呂 煒，賀昌政

(四川大學商學院，四川成都 610074)

招投標最早起源于18世紀的英國，它通過制定一套明確、具體的交易制度，并通過招投標參與人的報價來確定中標人和成交價格，以合理配置資源。中國有史料記載的招投標發(fā)生在1902年張之洞創(chuàng)辦的湖北皮革廠，但解放前封建、半封建和半殖民地社會制度束縛了招投標事業(yè)的發(fā)展。新中國成立后，中國又實行計劃經濟，招投標一度停止。20世紀80年代以來，中國逐步推行招投標制度，并首先在工程建設領域予以推行，取得了顯著成效。中國加入世界貿易組織后，為了與國際接軌，于2003年開始推行工程量清單計價招標，并采取國外的最低價格中標制度。但近年來，隨著中國經濟的快速發(fā)展，政府財力日益增強，政府投資大型基礎設施項目和公益項目日益增加，而這些大型項目建設規(guī)模較大、技術復雜、建設周期長、資金占用量大，不確定影響因素較多，所需設備品種多、價值量高，因此其質量、工期和成本直接關系到整個項目的成?。?］。在這類政府工程招投標中，招標人不僅關注投標報價，還關注投標人的工程質量、工期等信息(包括競標人資金、信用、類似工程業(yè)績等)。傳統(tǒng)的招投標(逆向拍賣)僅將競標人的投標報價作為定標依據，而將工程投標質量和工期的信息作為資格審查條件，可能導致部分性價比較高的競標人(指質量高、工期短且報價相對較低的競標人)失去中標機會，既不利于節(jié)約政府工程采購費用，也不利于質優(yōu)價廉競標人體現其競爭優(yōu)勢，難以滿足一些大型或技術復雜的政府工程招標的需要，因此有必要采用多屬性招標。

多屬性拍賣是傳統(tǒng)拍賣的拓展，Bichler認為多屬性拍賣是招標人與競標人進行交易時考慮拍賣品的多個品質屬性(如質量、交貨期等)的一種拍賣方式［2］。Thiel最早研究多屬性拍賣，研究如何將多屬性拍賣轉化為傳統(tǒng)拍賣問題，發(fā)現在已知賣方偏好函數的情況下，多拍拍賣問題可以簡化為一維采購拍賣問題［3］。根據拍賣行動規(guī)則不同，多屬性拍賣又分為菜單式拍賣、選美式拍賣和記分拍賣［4］。Asker＆Cantillon證明記分制拍賣占優(yōu)于菜單式和選美式拍賣［5］。Che考慮了包括價格和質量的二維拍賣模型，針對贏標人的確定和支付問題，研究了密封拍賣機制的變形協(xié)議，即第一記分拍賣、第二記分拍賣和第二首選要約記分拍賣［6］。Branco將Che的研究拓展到競標人成本相互關聯的情形，發(fā)現成本的相關性對多維拍賣最優(yōu)機制有重要影響［7］。David研究了具有普遍意義的多屬性拍賣［8］。王宏通過引入廣義質量生產函數，求解了多維信息招投標的最優(yōu)招標機制［1］。黃河假設競標人對質量和價格分別投標，并利用樹形結構求解競勝標問題［9］。孫亞輝在David研究的基礎上研究多屬性拍賣方式下競標人的最優(yōu)投標策略［10］。李軍和劉樹林研究了基于CD效用函數的多屬性采購拍賣［11］。周學廣運用博弈理論研究了供應鏈在線多屬性逆向拍賣，但其僅考慮招標人效用函數視為質量、交貨期的線性函數的情形［12］。

本文將周學廣研究的供應鏈多屬性逆向拍賣方法引入研究政府工程多屬性招投標，在研究David提出的招標人效用函數是價格p和品質屬性的線性組合基礎上，借鑒孫亞輝將招標人的效用函數視為質量等品質屬性的冪函數形式［10］，即招標人效用函數是價格p和品質屬性αqx的線性組合，建立了多屬性非合作博弈模型，并基于該模型分析了招、投標雙方的競價策略。

