陳東萍，褚學寧，馮 濤，李玉鵬，左冠麗

（上海交通大學 機械與動力工程學院，上海 200240）

0 引言

作為公理設計（Axiomatic Design，AD）最重要的兩個公理之一，信息公理為方案評價提供了一種新的手段［1］。應用信息公理進行方案評價，需要確定評價指標的設計范圍和系統(tǒng)范圍，以計算各指標的信息量（即系統(tǒng)范圍滿足設計范圍的成功概率的對數(shù)負值），并依據(jù)信息量的大小確定最佳方案，而不需要決策者給出評價指標的權重，避免了人為主觀因素的影響。因此，信息公理在產品、服務和制造系統(tǒng)等領域的方案評價中得到了廣泛應用［2-3］。

在基于信息公理的方案評價過程中，評價指標的系統(tǒng)范圍有可能是確定性或隨機性的變量，需要分別構建不同的信息量計算模型［4］。對于確定性系統(tǒng)范圍變量，已有一些文獻引入了模糊集合理論［5-6］，定義了模糊系統(tǒng)范圍、設計范圍和公共范圍，構建了模糊評價指標信息量的計算模型。這一模型能夠較好地解決定性指標的信息量計算問題，拓展傳統(tǒng)信息公理評價方法的應用范圍。

然而，對于系統(tǒng)范圍為隨機變量的情況，目前尚未有文獻開展模糊性評價研究。在工程實際中，有很多系統(tǒng)范圍為隨機變量的定性指標，也需要用模糊語言來刻畫決策者的定性評價。例如，服務方案評價中的及時性指標，其系統(tǒng)范圍的隨機性來源于服務的異質性［7-8］（因每次服務的地點、請求時間和傳送方式等不同而有偏差，這時及時性指標表現(xiàn)為滿足一定概率分布的隨機變量）。此外，對于及時性指標的評價值，決策者往往習慣采用“很快”、“快”、“一般”、“慢”、“很慢”等定性語言來表達［9-11］。針對這類系統(tǒng)范圍為隨機變量的指標，在考慮評價值為模糊概念的條件下，其信息量的計算涉及上下界為模糊數(shù)的積分，現(xiàn)有的模糊信息公理無法直接計算。因此，需要提出隨機性和模糊性共存的混合不確定條件下的信息公理評價方法。

混合不確定條件下，信息公理的評價方法存在如下難點：傳統(tǒng)信息公理的指標僅能單獨表達其隨機性或模糊性，如何對混合不確定評價指標進行建模，使同一個指標同時反映隨機性和模糊性，是本文要解決的第一個問題；由于混合不確定指標的成功概率是上下界為模糊數(shù)的積分，無法直接計算其信息量，如何計算混合不確定指標的信息量，是本文要解決的第二個問題。針對上述難點，本文提出在混合不確定條件下基于信息公理的方案評價方法，并基于模糊模擬方法提出混合不確定評價指標的信息量計算方法。

1 混合不確定條件下的評價指標建模

1.1 傳統(tǒng)、模糊和混合不確定三種信息公理對比

模糊性和隨機性是現(xiàn)實系統(tǒng)中普遍存在的兩種不確定性［12］。隨機性是描述事件是否發(fā)生的不確定性，而模糊性是描述決策者對概念認知的不確定性。在應用信息公理進行評價時，需確定每一個指標的設計范圍和系統(tǒng)范圍。設計范圍是決策者期望指標達到的范圍，分為定量和定性兩種變量，其中定性的設計范圍變量適合應用模糊數(shù)學理論研究；系統(tǒng)范圍是方案執(zhí)行后指標的實際可達范圍，分為確定和隨機兩種變量，其中隨機性來源于每次實際執(zhí)行過程的偏差，適合用概率與統(tǒng)計理論研究。例如服務方案評價中的服務速度、服務成本等指標，其設計范圍是模糊變量，系統(tǒng)范圍是隨機變量。因此，本文提出以隨機變量表達系統(tǒng)范圍、以模糊變量表達設計范圍的混合不確定指標模型，開展模糊性、隨機性共存的方案評價。表1從信息量計算公式、適用范圍、研究現(xiàn)狀等方面對比了信息公理、模糊信息公理和本文所提混合不確定下的信息公理。

表1 三種信息公理的對比

為推導混合不確定條件下信息量的計算方法，下面給出隨機變量和模糊變量的定義。

定義1［17］設ξ是從可能性空間｛θ，p（θ），Pos｝到實數(shù)集R的一個函數(shù)，則稱ξ為一個模糊變量。

定義2［17］設ξ是可能性空間｛θ，p（θ），Pos｝的模糊變量，則稱

是ξ的α-水平截集。

定義3［17］設ξ是可能性空間｛θ，p（θ），Pos｝的模糊變量，則由可能性測度導出函數(shù)

