博弈論在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用

張丹丹 黃 麗 韋忠燕 申 高

（貴州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽550018）

1 博弈論與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

1.1 博弈論簡介

博弈論，直譯為“游戲理論”（Game Theory），是研究具有競爭性活動的理論和方法，它既是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個分支，也是運籌學(xué)的一個重要學(xué)科。博弈論是指個人或組織面對一定的環(huán)境條件，在一定的規(guī)則下，依靠掌握的信息選擇策略加以實施并取得相應(yīng)的結(jié)果或受益的過程[1]。博弈論可分為常和（競爭）博弈和變和（合作）博弈。常和博弈指人們在利益相沖突的情況下如何采取策略使自己的收益最大；變和博弈是指人們通過合作使社會利益和個人利益達(dá)到最大，即收益分配問題。

一個完整的博弈模型包括:博弈的參與者、各博弈方各自可選擇的全部策略或行為的集合、進(jìn)行博弈的次序、博弈方的得益四項內(nèi)容[2]。因而博弈論就是在各博弈方具有完全或有限理性能力的條件下，合理選擇策略時所得到的結(jié)果，并分析這些結(jié)果所帶來的經(jīng)濟效益。

1.2 數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)簡介

數(shù)學(xué)教育教學(xué)制度的推進(jìn)影響數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展速度和方向，隨著對教育認(rèn)識的不斷加深，數(shù)學(xué)教育也正在迅速的從“灌”、“注”、“填”[4]教學(xué)模式向現(xiàn)代的自主、合作、探究式教學(xué)的轉(zhuǎn)變。

時至今日，世界各國都設(shè)置了九年以上的學(xué)校數(shù)學(xué)課程[3],而我國所涉及的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)主要是傳統(tǒng)的班級授課制，是數(shù)學(xué)教育教學(xué)中普遍使用的授課方式。主要包括教師傳授知識、技能和講解，學(xué)生學(xué)習(xí)、回答的全過程[3]；即把年齡和知識程度相同或相近的學(xué)生，編成固定人數(shù)的班級集體，按照數(shù)學(xué)教學(xué)大綱規(guī)定的內(nèi)容，通過數(shù)學(xué)教材，選擇教學(xué)方法，并按照固定的時間，向全班學(xué)生進(jìn)行授課組織的形式，即為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是教師引起、維持或促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的一種形式。亦“教學(xué)”乃教師教、學(xué)生學(xué)的統(tǒng)一活動，在這個活動中，學(xué)生通過老師的教掌握一定的知識和技能，同時身心獲得一定的發(fā)展。

1.3 博弈論與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)之間的聯(lián)系

現(xiàn)代博弈論是研究博弈行為發(fā)生相互作用時的博弈和該博弈的均衡問題，即人們之間的博弈與行為成為一種相互影響的關(guān)系。所謂納什均衡是指在博弈中每個局中人都能在其他局中人已經(jīng)選擇策略的情況下，能夠選擇最優(yōu)策略以回應(yīng)對手。同樣在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，師生之間也在進(jìn)行博弈，他們在進(jìn)行博弈時都必須考慮到對方的策略，選擇最優(yōu)策略使自己的收益達(dá)到最大，雙方之間達(dá)到“納什均衡”。因此，數(shù)學(xué)課堂事實上就是一個師生博弈，本文將從博弈論的角度分析老師和學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的博弈活動以及如何取得雙贏。從而提高數(shù)學(xué)課堂的效率。

