數(shù)學與國家實力（下）

張恭慶

四、數(shù)學與國防

在二戰(zhàn)中，數(shù)學家對于盟軍取勝起到了什么作用？

馮·諾依曼是20世紀一位頂級數(shù)學家，也是第一臺電子計算機程序和存儲的研制構(gòu)思者。他對美國原子彈的制造做了兩大貢獻：一是幫助洛斯阿拉莫斯找到了數(shù)學化的途徑。“數(shù)學化”是指用快速計算機去模擬計算原子彈的爆炸過程和爆炸威力。二是研究爆聚炸彈，就是把一些炸彈、原子彈捆綁起來發(fā)出更大的威力。

烏拉姆是波蘭數(shù)學家，他從歐洲逃到美國后參加了曼哈頓計劃。為了模擬核實驗，他發(fā)明了蒙特卡羅計算方法。前蘇聯(lián)大數(shù)學家柯爾莫哥洛夫在二戰(zhàn)中提出了平穩(wěn)隨機過程理論。美國數(shù)學家維納提出了濾波理論，這些理論對于排除噪音的干擾，處理雷達所得的信息發(fā)揮了作用。

英國數(shù)學家圖靈是設計出通用數(shù)字計算機的第一人。二戰(zhàn)中，他與一些優(yōu)秀數(shù)學家一起，最終破譯了德軍所用的密碼體制Enigma。美國的密碼分析學家也于1940年破譯了日本的“紫密”密碼。1942年日本突襲中途島海戰(zhàn)失敗，一個重要原因是美國破譯了日本攻擊中途島的情報；1943年4月，利用所破譯的情報，美國打下了山本五十六的座機，成為密碼史上精彩的一頁。

在現(xiàn)代化戰(zhàn)爭中，數(shù)學的作用更為突出。在武器方面有核武器、遠程巡航導彈等先進武器的較量。在信息方面有保密、解密、干擾、反干擾的較量。對策方面有戰(zhàn)略、策略、武器配制等方面的較量。每一項都和數(shù)學有緊密的關系。

核反應過程是在高溫高壓下進行的，核爆炸的巨大能量在微秒量級的時間內(nèi)釋放出來，很難在核試驗中測量出核爆炸內(nèi)部的細微過程，只能得到一些綜合效應的數(shù)據(jù)。但通過核反應過程的數(shù)學模型，進行數(shù)值計算卻可以給出爆炸過程中各個細節(jié)的圖像、定量的數(shù)據(jù)以及各種因素與機制的相互作用。在參加全面禁止核試驗條約后，通過數(shù)值計算模擬核試驗就更重要了。

在巡航導彈方面，《解放軍報》在一篇《數(shù)學的威力》報道中寫道： “一個方程將衛(wèi)星圖像質(zhì)量提高30%，一個公式改變了一個部隊的知情模式?！?/p>

信息的“加密”與“解密”是一種對抗，正如人們所說 “魔高一尺，道高一丈”。而這種對抗力量的表現(xiàn)全在所依靠的數(shù)學理論之上。例如，公開密鑰算法大多基于計算復雜度很高的難題，要想求解，需要在高速計算機上耗費許多時日才能得到答案。這些方法通常來自于數(shù)論。例如，RSA源于整數(shù)因子分解問題，DSA源于離散對數(shù)問題，而近年發(fā)展快速的橢圓曲線密碼學則基于與橢圓曲線相關的數(shù)學問題。自從費曼提出量子計算機以來，人們希望設計出一種計算機，它能實現(xiàn)在馮·諾依曼計算機上不能實現(xiàn)的算法。如果一旦能把某種類型的計算速度大大增加，那么破解現(xiàn)有的密碼就有可能。1994年數(shù)學家Shor已經(jīng)對假想的量子計算機，提出了一種大合數(shù)的因子分解方法，其復雜度大大降低，使得在量子計算機上有可能破解許多現(xiàn)有的密碼。