稱為ξ隸屬度函數(shù)。

定義4［17］一個隨機變量就是從概率空間（Ω，A，Pr）到實數(shù)集的可測函數(shù)。

1.2 評價指標分類及混合不確定指標信息量定義

依據(jù)表1，在應用信息公理進行方案評價時，需要根據(jù)指標的不確定性選擇不同模型計算指標的信息量。因此本文依據(jù)指標的模糊性和隨機性，提出以下四類評價指標：確定性指標、模糊指標、隨機指標和混合不確定指標（如圖1）。其中：確定性指標和隨機指標的信息量可按照傳統(tǒng)信息公理計算，模糊指標的信息量按照模糊信息公理計算，混合不確定指標信息量的計算方法是隨機指標計算方法的擴展。

隨機指標信息量

式中：p為滿足給定功能需求FR的成功概率，f（FR）為功能需求FR的系統(tǒng)范圍的概率密度函數(shù)，drl和dru是設計范圍的上界和下界。對于混合不確定指標，其設計范圍是模糊變量，成功概率p的積分上下限是模糊數(shù)，難以依據(jù)式（3）直接計算。為此，本文定義了混合確定指標信息量計算公式。

定義5 混合不確定指標信息量計算公式為

以服務方案評價指標及時性為例，說明混合不確定指標的建模過程。及時性的設計范圍是模糊集｛很快，快，一般｝，評價術語集如圖2c所示，其系統(tǒng)范圍是一個隨機變量，分布服從特定的概率密度函數(shù)（Probability Density Function，PDF），如圖2b所示。圖2a展示了混合不確定指標及時性的設計范圍和系統(tǒng)范圍。根據(jù)信息量的計算公式，混合不確定指標信息量

式中：p為滿足及時性的成功概率，f（FR）為及時性系統(tǒng)范圍的概率密度函數(shù)；M和VF為設計范圍的上下界，分別表示“中等”和“很快”。

2 混合不確定指標信息量算法

為計算混合不確定條件下的指標信息量，采用模糊模擬方法，將上下限為模糊數(shù)的積分轉換為一系列精確數(shù)積分的加權和。評價指標主要有成本型、效益型和固定型等，成本型和效益型指標的成功概率積分上下界中僅有一個是模糊數(shù)，固定型指標的成功概率積分上下界都是模糊數(shù)，其計算過程略有不同。

2.1 基于模糊模擬的信息量計算方法

模糊模擬由文獻［18-19］提出，它是對模糊系統(tǒng)模型進行抽樣實驗的一項技術，在處理包含模糊參數(shù)的不確定函數(shù)方面很有優(yōu)勢［17］。模糊模擬處理不確定函數(shù)的主要思想是在模糊數(shù)的α-水平截集中取一系列離散的點代表連續(xù)變化的模糊數(shù)，分別計算這些離散點的函數(shù)值，通過一定的方式將離散點的函數(shù)值合成，即得到不確定函數(shù)的值。因此如何合成離散點處的函數(shù)值是模糊模擬的關鍵。本文借鑒模糊變量期望的模擬方法，對離散點處的函數(shù)值進行加權和運算，獲取成功概率p。由定義3可知，隸屬函數(shù)是可能性的度量，本文根據(jù)各離散點的隸屬度對其函數(shù)值賦權，把各離散點的隸屬度做歸一化處理，設置為各離散點的權重，具體流程如圖3所示。

下面通過一個簡例說明本算法思路。如圖2所示，混合不確定指標及時性的系統(tǒng)范圍是概率密度函數(shù)為f（x）的隨機變量（如圖2b），設計范圍是“很快”、“快”或“一般”。根據(jù)式（3），指標的成功概率p是上界為模糊數(shù)的積分，其中dru是“一般”，其α-水平截集為（0，48）h，α=0。為采用模糊模擬的方法計算p值，在α-水平截集中取一系列離散點，為方便說明，此例中僅取x1，x2和x3三個點，如圖2c所示，對應的隸屬度分別為μ（x1），μ（x2）和μ（x3），成功概率分別為。此三點處函數(shù)值（成功概率p1，p2，p3）的權重為隸屬度的歸一化值，。指標的成功概率p為各離散點處函數(shù)值的加權和。因此“服務及時性”這一指標的信息量為I=

混合不確定條件下，成本型和效益型指標公共范圍的上下界中只有一個是模糊變量，固定型指標公共范圍的上下界都是模糊變量，如圖4所示。以成本型指標為例，說明混合不確定指標公共范圍的特點。如圖4a所示，由于公共范圍的上界是模糊變量，圖中斜線所示區(qū)域為公共范圍的模糊邊界，這部分公共范圍的計算難以采用傳統(tǒng)的信息量計算公式。同理，效益型指標和固定型指標的信息量計算方法也需重新設計。

