式判斷其軌跡相交類型，若類型與待判斷的幾何基元類型相同，則表明該幾何約束被固定，在幾何約束圖上修改該幾何基元和相關(guān)約束的狀態(tài)；若不相同，則取新的軌跡繼續(xù)求交，循環(huán)判斷。若相關(guān)的幾何約束全部使用仍然不能固定該幾何基元，則選擇下一個(gè)幾何基元為判斷對象。

步驟4 若本次循環(huán)沒有新幾何基元被固定，則轉(zhuǎn)步驟5；否則重復(fù)執(zhí)行步驟3。

步驟5 所有幾何基元的約束狀態(tài)判斷完畢，根據(jù)尺寸完備性狀態(tài)與幾何基元約束狀態(tài)、尺寸使用狀態(tài)的映射關(guān)系，從最終的幾何約束圖上依次判斷得到每個(gè)尺寸的完備性狀態(tài)，包括冗余尺寸、必需尺寸和待定尺寸，并列出細(xì)圓圈表示的缺少尺寸標(biāo)注的幾何基元。

假設(shè)幾何基元數(shù)目為n，頻度最高的步驟3 最多執(zhí)行n（n+1）／2次，算法的最大復(fù)雜度為O（n2）。

3 示例

建立圖7左側(cè)所示的三維實(shí)體模型，并標(biāo)注部分尺寸，其中包括冗余尺寸和缺失尺寸，在右側(cè)標(biāo)記涉及的幾何基元，以PL，L和P開頭的分別表示平面、直線和點(diǎn)。首先建立幾何約束圖，其次指定PL1，PL2和PL3為三個(gè)基準(zhǔn)面，然后依照算法循環(huán)對每個(gè)幾何基元的約束狀態(tài)進(jìn)行判定，判斷流程如圖8所示，邊的箭頭反映了幾何基元的約束狀態(tài)的判斷順序。由圖8可知，實(shí)線且兩節(jié)點(diǎn)用粗線圈表示的尺寸為冗余尺寸，共6 個(gè)，包括DIS（PL1，PL11）=30，DIS（PL6，L4）=15，DIS（PL3，L2）=72.68，DIS（PL21，PL15）=30，DIS（PL6，PL11）=30，DIS（PL12，L2）=30.68，剩余尺寸均為必需尺寸。用細(xì)線圈表示的節(jié)點(diǎn)為缺少尺寸標(biāo)注的節(jié)點(diǎn)，包括平面PL19和PL16，其他平面均被完全固定。算法檢查的結(jié)果與實(shí)際情況相符，表明了算法的有效性和可靠性。

4 結(jié)束語

本文對三維順序尺寸標(biāo)注的完備性檢查進(jìn)行了研究，將尺寸完備性的檢查問題轉(zhuǎn)換為幾何基元約束狀態(tài)的判斷問題。提出軌跡的概念，并分析了幾何約束下軌跡的生成規(guī)則。通過離散化操作，將軌跡同時(shí)求交分解為軌跡兩兩相交，并建立了各種軌跡的兩兩相交規(guī)則。利用約束圖，循環(huán)判斷每個(gè)幾何基元的約束狀態(tài)，按照尺寸完備性狀態(tài)與幾何基元約束狀態(tài)、尺寸使用狀態(tài)的映射關(guān)系，判斷得到冗余尺寸、必需尺寸、待定尺寸和缺少尺寸標(biāo)注的幾何基元。最后以一個(gè)實(shí)例演示算法的運(yùn)行過程，驗(yàn)證了算法的有效性。

本文提出的基于軌跡相交的順序尺寸標(biāo)注的完備性檢查方法是一個(gè)基本框架，目前只對基本的幾何基元和幾何約束進(jìn)行了處理，今后將以此為基礎(chǔ)，引入包括圓柱面、圓錐面和球面等的復(fù)雜幾何基元，以及相切、對稱等復(fù)雜幾何約束，并考慮循環(huán)標(biāo)注問題，進(jìn)一步研究更加通用的三維尺寸完備性檢查方法。

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