從大的戰(zhàn)役指揮，到小的作戰(zhàn)方案，都需要了解敵我雙方的實力，運籌帷幄，不打無準備之仗。這都需要進行定量化分析，建立模型，形成隨機應變的作戰(zhàn)指揮系統(tǒng)。其中概率統(tǒng)計、運籌學等數(shù)學分支發(fā)揮著重要作用。

五、數(shù)學與國民經(jīng)濟

數(shù)學與國民經(jīng)濟中的很多領域休戚相關?；ヂ?lián)網(wǎng)、計算機軟件、高清晰電視、手機、手提電腦、游戲機、動畫、指紋掃描儀、漢字印刷、監(jiān)測器等在國民經(jīng)濟中占有相當大的比重，成為世界經(jīng)濟的重要支柱產(chǎn)業(yè)。其中互聯(lián)網(wǎng)、計算機核心算法、圖像處理、語音識別、云計算、人工智能、3G等IT業(yè)主要研發(fā)領域都是以數(shù)學為基礎的。所以信息產(chǎn)業(yè)可能是雇用數(shù)學家最多的產(chǎn)業(yè)之一。這里用到許多不同程度的數(shù)學工具，有的還有相當?shù)纳疃?，包括：編碼、小波分析、圖像處理、優(yōu)化技術、隨機分析、統(tǒng)計方法、數(shù)值方法、組合數(shù)學、圖論等等。

上世紀70年代之后，計算機技術和計算流體力學的發(fā)展使數(shù)值模擬在大型客機的研制中發(fā)揮了巨大作用，計算流體力學與風洞試驗、試飛一起并列成為獲得氣動數(shù)據(jù)的三種手段。

傳統(tǒng)的大型工程，如水壩的設計需要對壩體和水工結(jié)構(gòu)作靜、動應力學分析。數(shù)學中的有限元方法是其中最基本的計算方法。

在石油勘探與開采中都大量運用數(shù)學方法，涉及到數(shù)字濾波、偏微分方程的理論和計算以及反問題等。

數(shù)學模擬在化學工業(yè)中也起很大的作用。被稱為現(xiàn)代化工之父的美國人埃莫森，把有些化工實驗在“小試”階段之后，通過成熟的數(shù)學建模手段取代“中試”，直接進入“大試”， 縮短了實驗周期，節(jié)省了經(jīng)費。

現(xiàn)代醫(yī)療診斷中常用的CT掃描技術，其原理是數(shù)學上的拉東變換。 CT螺旋式的運動路線記錄X光斷層的信息。計算機將所有的掃描信息按數(shù)學原理進行整合，形成一個詳細的人體影像。在更先進的生物光學成像技術的研究中也吸引了不少數(shù)學家的參與。

藥物檢驗—要評估一種新藥能否上市，需要經(jīng)過新藥療效測試，這就要科學地設計試驗，以排除各種隨機性的干擾，真正評估出藥物的效果和毒性。為此，人們設計出了雙盲試驗等試驗手段。國外流行的SAS軟件，是藥物檢驗的必經(jīng)之徑。發(fā)達國家制藥公司聘用大批擁有數(shù)理統(tǒng)計學位的雇員從事藥檢工作。

國際金融市場用“金融高技術”運作?！敖鹑跀?shù)學”是利用數(shù)學工具來研究金融，進行數(shù)學建模、理論分析、數(shù)值計算等定量分析的一種金融高技術。它是數(shù)學和計算技術在金融領域的應用。華爾街和一些發(fā)達國家大銀行、證券公司高薪雇用大批高智商的數(shù)學、物理博士從事資本資產(chǎn)定價、套利、風險評估、期貨定價等方面的工作。

發(fā)達國家的保險業(yè)中早已使用“精算”為金融決策提供依據(jù)。精算學是一門運用概率、統(tǒng)計等數(shù)學理論和多種金融工具，研究如何處理保險業(yè)及其他金融業(yè)中各種風險問題的定量方法和技術的學科，是現(xiàn)代保險業(yè)、金融投資業(yè)和社會保障事業(yè)發(fā)展的理論基礎。