一、模型

(一)問題描述

不妨考慮政府工程建設業(yè)主針對某單位工程采取多屬性招標確定建筑承包商。招標文件規(guī)定投標人需要投標的多屬性包括:報價、質量等級和工期。政府工程招投標流程有資格預審文件、招標文件的編制與審查、發(fā)布招標公告(或投標邀請書)、資格預審、出售招標文件、勘察現場、投標預備會議、投標文件的編制與遞交、工程標底價格的報審、開標、評標、中標和簽訂合同。從博弈視角可將政府工程建設業(yè)主和承包商的招投標過程視為一個三階段的動態(tài)博弈，其博弈流程如圖1。第一階段，建設業(yè)主發(fā)布某建設單位(項)工程招標公告，以及該項目建設地址、規(guī)模、詳細的需求標準(招標圖紙等)、工程開工日期，并提供招標工程量清單細目明細，以利于投標人評估測算是否參與該工程競標。第二階段，建筑承包商根據業(yè)主提供的招標文件、相關建設標準、工程量清單計價定額和設備材料市場價格等數據信息，并結合自身的施工成本、質量以及施工工期，決定其是否參與投標以及投標競爭策略。第三階段，定標結束，建設業(yè)主或委托招標人組織評標委員會按照招標文件要求，對投標人的投標文件進行篩選和評估，以選擇最佳的投標文件作為決標和授予施工合同(為簡化分析，此處采取與國際招標通行的低價中標，即報價最低的投標人能夠給建設業(yè)主帶來最大的利潤)，招標結束。因此可以將政府工程招投標視為一個多階段的擴展式博弈，如果將所有投標人視為一個參與人，則在政府工程招標的每個階段只有一個參與人采取行動，且其具有非簡單選擇集——選擇集里的元素個數大于1，而其他參與人則僅有一個單元素，即“不采取任何行動”的選擇集，所以可以將政府工程招投標視為具有完美信息的多階段博弈。

圖1 政府工程招投標博弈

(二)模型基本假設

Che建立了投標報價和質量的二維多屬性拍賣(招標是拍賣的逆向形式)，并提出了第一記分拍賣、第二記分拍賣和第二首選要約拍賣三種形式，并證明了二維收入等價原理［6］。王宏等通過引入廣義質量生產函數，把投標人的質量信息轉化為綜合性質量指標，求解了基于社會福利最大化的多維信息招標最優(yōu)機制［1］。本文模型在Che的模型基礎上參考王宏的研究內容增加了施工工期招投標屬性，采用第一記分拍賣理論構建了一個更符合市場經濟的基于招標人剩余最大化的政府工程多屬性招標博弈模型。

假設A1:某政府工程的招投標參與人為n+1個，1個招標人(業(yè)主)和n個投標人(建筑承包商)，將其記為 N=，其中0表示招標人(即業(yè)主)。

假設A4:投標人i的施工成本是投標承諾工程質量與工期的函數，即

假設A5:政府工程招投標屬于完全信息博弈，投標人之間信息對稱但不存在合作，參與人的最優(yōu)戰(zhàn)略是實現效用極大化。

(三)模型

參與人i的支付等于其報價減去工程成本，結合假設A4可得競標人i的利潤函數:

(2)式中，k1、k2是投標人完成擬投標工程單位質量成本和工期成本系數，對投標人i來說k1、k2為已知常數。

從概率論角度看，政府工程投標參與人贏得中標具有一定概率，記為，即n個投標人參與競標，投標人i按組合投標且其提供給招標人的效用U*最大時的概率。投標人i期望支付為:

二、動態(tài)博弈求解及分析

(一)均衡招投標策略

政府工程招投標活動中，所有參與人對自己選擇前的博弈過程完全了解，而在每一階段，僅有一個參與人具有1個以上的行動空間，其他參與人不采取任何行動，因此屬于一個三階段完全且完美信息動態(tài)博弈，采用逆向遞歸法(Backwards Induction)可以求解其子博弈納什精煉均衡(subgame perfect Nash equilibrium)［13］。

首先，考慮博弈的最后一個階段(即第3階段)，子博弈完美納什均衡策略應是招標人選擇使他效用最大的競標人。不妨設第i個投標人能夠使招標人獲得的效用最大，即第i個投標人的投標策略滿足:

其次，在第二階段，每個投標參與人根據建設標準、工程量清單計價定額和設備材料市場價格等信息，并結合其施工成本、質量以及工期等，選擇一個使其利潤極大化的投標價格。能夠贏得中標的是能給招標人帶來最大效用的投標人。因此滿足上述兩個條件的投標策略才是子博弈納什均衡解。

