歐松林，李金海，袁建國，孫金海，閻躍鵬

（1.重慶郵電大學(xué) 光纖通信技術(shù)重點實驗室，重慶400065；2.中國科學(xué)院微電子研究所，北京100029）

0 引 言

GNSS（global navigation satellite system）的捕獲系統(tǒng)通常包括相關(guān)峰的計算、信噪比的提升、檢測與判決3個部分，而檢測與判決部分的作用是判斷系統(tǒng)是否捕獲到信號以及確定系統(tǒng)的檢測概率。檢測與判決部分通常包含很多種形式，如單次檢測、多次的唐檢測以及系統(tǒng)檢測等。

文獻［1－7］主要闡述了單次檢測和唐檢測的檢測概率并給出了相關(guān)的性能分析，但這些檢測判決的分析卻沒有結(jié)合整個系統(tǒng)進行分析。系統(tǒng)檢測概率是整個捕獲系統(tǒng)性能評價的一個重要指標，它不僅依賴于系統(tǒng)中每個單元的單次檢測概率，而且還和捕獲策略息息相關(guān)。系統(tǒng)檢測分析方法最早來源于擴頻通信中關(guān)于檢測概率的討論，文獻［8，9］首先提出了擴頻通信中最大值檢測算法，接著文獻［10］將最大值分析方法引入到GNSS系統(tǒng)中，主要分析了最大值捕獲策略下的系統(tǒng)檢測概率、系統(tǒng)漏檢概率等。但最大值策略下的系統(tǒng)性能卻不太理想，存在系統(tǒng)檢測概率較低和系統(tǒng)漏檢概率高的問題。

為了解決這一問題，本文首先分析了單次檢測概率和虛警概率，然后從概率的角度以最大值捕獲策略為例分析了GNSS的系統(tǒng)檢測概率、系統(tǒng)漏檢概率、系統(tǒng)虛警概率；最后本文提出了兩種常見GNSS系統(tǒng)中關(guān)于檢測概率低和漏檢概率高這一問題的解決方法，并給出了相應(yīng)的仿真結(jié)果。

1 單次檢測與判決

假設(shè)事件H0表示檢測衛(wèi)星不存在，輸入信號中僅有噪聲；H1表示檢測衛(wèi)星存在，輸入信號中既有信號部分也有噪聲部分；同時假設(shè)單次檢測的門限值為Vt。這樣單次檢測概率和單次虛警概率可以表示成如下形式［1］

由文獻［2］可知采用平方律檢波時f（x｜H1）是服從非中心卡方分布，f（x｜H0）是服從中心卡方分布，因此可以用信噪比來表示上述關(guān)系，得到如下表達式

從而得到單次檢測門限值為

將式（4）代入式（2）可以得到檢測概率的表達式

式中：A2／σ2和信噪比SNR 是由直接關(guān)系的，而這個信噪比又和相干積分時間是由關(guān)系的，因此就直接把相干積分時間、信噪比和檢測概率相互聯(lián)系了起來，其表達式為

式中：I0（·）——修正的第一類零階貝塞爾（Bessel）函數(shù)，Qk——廣義k階Marcum Q 函數(shù)。

2 系統(tǒng)檢測與判決

對GNSS系統(tǒng)來說，捕獲是一個對多普勒頻移和碼相位的二維搜索過程。假設(shè)碼相位的個數(shù)為H，多普勒頻的個數(shù)為L，系統(tǒng)的捕獲過程相當(dāng)于要檢測一個由M＝HL 個單元組成的整體，其中每個單元都具有和單次檢測相同的檢測概率pd、虛警概率pf。我們定義系統(tǒng)檢測概率為PD，系統(tǒng)虛警概率為PFA，系統(tǒng)漏檢概率為PMD，在下文中將采用PD、PMD和PFA為主要指標對系統(tǒng)性能進行評價。為了更好的建模分析，假設(shè)概率分布符合如下約束：