2 博弈視野下影響數(shù)學(xué)課堂教學(xué)分析

在課堂教學(xué)中，老師的“教”是促進(jìn)課堂教學(xué)活動和師生發(fā)展的重要環(huán)節(jié)。而影響“教”的主要因素有：教師自身的職業(yè)道德和教學(xué)態(tài)度；教師對教材的研究、融合、理解深度與廣度以及綜合相關(guān)知識的能力，教師的教學(xué)能力一般和他的知識儲備成正比；教師的教學(xué)設(shè)計、板書設(shè)計和多媒體等各教學(xué)技能的運用能力；老師對師生關(guān)系的認(rèn)知和處理師生關(guān)系的做法，和諧和融洽的師生關(guān)系在教學(xué)過程中發(fā)揮著特殊、奇妙的作用。而在課堂教學(xué)中，學(xué)生的“學(xué)”是課堂教學(xué)的核心，是課堂教學(xué)的目的，更是教學(xué)的根本。影響學(xué)生“學(xué)”的主要因素有教師的感染力、專業(yè)知識水平、教學(xué)方法、教學(xué)態(tài)度；學(xué)生自己的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)能力以及家庭背景等方面。

3 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的博弈策略分析

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,老師和學(xué)生就是兩個博弈方,他們?yōu)榱耸棺约旱睦孢_(dá)到最大，也在進(jìn)行行為決策之間的博弈[2]。

首先，作為數(shù)學(xué)教師而言，他們不僅將“教師”視為一種謀生的職業(yè)，通過它來獲得經(jīng)濟利益、生活來源和生活保障[5]；而且他們作為教育者為了維護(hù)自己尊嚴(yán)和自身地位，采取一些措施使學(xué)生服從自己的管理來滿足精神上的需求。其次，學(xué)生作為受教育者，不僅希望將數(shù)學(xué)知識學(xué)以致用，獲得生存與發(fā)展所需的技能，從而讓自己更好地適應(yīng)社會的發(fā)展，滿足社會的需求；而且想通過教育活動獲得精神上的追求；他們渴望自由、民主、平等和公正，在課堂上敢于發(fā)表自己的見解，他們不想一味服從教師的管教[5]。因此，無論是教師還是學(xué)生，都有自己的利益追求和價值取向，這就形成了他們在數(shù)學(xué)課堂上的矛盾和沖突，從博弈的角度來看，這是師生非合作博弈的結(jié)果與表現(xiàn)。

一般來說，數(shù)學(xué)課堂中教師和學(xué)生雙方都力求能得到最大利益，因此，我們有必要通過應(yīng)用相關(guān)博弈論的原理和方法對師生沖突現(xiàn)象進(jìn)行分析，找到有利于緩和雙方關(guān)系之解，實現(xiàn)雙方由矛盾向合作的轉(zhuǎn)變。面對沖突，教師和學(xué)生的策略選擇可以通過表1的矩陣博弈來表示。

表1 師生在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中沖突的博弈矩陣

我們運用以上這種博弈模型來分析數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中老師和學(xué)生的博弈關(guān)系，這種模型我們把它叫做矩陣博弈。這種博弈是表示博弈問題的一種常用方法，我們稱這種矩陣為一個博弈的得益矩陣。在上述矩陣中A表示老師，B表示學(xué)生，他們都是博弈的參與者。師生沖突時，A有三種策略選擇，“好的教學(xué)”、“差的教學(xué)”、“一般的教學(xué)”，B有兩種選擇，“認(rèn)真學(xué)習(xí)”、“不認(rèn)真學(xué)習(xí)”。表中的數(shù)字代表該博弈下雙方的得益情況，正、負(fù)數(shù)表示在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中參與者獲取的利益和損失。

從博弈理論來看，這個矩陣表明了可能出現(xiàn)的六種情況。我們假定在數(shù)學(xué)課堂上老師講課的質(zhì)量和學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度發(fā)生沖突，老師是在學(xué)生認(rèn)不認(rèn)真學(xué)習(xí)而感到矛盾，心里想到底用什么教學(xué)方法去教他們呢？而學(xué)生也會在想老師會怎樣的教學(xué)方法來教，我到底要不要認(rèn)真的聽他講課呢？老師和學(xué)生的互相猜疑以及不信任對方的這種態(tài)度讓他們之間產(chǎn)生了沖突。具體分析如下：