災害預測與風險評估關乎國計民生。數(shù)值模擬是大氣科學、地震預測等實驗性科學中的重要實驗手段。而要提高預測的準確性必須縮小計算網(wǎng)格 （提高分辨率）、復雜化物理過程，這些都導致計算量呈幾何級數(shù)增加，解決的途徑不僅要加大計算機、加快計算機的速度，還要改進數(shù)學方法。

有關的研究表明，我們國家計算軟件工業(yè)相對落后，并不是因為我們?nèi)鄙僖话愕某绦蛉藛T，而是缺乏有較高數(shù)學修養(yǎng)的高水平的程序開發(fā)人員。與此相對照的是，比如貝爾實驗室、朗訊、IBM、微軟、谷歌、雅虎這類IT行業(yè)領袖，不但大量地招聘數(shù)學專業(yè)的博士、碩士到公司工作，而且還專門設有相當規(guī)模的數(shù)學研究部門，支持數(shù)學家開展純粹數(shù)學理論研究，以確保長期的核心競爭力。IBM公司還為本公司五萬名咨詢?nèi)藛T建立了數(shù)學學歷檔案，以便能夠針對每項工作任務，指派最合適的團隊人員。

六、數(shù)學與文化教育

（一）數(shù)學是一種文化

數(shù)學作為現(xiàn)代理性文化的核心，提供了一種思維方式。這種思維方式包括：抽象化、運用符號、建立模型、邏輯分析、推理、計算，不斷地改進、推廣，更深入地洞察內(nèi)在的聯(lián)系，在更大范圍內(nèi)進行概括，建立更為一般的統(tǒng)一理論等一整套嚴謹?shù)?、行之有效的科學方法。按照這種思維方式，數(shù)學使得各門學科的理論知識更加系統(tǒng)化、邏輯化。

作為一種文化，它的特點在于：

—追求一種完全確定的、完全可靠的知識。在數(shù)學上是非分明，沒有模棱兩可。即使對于“偶然”發(fā)生的隨機現(xiàn)象，對于“不確定”的事件，也要提出精確的概念和研究方法，確切回答某個事件發(fā)生的概率是多少，在什么確切的范圍以內(nèi)等等。

—追求更深層次的、更為簡單的、超出人類感官的基本規(guī)律。數(shù)學家們是把原始的來自實際的問題，經(jīng)過了層層抽象，在抽象的、仍然是客觀事物真實反映的更深層次上來考察、研究其內(nèi)在規(guī)律。

—它不僅研究宇宙的規(guī)律，而且也研究它自己。特別是研究自身的局限性，并在不斷否定自身中達到新的高度。由此可見，數(shù)學文化是一種非常實事求是的文化，它體現(xiàn)了一種真正的探索精神，一種毫不保守的創(chuàng)新精神。

（二）數(shù)學教育的重要性

在知識社會，數(shù)學對于國民素質(zhì)的影響至關重要。1984年美國國家研究委員會在《進一步繁榮美國數(shù)學》中提出：“在現(xiàn)今這個技術發(fā)達的社會里，掃除‘數(shù)學盲的任務已經(jīng)替代了昔日掃除文盲的任務，而成為當今教育的主要目標”。1993年美國國家研究委員會又發(fā)表了《人人關心數(shù)學教育的未來》的報告，提出：“除了經(jīng)濟以外，對數(shù)學無知的社會和政治后果給每個民主政治的生存提出了驚恐的信號。因為數(shù)學掌握著我們的基于信息的社會的領導能力的關鍵?！?當年讀了這后一段話，很不理解，發(fā)生“棱鏡事件”之后才恍然大悟。

在我國有沒有掃除“數(shù)學盲”的必要？答案是肯定的。

普及數(shù)學知識。信息社會對于公民的邏輯能力要求明顯提高。中、小學數(shù)學教育最主要的目的之一，應當在于提高學生的邏輯能力。因此數(shù)學作為一種“思想的體操”，應該是中、小學義務教育最重要的組成部分。此外，多舉辦各種科學普及講座，向公眾普及數(shù)學知識，介紹數(shù)學在各個領域中的應用也是必要的。

