曹明緯 吳 迪 周文韜

（河海大學(xué) 土木與交通學(xué)院，江蘇 南京210000）

1 問題重述

某公司在金融投資中，需要考慮如下兩個問題：

1）準(zhǔn)備用數(shù)額為1000 萬元的資金投資某種金融資產(chǎn)（如股票，外匯等）。 它必須根據(jù)歷史數(shù)據(jù)估計在下一個周期（如1 天）內(nèi)的損失的數(shù)額超過10 萬元的可能性有多大， 以及能以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會超過多少。

2）如果要求在一個周期內(nèi)的損失超過10 萬元的可能性不大于5%，那么初始投資額最多應(yīng)為多少。

下面是該公司在過去一年255 個交易日的日收益額（單位為萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，假定每天結(jié)算一次，保持每天在市場上的投資額為1000萬元：

表1

要求：

1）參考以上數(shù)據(jù)，建立模型來解決前述的兩個問題；

2）討論二周期情形（如今后兩天內(nèi)）上述兩個問題的答案；

3）陳述上述兩個問題的一般形式（即初始投資額為M，限定損失額為L，置信度為1-α,T 個周期）及其解決方案。

2 模型假設(shè)

1）認(rèn)為一個周期是一天，兩個周期是連續(xù)兩天；

2）連續(xù)模型中，收益額精確到元，認(rèn)為是連續(xù)的；

3）每一個周期服從獨立正態(tài)分布；

4）兩周周期內(nèi)連續(xù)兩天的每一天的收益額服從獨立同分布；

5）利用經(jīng)過檢驗的樣本均值和樣本方差估計值作為總體均值和總體方差；

6）投資額與收益額認(rèn)為是正比例關(guān)系。

3 模型建立

3.1 連續(xù)概率模型

3.1.1 樣本分析

將題目中所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析， 得出這些數(shù)據(jù)大致符合正態(tài)分布，然后運(yùn)用matlab 對樣本分布進(jìn)行正態(tài)性檢驗（如圖2 所示）：

圖2

從上圖可以看出得出的結(jié)果近似一次線性函數(shù)， 基本符合正態(tài)分布的要求。

為了更加準(zhǔn)確地證實樣本分布性質(zhì)，下面運(yùn)用t-檢驗對樣本進(jìn)行驗證：

對于假設(shè)H0：μ＝μ0；H1：μ≠μ0，構(gòu)造[3]：

由P{T＜tα(n-1)}＝α，可得拒絕域T＜tα(n-1)，查表、計算，比較大小即得結(jié)論。

在確定了數(shù)據(jù)符合正態(tài)分布這一結(jié)論后，下一步我們將對數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計。 由MATLAB 計算得到， 均值μ 為7.5569， 標(biāo)準(zhǔn)差δ 為9.7977，均值的95%的置信區(qū)間為[6.3486，8.7652]，標(biāo)準(zhǔn)差的95%的置信區(qū)間為[9.0148,10.7308]。

另外，我們要在方差未知的情況下，對均值7.5699 的采取進(jìn)行假設(shè)檢驗，于是調(diào)用matlab 中的ttest 函數(shù)[1]，我們得到：

（1）布爾變量h＝0，表示接受原假設(shè)，H0：＝7.5699 成立；

（2）95%的置信區(qū)間為[6.3486,8.76522]；

（3）Sig 的值為1 大于0.05，所以接受假設(shè)，即不存在顯著差異。根據(jù)假設(shè)檢驗的結(jié)果，我們可以確定的取用均值7.5569。

3.1.2 問題1

1）準(zhǔn)備用數(shù)額為1000 萬元的資金投資某種金融資產(chǎn)（如股票，外匯等）。 它必須根據(jù)歷史數(shù)據(jù)估計在下一個周期（如1 天）內(nèi)的損失的數(shù)額超過10 萬元的可能性有多大， 以及能以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會超過多少。

樣本分布函數(shù)[3]：

利用得到的正態(tài)分布模型， 由MATLAB 可以得到一天損失數(shù)額超過十萬元的概率為:

95%的置信度保證損失的數(shù)額：

2）如果要求在一個周期內(nèi)的損失超過10 萬元的可能性不大于5%，那么初始投資額最多應(yīng)為多少?

根據(jù)經(jīng)驗，投資額越大，一周期內(nèi)損失額越大，收益額也越大，所以可以認(rèn)為投資額與損失額成正比例關(guān)系：

求得投資額M1為1168.3744（萬元）。

3.1.3 問題2

1）對于兩個周期情況下，因為每一天收益額都是獨立服從正態(tài)分布，可以記作X，Y。 收益額Z＝X＋Y。 因為：

得μ＝15.1138 δ2＝191.9899，δ＝13.8560，Z～N(μ,δ2)

利用得到的正態(tài)分布模型， 由MATLAB 可以得到兩天損失數(shù)額超過十萬元的概率為：

95%的置信度保證損失的數(shù)額：

求得M2為1302.5413（萬元）

3.1.4 問題3

T 個周期情況：因為X1,…,XT相互獨立且服從正態(tài)分布，Xi～N(μ,δ2)設(shè)投資收益額

樣本分布函數(shù)[3]：

1）已知損失金額為L，其超過損失金額L 概率為：P(X＜-L)＝F(-L)

2）已知損失超過損失金額L 概率為Y，通過列方程F(M′)＝Y(jié) 求解，得出M′的值，再通過關(guān)系式求出M 的值。

4 模型分析

本文建立連續(xù)分布模型，解決了提出的問題。 但是模型存在一些優(yōu)缺點，如下：

1）在計算單個周期的情況下計算不是特別復(fù)雜，但是在兩個周期情況下，利用列舉的方法會帶來計算復(fù)雜的情況，只能借助于編程計算。也就失去了不需要復(fù)雜計算的優(yōu)點，對于更多周期的情況，實用性更差。

2）連續(xù)正態(tài)分布的應(yīng)用很好地解決了本文提出的問題，并且精度很高，借助于MATLAB 計算不是特別復(fù)雜，可以說連續(xù)性模型優(yōu)于離散型模型。

3）本例還可以借助蒙特卡洛法，通過生成服從該正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)來估算概率值和限定損失額。

［1］卓金武.MATLAB 在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社,2011.

［2］趙靜,但琦.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗[M].北京：高等教育出版社,2008.

［3］夏樂天.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].南京：河海大學(xué)出版社,2011.