由假設A2知，投標人i的類型函數可由施工質量qi和工期ti表述，故競標人i的類型函數為而招標人的效用與競標人i的投標報價、施工質量和工期正相關，且投標人的報價是其施工質量和工期的函數，因此可將投標人帶給招標人的效用視為競標人的投標報價得分，因此可用si和Θi分別代替投標人的投標報價得分和類型。

將(5)、(6)式代入(3)式，可得第i個投標人的最優(yōu)均衡策略為:

(二)子博弈精煉納什均衡

不妨考慮類型函數為Θi的競標人i的策略，投標價格為其施工質量和工期的函數并將其記為B，即類型函數為Θj的投標人j，其報價表示為顯然B是單調遞增函數，即類型越好的投標人帶給招標人的效用就越大，競爭能力越強，其投標得分越高。如果投標人i贏得中標，那么其報價得分應該滿足si＞sj，j≠i，且j=1，2，…，n。競標人i投標得分為si，且贏得中標的概率為其他所有競標人投標得分滿足si的概率。因此，其中B－1()·是B()·的反函數。投標報價得分為si的競標人i的期望支付為:

對投標人i來說，子博弈精煉納什均衡就是選擇最優(yōu)投標得分s*i，故將(9)式兩端對si求導并令其等于零，即

然后將(9)式兩端對Θi求導可得

將si=和(10)式代入(11)式整理可得:

根據假設A5，投標人信息相互對稱，所有參與競標人的投標函數B均滿足(9)式期望利潤最大化條件，因此投標報價得分相同的競標人具有相同類型，即存在子博弈精煉納什均衡條件下si=BΘ()i，將其代入(12)式可得:

將(13)式兩端對 Θi進行積分，可得

最后求出投標人的投標報價策略:

由(16)式知，最優(yōu)投標策略由兩部分構成:一是投標人完成擬投標工程的施工成本，即二是投標人類型優(yōu)勢帶來的超額利潤，即。且其最優(yōu)報價策略是其成本的函數。

命題1:在政府工程招投標非合作博弈模型中，競標人存在子博弈精煉納什均衡策略，即為(16)式。

再將(17)式兩端對Θ'i求偏導數可得:

類型為Θi的投標人i假裝類型Θ'i投標人參與競標，招標人獲得的期望剩余:

將(19)式兩端對Θ'i求導可得:

把(20)式代入(18)式整理可得:

由命題1知，對理性的競標人來說都不應假裝其他競標類型，而應按其真實的產品質量和提前工期投標，其投標價格策略為(16)式，即競標人主動向招標人透露其真實的質量和提前工期。

(三)投標人競標策略性質

命題2:公開招標人偏好的政府工程多屬性招投標博弈模型中，競標人收益與投標質量和工期的圖形關系分別呈U形，即投標質量和提前工期分別超過某點后，投標人的收益分別是其投標質量和提前工期的增函數;而在到達該點之前，投標質量和提前工期邊際收益遞減。

證明:不妨考慮競標人i在某政府工程招投標活動中，其投標承諾質量為、提前工期為ti。子博弈精煉納什均衡時，競標人i按(16)式進行投標報價，因此將(16)式代入(3)式可求得投標人i的期望支付:

將(22)式兩端對qi求偏導可得:

k1=1，當qi＞

k1≠ 1，當 qi＞

因此，招標人收益與投標質量的關系為:(1)k1=1，當投標質量時，競標人收益是其質量的增函數;當投標質量時，競標人收益是其質量的減函數。(2)k1≠1，當時，競標人收益是其質量的增函數;當時，競標人收益是其質量的減函數。

再將(22)式兩端對ti求偏導可得:

但對理性的競標人i來說:當k2≥b2時，競標人i將放棄競標，因其參與工期成本大于招標人的質量效用，因此k2＜b2。

k2=1，當ti＞T－

k2≠1，當 ti＜ T－0;當ti＞T－

因此，招標人收益與投標工期的關系為:(1)k2=1，當投標提前工期時，競標人收益是其競標提前工期的增函數;當時，競標人收益是其投標工期的減函數。(2)k2≠1，當競標提前工期時，競標人收益是其競標提前工期的減函數;當時，競標人收益是其競標提前工期的增函數。