數(shù)學開闊人的視野，增添人的智慧。一個人是否受過這種文化熏陶，在觀察世界、思考問題時會有很大差別。數(shù)學修養(yǎng)不但對于一般科學工作者很重要，就是有了數(shù)學修養(yǎng)的經(jīng)營者、決策者，在面臨市場有多種可能的結(jié)果，技術路線有多種不同選擇時，也有可能減少失誤。億萬富翁詹姆斯·賽蒙斯就是一個最好的例證。在進入華爾街之前，賽蒙斯是個優(yōu)秀的數(shù)學家，進入華爾街之后，他和巴菲特的“價值投資”理念不同，賽蒙斯依靠數(shù)學模型和電腦管理旗下的巨額基金，用數(shù)學模型捕捉市場機會，由電腦做出交易決策。他稱自己為“模型先生”，認為建立好的數(shù)學模型可以有效地降低風險。

發(fā)達國家在大型公共設施建設，管道、網(wǎng)線鋪設以及航班時刻表的編排等方面，早已普遍應用運籌學的理論和方法，既省錢、省力又提高效率?？上?，運籌學的應用在我國還不普遍。其實我們不能要求決策者本人一定要懂得很多數(shù)學，但至少要經(jīng)常想想工作中有沒有數(shù)學問題需要請數(shù)學家來咨詢。

加強和改善高等數(shù)學教育，培養(yǎng)創(chuàng)新人才。在1988年召開的國際數(shù)學教育大會上，美國數(shù)學教育家在 “面向新世紀的數(shù)學的報告”中指出，“對于中學后數(shù)學教育，最重要的任務是使數(shù)學成為一門對于懷著各種各樣不同興趣的學生都有吸引力的學科，要使大學數(shù)學對于眾多不同的前程都是一種必要的不可少的預備”。對于我們來說，就是改革“高等數(shù)學課”，使得它對于非數(shù)學專業(yè)的學生都有吸引力，而且也使他們學到的內(nèi)容能在今后工作中發(fā)揮作用。因為數(shù)學是科技創(chuàng)新的一種資源，是一種普遍適用的并賦予人以能力的技術，改善高等數(shù)學教育，提高大學生的數(shù)學水平，定將促進這種資源的開發(fā)和科技的創(chuàng)新。

壯大應用數(shù)學隊伍，重視純粹數(shù)學的研究和人才。今天，數(shù)學幾乎已經(jīng)深入到我們能想到的一切方面。這么多有用處的數(shù)學，表面上看都屬于應用數(shù)學，然而，純粹數(shù)學與應用數(shù)學的關系如同一座冰山，浮在水面上的是應用數(shù)學，而埋在水下的是純粹數(shù)學。沒有埋于水下的深厚積累，這些“應用”是建立不起來的。數(shù)學是一個有機的整體，許多深刻的純粹數(shù)學理論把看似毫不相關的概念和結(jié)論鏈接了起來，為研究現(xiàn)實世界中的問題提供強有力的思想和方法。無數(shù)事例證明：許多當時看不到有任何應用前景的純粹數(shù)學理論，后來在現(xiàn)實世界應用中發(fā)揮了巨大作用。例如：數(shù)論與現(xiàn)代密碼學，調(diào)和分析與模式識別，幾何分析與圖像處理，隨機分析與金融等等不勝枚舉。

人們認為：下一次科技革命將以人類三種新的“生存形式”為重要標志，即網(wǎng)絡人（生活在網(wǎng)絡空間的虛擬人）、仿生人（高仿真智能人）和再生人（具有自然人特征的“復制人”）。預計這次科技革命大約將在2020-2050年到來?；仡櫱皫状慰萍几锩?，數(shù)學大都起到了先導和支柱的作用。因此有理由相信：數(shù)學必將成為下一次科技革命最重要的推動力之一。我們要以早日實現(xiàn)中國夢的強烈責任感和緊迫感，加速建設數(shù)學強國，為在下次科技革命中贏得主動、搶占先機，奠定堅實基礎，提供強大動力！

（作者為北京大學數(shù)學科學學院教授、中國科學院院士、第三世界科學院院士）