（1）符合H1分布的單元最多只有一個，這個單元被記為XA，這就意味著在整個搜索空間中只有一個XA，其概率分布為fA（x）；

（2）除去符合XA的單元，其余的單元隨機變量符合假設(shè)H0，這些單元被記為Xn，其概率分布為f0（x）；

（3）隨機變量XA均勻分布在整個搜索空間中，其出現(xiàn)在任意一個單元中的概率為1／M；

（4）搜索空間中的所有單元都是相互獨立的。

基于上面的假設(shè)，本文以最大值捕獲策略為例，分析GNSS的系統(tǒng)檢測與判決。所謂最大值捕獲策略就是計算出整個搜索空間中所有碼相位和多普勒頻移的相關(guān)函數(shù)，找出其中的最大值，并對最大的相關(guān)峰進行判決。如果相關(guān)峰的最大值比門限值大，那么就認為衛(wèi)星被捕獲到，并且通過相關(guān)峰出現(xiàn)的位置可以計算出碼相位和多普勒頻移。

2.1 最大值捕獲策略的系統(tǒng)檢測概率

從上面的最大值捕獲介紹中可以看出如果采用最大值捕獲，只有當(dāng)XA所在的相關(guān)峰為整個搜索空間中的最大值且這個值超過門限值時，才能被系統(tǒng)檢測到。因此系統(tǒng)檢測概率PD可以寫成如下形式

式中：Vt——判決門限。從XA的定義中可以知道當(dāng)XA的值是最大值，同時其值大于或者等于其它所有隨機變量時上式可以取等號，因此有下式

由式（6）、式（7）可以得到

從上面得到的隨機變量的分布可以得到檢測概率的表達式如下

式中：除了XA＝Xn的一項外，其它的M－1 項都相等，所以式（9）中的相等項可以寫成

當(dāng)XA＝Xn時，其表達式為

因此系統(tǒng)檢測概率為

當(dāng)Pf（Vt）非常小且M 非常大時，檢測概率可以簡化成如下形式

2.2 最大值捕獲策略的系統(tǒng)漏檢概率

系統(tǒng)漏檢出現(xiàn)在衛(wèi)星存在卻沒有被檢測到，換句話說就是每個單元的相關(guān)峰值都比門限值小時才會發(fā)生漏檢。這時漏檢概率跟采用的捕獲策略無關(guān)，因此系統(tǒng)的漏檢概率可以表示為

式中的乘積項同樣有M－1項相同，它們是XA不在的單元，另外一項是XA＝Xn時的單元，所以可以得到下式

所以系統(tǒng)的漏檢概率可以表示成

2.3 最大值捕獲策略的系統(tǒng)虛警概率

系統(tǒng)的虛警概率是指檢測判決輸出錯誤的概率，這就意味著噪聲單元的相關(guān)峰值超過門限值。單次虛警概率通常指的是沒有信號時的虛警概率，而系統(tǒng)虛警概率除了沒有信號時的虛警概率外，還有信號存在時的虛警概率。為了避免相互混淆，我們用PaFA表示信號不存在時的虛警概率，用PpFA表示信號存在時的虛警概率。信號存在時的虛警概率指的是衛(wèi)星存在，但系統(tǒng)卻錯誤的判決了衛(wèi)星信號存在的位置。本文分別給出了兩種系統(tǒng)虛警概率的表達式，首先分析信號不存在時的系統(tǒng)虛警概率。

最大值捕獲時，當(dāng)M 個單元的相關(guān)峰值超過門限值Vt時就會產(chǎn)生錯誤判決，所以信號不存在時的系統(tǒng)虛警概率變?yōu)槿缦滦问?/p>

接著分析信號存在時的虛警概率。根據(jù)定義可知，當(dāng)信號存在時系統(tǒng)的虛警概率表明XA不是M 個單元的相關(guān)峰的最大值，但是最大相關(guān)峰值卻超過了門限值Vt。因此PpFA可以寫成如下形式

由前面的概率分布可以將PpFA表示為

觀察式（18）可以發(fā)現(xiàn)式中的第2項和第3項與前面關(guān)于系統(tǒng)檢測概率和系統(tǒng)漏檢概率的公式相同，因此PpFA可以簡寫成如下的形式

式 （19）和前文關(guān)于PpFA的定義是相一致的，即1－PD－PMD表示XA不是M 個單元的相關(guān)峰的最大值，但是最大相關(guān)峰值卻超過了門限值Vt。式 （19）說明信號存在時的虛警概率只依賴于系統(tǒng)檢測概率和系統(tǒng)漏檢概率。

3 仿真分析

為了得到第二節(jié)中相關(guān)結(jié)論的仿真分析結(jié)果，需要知道單次檢測概率、單次虛警概率和概率密度分布，將式（3）、式（5）歸一化后可以得到單次檢測概率和單次虛警概率，式（20）則說明了XA的概率密度分布