綜上，在投標質量和提前工期分別超過某點后，投標人的收益分別是其投標質量和提前工期的增函數，即投標類型越好的競標人更能體現其競爭優(yōu)勢，獲得更多的收益;而在到達該點之前，投標質量和提前工期邊際收益遞減。這一點與周學廣等人的研究結論略有不同［12］，但本文的研究結論更符合實際，因為在政府工程招投標實踐中，當招標人要求的質量和提前工期超過國家規(guī)定的合格標準之后，他必須額外支付投標人為完成高質量工程和趕工工期(提前工期)的費用。

推論1:公開招標人偏好的政府工程采用多屬性招投標博弈，招標人的投標承諾質量和提前工期偏好系數越大，競標人的收益越高。

證明:將(22)式兩端對b1求導可得，因此，投標人的收益是招標人質量偏好系數的增函數(顯然qi＞1，因政府工程采用多屬性招投標時，理性競標人的投標承諾質量高于國家最低質量等級)。

將(22)式對b2求導可得，即投標人的收益是招標人提前工期偏好系數的增函數(顯然ti＜T－1，因在招投標實踐中，競標人承諾的提前工期通常大于1天)。

綜上，招標人的承諾質量和提前工期偏好系數越大，競標人的收益越高。此結論與命題2表面上看似相矛盾，但實際上當招標人的投標承諾質量和提前工期偏好系數足夠大時，競標人的承諾投標質量和提前工期肯定超過命題2中的極小值點，推論1與命題2并不矛盾，二者實際上是一致的。

由推論1知，競標人的收益與招標人承諾質量和提前工期偏好系數成正相關，因此理性競標人的類型越好越愿意參加招標人非價格偏好系數越高的政府工程招投標，以充分發(fā)揮其類型競爭優(yōu)勢，獲得更高的期望收益。

(四)招標人剩余的性質

命題3:在公開招標人偏好系數的政府工程招投標活動中，若競標人均按(18)式進行投標，招標人的剩余效用與投標質量和工期的圖形關系呈U形，即當投標質量和提前工期超過某點后，招標人剩余是投標質量和提前工期的增函數，而在到達該點之前，招標人剩余是投標質量和提前工期的減函數。

證明:將(16)式代入(1)式即可求出招標人的消費者剩余:

將(25)式對qi求偏導可得，，其中，均衡時投標人i中標的概率為零，不予考慮)，因此:當時，0; 當 qi=時 ，;當

再將(25)式對 ti求導可得，，因此當當ti＞T－

綜上，當競標人承諾投標質量和提前工期超過某點后，招標人剩余是投標質量和提前工期的增函數，而在到達該點之前，招標人剩余是投標質量和提前工期的減函數。

由命題3知，對政府工程招標人來說，制定合理的招標規(guī)則(包括選擇合適的記分函數)，以使競標人的投標質量、提前工期和價格策略分別按和(16)式予以確定，將有利于提高其招標剩余，因此合理制定多屬性招標規(guī)則具有十分重要的意義，因其事關招標人剩余大小。

推論2:競標人施工質量和工期成本系數值越大，招標人剩余越小。

證明:將(25)式對k1求導得，再將(25)式對k2求導得，因此，招標人的消費者剩余是競標人施工質量和工期成本系數的減函數。

由推論2知，招標人的剩余與競標人投標質量和工期成本系數成反比，因此招標人選擇合理的記分函數，可以降低施工質量和工期成本系數較高的競標人得分，有助于提高招標剩余。

推論3:政府工程采用多屬性招投標時，招標人的投標承諾質量和提前工期偏好系數越大，其招標剩余也越大。

證明:將(25)式兩端對b1求偏導可得，;再將(25)式兩端對 b2求偏導可得，因此，招標人剩余是招標人投標承諾質量和工期偏好系數的增函數，即招標人的工程質量和工期偏好系數越大，其獲得的消費者剩余也越大。

由推論3知，競標人認為招標人的質量和提前工期偏好系數越大，就能使招標人獲得更多的招標剩余，因此理性的招標人更愿意通過誘導競標人相信其質量和提前工期偏好系數較大而獲得更多的招標剩余。

(五)參與人的最優(yōu)策略

命題4:參與政府工程多屬性招投標博弈的參與人的最優(yōu)策略分別為:競標人根據其真實施工質量和工期水平進行投標，其投標報價為(16)式;招標人則是根據競標人投標的施工質量和工期的最優(yōu)組合來確定獲勝者。

