關(guān)于自守形式和L函數(shù)的簡短6章

朱堯辰

自守形式和L函數(shù)是一些特殊的復(fù)變函數(shù)，是研究某些數(shù)論問題的有效解析工具。本書由與它們有關(guān)的簡短的6章組成，中心內(nèi)容是Shimura周期猜想和L函數(shù)矩量猜想。這兩個猜想在現(xiàn)代數(shù)論中具有基本重要性，和某些重要的代數(shù)數(shù)論及解析數(shù)論問題和猜想緊密相關(guān)，屬于現(xiàn)代數(shù)論的前沿性研究課題。本書兩位作者是在美國Texas教會大學(xué)任教的中國學(xué)者，多年從事與這些猜想有關(guān)的研究，并且近年來在中國內(nèi)地、土耳其和美國一些大學(xué)就此主題講學(xué)。本書就是在此基礎(chǔ)上形成的論著。

本書第1章：模形式和ShimuraTaniyama猜想。簡明地給出本書后文必需的數(shù)論預(yù)備知識，包括橢圓函數(shù)、模形式、Hecke算子、L函數(shù)、橢圓曲線等，最后敘述了HasseWeil猜想和ShimuraTaniyama（志村-谷山）猜想。第2，3，6章論述Shimura周期猜想，第4，5章研究L函數(shù)矩量猜想。2.自守形式的周期。與自守形式的周期有關(guān)的各種概念的引論。首先定義了自守形式，然后討論在Dirichlet級數(shù)，橢圓曲線和上同調(diào)理論研究中出現(xiàn)的周期概念，進(jìn)而引進(jìn)Hilbert模形式，與四元數(shù)代數(shù)相關(guān)的自守形式以及Adel自守形式，還有Heck算子以及對于Hilbert模形式的標(biāo)準(zhǔn)L函數(shù)，等等。本章的論述遵循Shimura的研究工作；3.自守形式的提升。包含兩部分：提升自守形式的有關(guān)概念，Shimura周期猜想的表述和Yoshida的工作介紹；4.L函數(shù)的零點。研究L函數(shù)的解析性質(zhì)，特別給出關(guān)于L函數(shù)零點分布的基本結(jié)果，包括Riemann猜想和廣義Riemann猜想；5.L函數(shù)的特殊值。是上一章的繼續(xù)，給出L函數(shù)的離散矩量猜想，積分矩量猜想，包括與之有關(guān)的BirchSwinnertonDyer猜想和Lindelof猜想；6.θ提升和對于二次擴(kuò)張的周期。比較詳細(xì)地給出本書第一作者最近關(guān)于Shimura周期猜想的研究成果，并給出進(jìn)一步研究的文獻(xiàn)。

本書是一本前沿性專著，有些章節(jié)不包含論證細(xì)節(jié)，因此要求讀者具有較專門的數(shù)論知識和一定的研究基礎(chǔ)，主要供有關(guān)數(shù)論研究人員和研究生閱讀。

（中國科學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所）endprint