式中：λ——歸一化后的信噪比，其值為λ＝2SNR，β是歸一化后的系統(tǒng)門限。

將式（20）、式（21）、式（22）代入式（12）可以得到最大值捕獲策略下的系統(tǒng)檢測概率

將式（21）、式（22）代入式（16）可以得到最大值捕獲策略下的系統(tǒng)漏檢概率

為了得到系統(tǒng)檢測概率、系統(tǒng)漏檢概率、有信號時的虛警概率和無信號時的虛警概率之間的關(guān)系，本文采用蒙特卡洛仿真得到性能曲線。其中參數(shù)設(shè)置為載噪比取實際環(huán)境中常見的40dB－Hz，相干積分時間為1ms，仿真時采用的總的搜索單元M＝2046，即碼相位方格H＝186，多普勒頻移方格L＝11。

仿真分為兩步，首先假設(shè)一定的無信號時系統(tǒng)總的虛警概率，由式（17）可以得到各搜索策略下的單次虛警概率，將單次虛警概率代入式（21）得到門限值，從而由式（22）推出單次檢測概率；第二步將得到的單次虛警概率、單次檢測概率、門限值代入式（23）、式（24）可以得到最大值捕獲策略下的系統(tǒng)檢測概率和系統(tǒng)漏檢概率，然后畫出曲線得到圖1、圖2和圖3。為了能對比說明最大值捕獲策略和其它捕獲策略的不同，我們在圖1到圖3中加入了順序捕獲策略的仿真結(jié)果，所謂順序捕獲就是按順序計算出每一個單元的相關(guān)峰，一旦一個單元的相關(guān)峰值被計算出來，則立刻與門限值進行比較。如果相關(guān)峰值超過門限值，就認為衛(wèi)星被捕獲到，其它剩余的搜索單元就停止搜索。

圖1 PaFA 和PpFA 之間的關(guān)系

圖2 PaFA 和PD 之間的關(guān)系

圖3 PaFA 和PMD 之間的關(guān)系

從圖1中可以看出有信號時的虛警概率隨著無信號時的虛警概率的增加而增加，并且很明顯的可以看出對于任意門限值，無信號時的虛警概率總是大于有信號時的虛警概率。造成這一現(xiàn)象的根本原因在于門限值是根據(jù)無信號時的虛警概率推導(dǎo)出來的，而門限值對有信號時的虛警概率也有著巨大的影響。

衡量一個系統(tǒng)性能好壞的一個重要指標就是ROC（receiver operating characteristic）曲 線，而 圖2 畫 出 了 系 統(tǒng) 檢測概率和無信號時的虛警概率的ROC 曲線，圖3畫出了系統(tǒng)漏檢概率和無信號時的虛警概率的ROC 曲線。從圖2中可以看出最大值捕獲的檢測概率隨著虛警概率的增加而增加，但順序捕獲的檢測概率卻隨著虛警概率的增加而減少，這說明最大值捕獲的檢測概率和虛警概率同時隨著捕獲門限的減小而增大，也就是說不能通過簡單的改變門限值的設(shè)定而提高檢測性能，這個和單次檢測是的結(jié)論是一致的。而順序捕獲則正好相反，檢測概率和虛警概率隨著門限值的減小而減小。從圖3中可以看出系統(tǒng)的漏檢概率隨著虛警概率的增加而降低，虛警概率增加說明系統(tǒng)錯誤的檢測到了信號，那么漏檢概率必然減少。綜合圖2和圖3可以看出當(dāng)載噪比為40dB－Hz，系統(tǒng)虛警概率為0.05時，單次虛警概率為1×10－6，這個虛警概率在單次檢測中性能良好。但我們發(fā)現(xiàn)這時的系統(tǒng)檢測概率卻僅為47%，而系統(tǒng)的漏檢概率卻高達45%，很顯然這種程度的性能指標對于GNSS接收機的捕獲系統(tǒng)來說是不能接受的。為了解決這一問題，本文提出了以下兩種方法。