證明:由命題1知，競標人的最優(yōu)投標博弈策略是按其真實的施工質量和工期進行投標，其投標報價為(16)式。又由命題3知具有高施工質量和較大提前工期周期的的競標人能給招標人帶來更多的招標剩余，因此招標人應根據投標質量和工期的最優(yōu)組合來確定獲勝者。

因此，均衡時競標人的最優(yōu)策略是按(16)進行投標報價，并按其施工質量和工期進行投標，這種招投標方式有利于招標人根據競標人投標性價比擇優(yōu)確定贏標人，提高政府工程招投標效率。其原因是招標人可以直接根據投標質量、工期和價格的最優(yōu)組合確定政府工程承包商，且質量好、工期短的競標人不僅能夠增加招標人的消費者剩余，而且還能增加其自身收益，故對一些技術復雜的工程采用多屬性招投標能增大招、投標雙方效用，從而實現雙贏。

三、算例驗證

假設某政府工程采取多屬性招標，建設業(yè)主通過招標文件給出其質量、工期的權重系數α=0.6，β=0.5，最低投標質量Q=0.3，最長工期T=1，并告知其質量和工期的偏好系數分別為b1=2.2，b2=1.9;不妨考慮參與競標的投標人數n=5，競標人i完成該工程的質量和工期的成本系數k1=1.5，k2=1.2，且競標人的質量和工期ti獨立且在區(qū)間0，()1上服從均勻分布。

(一)投標價格與工期、質量關系

由(16)式可以得到競標人i的投標價格:

用Matlab可繪出(26)式的圖形，即競標人投標報價與質量、工期關系圖，見圖2。

由圖2知，當競標質量或提前工期即將接近極限點(即質量即將達到最高質量等級、提前工期接近最短工期時)，競標人的投標價格急劇上升，因競標為達到質量和工期的極限點，其成本急劇上升，需要提高投標報價彌補工程成本，與現實實際相符。

圖2 投標報價與質量、工期關系

(二)招標人剩余與投標質量與工期的關系

根據(25)式和算例中數據，用Matlab繪出招標人剩余與質量、工期關系(圖3)。

表面上看圖3的形狀與命題3的結論不一致，但將算例中給定的數據帶入(25)式，即招標人剩余隨競標質量邊際遞減;同理將算例中給定的數據帶入(25)式，即招標人剩余隨競標提前工期邊際遞減。即圖3僅反映了招標人剩余與投標質量、工期遞減部分的關系，因此二者之間并不存在矛盾。

圖3 招標人剩余與投標質量、工期關系

(三)根據(22)式和算例提供的數據，運用Matlab可得到競標人收益與質量、工期的關系(圖4)

圖4 競標人收益與投標質量、工期關系

由圖4知，競標人縮短工期增加的收益比提高質量產生的收益顯著得多。

(四)招標人剩余與競標人質量、工期成本的關系

根據(25)式和算例數據，運用Matlab可得到招標人剩余與競標人質量、工期成本的關系(圖5)，其反映的結果與推論2的結論完全一致。

圖5 招標人剩余與競標人質量、工期成本關系

(五)招標人剩余與競標人質量、工期偏好系數的關系

根據(25)式和算例數據，運用Matlab可繪出招標人剩余與質量、工期成本的關系(圖6)，其反映的結果與推論3的結論完全一致。

圖6 競標人質量、工期成本關系

四、結論

本文將政府工程多屬性招投標視為一個招標要約、投標承諾和定標的三階段動態(tài)博弈問題，并構建了非合作動態(tài)博弈模型。該模型考慮了投標價格、工期和質量三個屬性，將競標人的類型函數通過質量和工期予以表示，并將投標價格視為質量、工期的函數，利用逆推法求解了該模型子博弈納什均衡。在子博弈納什均衡時，競標人會根據自身真實的施工質量和工期進行投標，并進一步得出招標人剩余效用和競標人收益分別與投標質量、工期的圖形呈U形，即投標質量和提前工期分別超過某點后，投標人的收益分別是其投標質量和提前工期的增函數;而在到達該點之前，投標質量和提前工期邊際收益遞減;招標人的投標承諾質量和提前工期偏好系數越大，競標人的收益越高，因此競標人的投標也越積極，招標人的剩余也越大;競標人施工質量和工期成本系數值越大，招標人剩余越小。

論文構建的政府工程多屬性招投標博弈模型是建立在公開招標人偏好系數的基礎上，而現實政府工程招投標信息通常難以滿足此條件，因此針對此問題可進一步深入研究。

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