2.2 成本型和效益型混合不確定指標信息量算法流程

步驟1 確定系統(tǒng)范圍的概率分布函數(shù)f（x）。

步驟3 在區(qū)間［a，c］中取一系列均勻分布的離散點xi，其中i=1，2，…，M，M為一個足夠大的數(shù)（一般M≥100）。

步驟4 計算各離散點xi的隸屬度μ（xi）及此處函數(shù)值的權重wi，

步驟5 計算各離散點處的成功概率

步驟6 計算此指標成功概率p和信息量I：

2.3 固定型混合不確定指標信息量算法流程

步驟1 確定隨機變量的概率分布函數(shù)f（x）。

步驟3 分別在區(qū)間［a1，c1］，［a2，c2］中隨機取一系列離散點，其中i=1，2，…，M，j=1，2，…，M，并使，得到M組區(qū)間

步驟5 計算隨機變量成功的概率，以M個區(qū)間的加權概率之和的形式表示為

步驟6 計算隨機變量的信息量

3 實例

3.1 混合不確定條件下基于信息公理的評價

某著名工程機械企業(yè)在新型號起重機產品服務系統(tǒng)方案的研發(fā)過程中，確定了5個可行的方案a1，a2，a3，a4，a5。針對這些方案，用所提方法進行評價優(yōu)選。

步驟1 確定起重機產品服務系統(tǒng)的評價指標，即概念方案設計階段定義的功能需求（如表2）。其中維修效率、維修成本、維修及時性是混合不確定指標。

步驟2 確定評價指標的設計范圍和系統(tǒng)范圍。設計范圍由決策者根據(jù)用戶的需求確定（如表2），設計范圍的評價術語集和隸屬度函數(shù)如圖5所示，其中圖5c的橫坐標是維修的費用與產品成本的百分比。

系統(tǒng)范圍一般由專家根據(jù)經驗、知識和歷史數(shù)據(jù)等進行統(tǒng)計分析獲得。在多數(shù)情況下，對數(shù)正態(tài)分布是應予使用的最佳分布［20］。因此本案例采用對數(shù)正態(tài)分布描述c6，c7，c8，其值的對數(shù)值滿足正態(tài)分布N（u，σ）。也可以根據(jù)歷史數(shù)據(jù)或專家經驗選擇其他分布。表3列出了各方案中每個指標的系統(tǒng)范圍。

表2 評價指標及其設計范圍

表3 各方案中每個指標的系統(tǒng)范圍

步驟3 計算每個方案ak的每個指標的信息量

根據(jù)傳統(tǒng)信息公理計算c1，c2和c3的信息量，根據(jù)模糊信息公理（如表1）計算c4和c5的信息量，根據(jù)2.3節(jié)提出的混合不確定指標算法，計算c6，c7和c8的信息量，結果分別如表4～表6所示。

表4 c1，c2和c3的信息量

續(xù)表4

表5 c4和c5的信息量

續(xù)表5

步驟4 計算每個方案ak的信息量，將所有指標的信息量相加得到該方案的信息量，結果如表7所示。

表6 c6，c7和c8的信息量

表7 各方案信息量

按信息量從小到大排序（如表7），a5＞a1＞a3＞a4＞a2，方案a5的信息量最小，是最佳的起重機產品服務系統(tǒng)方案。

3.2 基于傳統(tǒng)信息公理的評價

為了驗證所提方法的有效性和優(yōu)越性，現(xiàn)將該方法與傳統(tǒng)的信息公理設計方法進行比較。c1～c5的信息量計算方法與3.1節(jié)相同。其中c1，c2和c3按照傳統(tǒng)的信息公理計算，c4和c5按照模糊信息公理計算。傳統(tǒng)的信息公理不考慮隨機性指標的模糊性，因此c6，c7，c8的設計范圍是精確區(qū)間，分別為［0，51.5］h，［0，1.5］%和［0，34.0］h。其信息量的計算結果如表8所示，各方案的信息量及排序如表9所示。

表8 傳統(tǒng)的信息公理中c6，c7，c8的信息量

表9 傳統(tǒng)的信息公理中各方案的信息量

由表9可知，傳統(tǒng)信息公理的排序a5＞a3＞a1＞a4＞a2與本文所提方法的排序結果略有不同（a3與a1的次序不同）。由于所提方法對系統(tǒng)范圍為隨機變量的評價指標，采用模糊數(shù)描述其設計范圍，能更有效地表達實際評價過程中決策者的意圖。而傳統(tǒng)的信息公理將這些指標的設計范圍表示成定量的數(shù)值，沒有考慮評價值的模糊性，造成某些信息丟失，使計算結果不夠準確。因此，本文提出的方法更有效、實用。

4 結束語

本文針對方案評價中存在模糊和隨機兩種不確定因素的特點，提出混合不確定條件下基于信息公理的方案評價方法，構建了以隨機和模糊變量分別表達系統(tǒng)和設計范圍的混合不確定性指標模型，針對成本型、效益型和固定型指標，采用模糊模擬方法分別提出信息量的計算方法。以起重機產品服務系統(tǒng)方案評價為例，驗證了所提方法的可行性和有效性。本文的主要貢獻在于：

（1）拓展了信息公理的應用范圍，提出以隨機變量表示系統(tǒng)范圍、以模糊變量表示設計范圍的混合不確定性處理方法，對同時具有模糊性和隨機性因素的方案評價具有重要的參考價值。

（2）提出了混合不確定條件下評價指標信息量的計算方法，分別針對成本型、效益型和固定型指標，采用模糊模擬方法提出其信息量的算法，將上界和下界為模糊數(shù)的積分轉化為離散點積分的加權和，通過信息量比較獲得最佳方案。

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