其中一種方法是提高整個系統(tǒng)的接收載噪比，具體方法可以通過延長相干積分時間、增加非相干積分次數(shù)以及引入差分相干來實現(xiàn)。根據(jù)相干積分、非相干積分的理論可知，多增加一倍的相干積分時間就能夠得到3dB 的信噪比增益，而增加兩倍非相干積分就能得到2.6dB 左右的信噪比增益。這種方法相對于普通的GNSS接收機來說僅僅增加了幾毫秒的總積分時間，基本上不影響定位時間，因此該方案是可行的。我們改變系統(tǒng)的載噪比為42dB－Hz，其它參數(shù)不變，如圖4所示。

圖4 增加載噪比后PaFA 和PD 之間的關(guān)系

從圖4中可以明顯的看到載噪比為42dB－Hz、虛警概率為0.05 時，系統(tǒng)檢測概率接近90%，相對于載噪比40dB－Hz時，系統(tǒng)性能有了較為明顯的改善。這個檢測概率和虛警概率在普通的GNSS接收機系統(tǒng)中是可以接受的。很顯然隨著系統(tǒng)檢測概率的增加，系統(tǒng)的漏檢概率也會隨之降低。因此我們可以到以下結(jié)論：在同樣虛警概率的條件下，載噪比的提高不僅可以提高單次檢測概率，也能夠提高系統(tǒng)檢測概率。

另一種方法是在系統(tǒng)中結(jié)合多種檢測算法，如在系統(tǒng)檢測概率中增加唐檢測算法或者增加N 中取M 算法，在此僅分析增加唐檢測算法后的系統(tǒng)性能。以順序捕獲為例，增加唐檢測算法的流程如下：每個單元的單次檢測后的相關(guān)峰并不馬上與門限值進行比較，而是在其后接上一個唐檢測算法模塊。如果相關(guān)峰值經(jīng)過多次搜索過后沒有達到門限值，則認為信號捕獲失敗，繼續(xù)搜索下一個單元；反之如果唐檢測過程中相關(guān)峰值多次超過門限值，那么就認為信號捕獲成功，然后終止整個系統(tǒng)的搜索。設(shè)置系統(tǒng)信噪比為40dB－Hz，其它參數(shù)和前文相同，如圖5所示。

圖5 增加唐檢測算法后PaFA 和PD 之間的關(guān)系

從圖5中可以看出增加唐檢測算法后，系統(tǒng)虛警概率為0.05時，系統(tǒng)的檢測概率已經(jīng)超過90%，這個方法比提高信噪比到42dB－Hz所獲得的系統(tǒng)性能改善還要大。就實現(xiàn)復(fù)雜度而言，常見的GNSS接收機都會在單次檢測后增加捕獲確認算法，可以采用多個通道同時并行處理。因此這種方法對于系統(tǒng)硬件來說并沒有較大的改動，僅需要針對每種不同的檢測策略對原有的唐檢測算法稍加改動即可。

4 結(jié)束語

本文以最大值策略下的系統(tǒng)檢測概率、系統(tǒng)虛警概率和系統(tǒng)漏檢概率為研究對象，根據(jù)概率論的相關(guān)理論基礎(chǔ)，得到了系統(tǒng)檢測概率、系統(tǒng)虛警概率和系統(tǒng)漏檢概率的表達式，分析了其和單次檢測概率之間的關(guān)系，利用無信號時的虛警概率推導(dǎo)出有信號時的虛警概率的表達式，在GNSS接收機的設(shè)計中必須要考慮到這兩種虛警概率共同的影響。最后利用蒙特卡洛方法進行了MATLAB 仿真，得到如下結(jié)論：

（1）捕獲策略不影響系統(tǒng)的漏檢概率；

（2）有信號時的虛警概率隨著無信號時的虛警概率的增加而增加，且對于任意門限值，無信號時的虛警概率總是大于有信號時的虛警概率；

（3）最大值捕獲的檢測概率隨著虛警概率的增加而增加，但順序捕獲的檢測概率卻隨著虛警概率的增加而減少。最大值捕獲的檢測概率和虛警概率同時隨著捕獲門限的減小而增大，而順序捕獲則正好相反。系統(tǒng)的漏檢概率隨著虛警概率的增加而降低；

（4）提高接收信號的載噪比和增加唐檢測算法都能夠明顯的提高系統(tǒng)的檢測性能和減少系統(tǒng)的漏檢概率。

文中得到的一系列結(jié)論為GNSS捕獲系統(tǒng)在實際環(huán)境中的運用提供了一定的理論依據(jù)。

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