王 威， 陳明朋

（1．應(yīng)天職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，江蘇 南京 210023；2．南京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210023）

1 引 言

在動(dòng)力系統(tǒng)領(lǐng)域中，一個(gè)重要的課題是研究與系統(tǒng)復(fù)雜性有關(guān)的問(wèn)題。熵和拓?fù)鋲菏欠从诚到y(tǒng)復(fù)雜性的重要概念。二十世紀(jì)Bowen，Pesin［1］人將熵的概念拓展到非緊空間。Faloner［2］在混合排斥子上建立了次可加的變分原理。Barreira［3］在緊致空間中建立了任意非可加的變分原理。之后它成為拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)研究中的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題。進(jìn)入二十一世紀(jì)，在非緊空間上拓?fù)鋲旱?工 作 成 為 熱 點(diǎn) 問(wèn) 題。Cao［4～6］，F(xiàn)eng［7］，Climenhage［8］，Mummert［9］得到了很多有價(jià)值的結(jié)論，并建立了非緊致集合上的變分原理。

設(shè)M（X）是X上所有的Borel概率測(cè)度集。M（X，T）?M（T）是所有T－不變的概率測(cè)度集。設(shè)Z?X為T－不變集。E（X，T）?M（X，T）為遍歷測(cè)度集，且滿足μ（Z）＝1，?μ∈E（X，T），對(duì)于x∈X，定義概率測(cè)度

εn（x）的極限點(diǎn)集用V（x）表示，則V（x）?M（X，T）。

非緊集合的拓?fù)鋲旱淖兎衷?若V（x）∩E（Z，T）≠φ，?x∈Z，則對(duì)任意實(shí)值連續(xù)函數(shù)φ:

若φ＝0，即為非緊集的拓?fù)潇氐淖兎衷?。若Z為緊致集合，則與經(jīng)典變分原理一致。2010年豐德軍和黃文［7］定義了極限次可加函數(shù)并且給出了極限次可加函數(shù)序列下熵的變分原理。

2 本文需要用到的定義

3 本文的主要結(jié)果

4 幾個(gè)引理

5 定理3．1證明

從而（3）得證。至此定理3．1得證。

1 Y．Pesin，B．Pitskel，Topological pressure and thevariational principle foe noncompact sets，｛Funktsional．Anal．I Prilozhen｝，1984 （4）:50－63 （in Russian）．

2 K．J．Falconer，A subadditive thermodynamic formalism for mixing repellers，J．Phys．A．1988（21）:L737－L742．

3 L．Barreira，A non－additive thermodynamic formalism and applications to dimension theory of hyperbolic dynamical systems，Ergodic Theory Dynam，1996（16）:871－927．

4 Y．Cao，D．Feng，W．Huang．The thermodynamic formalism for sub－additive potentials，Discrete Contin．Dyn．Syst．，2008（20）:639－657．

5 Y．Zhao and Y．Cao，Measure－theoretic pressure for subadditive potentials，Nonlinear analysis，2009（70）:2237－2247．

6 W．Cheng，Y．Zhao and Y．Cao，Pressures for asymptotically subadditive potentials under a mistake function，Discrete Contin．Dynam．Syst．Ser．A，2012（32）:487－497．

7 D．J．Feng，W．Huang，Lyapunov spectrum of asymptoticallysub－additive potentials．Commun．Math．Phy，2010（297）:1－43．

8 V．Climenhage，Bowen’s equation in the non－uniform setting，Ergodic Theory and Dynamical Systems，2011（31）:1163－1182．

9 A．Mummert，Thermodynamic formalism for almostadditive sequences，discrte contin．dyn．syst．2006（16）:435－454．