一種復(fù)雜多面體上三重積分的計(jì)算方法

李京梁，任傳榮

(江蘇科技大學(xué)張家港校區(qū)基礎(chǔ)部，江蘇張家港215600)

關(guān)于重積分的計(jì)算方法一直是高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析［1-2］中的重要內(nèi)容.由于積分區(qū)域的復(fù)雜性，重積分的計(jì)算可能變得十分困難甚至不可能，因此，簡(jiǎn)化積分區(qū)域在重積分運(yùn)算中十分重要.本文給出空間一般四面體、五面體和六面體到立方體C=［-1，1］3的區(qū)域變換，由此簡(jiǎn)化積分區(qū)域，然后結(jié)合區(qū)域分裂的思想，提出一種新的解決復(fù)雜多面體區(qū)域上三重積分的方法.

1 3 個(gè)區(qū)域變換

1)XYZ空間中的任意四面體ABCD到RSQ空間中立方體 C=［-1，1］3的一一映射［5-7］(圖 1 左上)為

圖1 多面體空間區(qū)域變換

2)XYZ空間中的一般五面體ABCEFG到RSQ空間中立方體 C=［-1，1］3的一一映射［3-4］(圖 1 左下)為

3)XYZ空間中的一般六面體ABCDEFGH到RSQ空間中立方體C=［-1，1］3的一一映射［3-4］(圖1右)為

2 區(qū)域分裂及化簡(jiǎn)重積分

對(duì)于XYZ空間中的的任意一個(gè)復(fù)雜多面體區(qū)域Ω，都可以將其分裂成上述四面體、五面體和六面體的組合，如圖2 所示，Ω =Ω1∪Ω2∪Ω3.

圖2 區(qū)域Ω的分裂

圖3 三棱維積分區(qū)域

利用映射(1.1)，(1.2)和(1.3)，結(jié)合重積分關(guān)于積分區(qū)域Ω的可加性，則在區(qū)域上的三重積分

3 示例

例1 設(shè)積分區(qū)域?yàn)槿忮FIFC-G，如圖3所示.各點(diǎn)坐標(biāo)為(-0.5，0.5，1)、F(0.5，0.5，0)、C(-1，1，-1)、G(-0.5，0.5，0)，被積函數(shù)取為 3x-2y-z，則由映射(1.1)經(jīng)運(yùn)算知

例2 設(shè)積分區(qū)域?yàn)槿鐖D3整個(gè)區(qū)域，點(diǎn)I、F、C、G的坐標(biāo)如例1，其他點(diǎn)坐標(biāo)為A(1，-1，-1)、B(1，1，-1)、D(-1，-1，-1)、E(0.5，-0.5，0)、H(-0.5，-0.5，0)、J(-0.5，-0.5，1)，被積函數(shù)仍取為3x-2y-z，則由映射(1.1)經(jīng)運(yùn)算知

(3x-2y)|=(55-5s+15r-5rs)/8，J1=(10-5r-5s)/16

則由映射(1.2)經(jīng)運(yùn)算知

(3x-2y)||=(3-s+17r+rs)/4，J2=(14+3r+s)/8，故

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