從表中可以看出，第一種情況是老師用差的教學(xué)質(zhì)量面對不認(rèn)真學(xué)習(xí)的學(xué)生；第二種情況是老師用一般的教學(xué)質(zhì)量面對不認(rèn)真學(xué)習(xí)的學(xué)生；第三種情況是老師用好的教學(xué)質(zhì)量面對不認(rèn)真的學(xué)生；第四種情況是老師用差的教學(xué)質(zhì)量面對認(rèn)真的學(xué)生；第五種情況是老師用一般的教學(xué)質(zhì)量面對認(rèn)真的學(xué)生；最后一種情況是老師用好的教學(xué)質(zhì)量面對認(rèn)真的學(xué)生。下面分析他們的得益情況：

對于不認(rèn)真學(xué)習(xí)的學(xué)生，如果老師選擇差的教學(xué)質(zhì)量，收益是-1，選擇好的教學(xué)質(zhì)量，收益是+1，選擇一般的教學(xué)質(zhì)量，收益是0；對于這樣的情況，老師應(yīng)該選擇好的教學(xué)質(zhì)量，收益是+1。對于學(xué)生來說，選擇不認(rèn)真學(xué)習(xí)，收益始終是-1，選擇認(rèn)真學(xué)習(xí)，收益是+1；所以學(xué)生應(yīng)該選擇認(rèn)真學(xué)習(xí)，收益是+1。這樣老師選擇好的教學(xué)質(zhì)量，學(xué)生選擇認(rèn)真學(xué)習(xí)，那么他們雙方都是得益的。這顯然是最滿意的結(jié)果。也就是說，有效的教學(xué)策略會極大調(diào)動主動性和積極性，促進(jìn)教學(xué)提高教學(xué)質(zhì)量，最終達(dá)到雙贏[7]。然而，在實際的教學(xué)當(dāng)中，大部分的課堂教學(xué)都沒有達(dá)到這樣的效果。

4 博弈視野下數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中師生關(guān)系的構(gòu)建

和諧的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)主要取決于師生之間達(dá)到相互融洽、相互信任、完美配合、教學(xué)相長的最佳狀態(tài)，博弈視野下數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中師生和諧關(guān)系構(gòu)建應(yīng)該注重從二人博弈入手，以合作博弈為目標(biāo)導(dǎo)向，提高課堂教學(xué)效率，達(dá)到“尊師重教”和“以生為本”[7]的教學(xué)效果。

4.1 營造師生之間良好的課堂氛圍

首先處理好師生之間和諧的課堂氛圍，其根本在于協(xié)調(diào)師生之間的心理狀態(tài)，使他們間的心理距離縮短，教師要“以生為本”，善于和不同層次的學(xué)生溝通，做到寬容大度、和藹可親、平易近人。讓學(xué)生在情感上能夠感受到教師的愛，接受教師的教學(xué)方式，達(dá)到平等融洽的氣氛。其次應(yīng)該營造師生互動課堂的氛圍[7]，老師不再以灌、注、填為基本特征來主宰課堂，學(xué)生也不會產(chǎn)生厭學(xué)情緒，取而代之的是師生之間的相互交流與探討，從而達(dá)到課堂互動的氛圍。學(xué)生在教師的指導(dǎo)下自己動手、動腦做數(shù)學(xué)，逐步發(fā)展對數(shù)學(xué)概念的理解和問題解決的能力。數(shù)學(xué)課堂中的師生互動，既體現(xiàn)了人與人之間的合作關(guān)系，又能將數(shù)學(xué)知識運用到現(xiàn)實生活中，從而推動教育的發(fā)展。

4.2 選擇合理的學(xué)習(xí)方法

對于學(xué)生來說“記憶=竅門”，找到學(xué)習(xí)的竅門，知識就容易記住。所以學(xué)習(xí)方法直接影響著學(xué)生潛能的發(fā)揮。即好的學(xué)習(xí)方法能更好的挖掘他們的潛能，而笨拙的學(xué)習(xí)方法則會阻礙他們才能的發(fā)展，老師的教學(xué)任務(wù)不再是“授之以漁”。因此在課堂教學(xué)過程中，老師應(yīng)該著重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。讓學(xué)生在課堂中不斷的探索新的學(xué)習(xí)方法，并通過這些方法使他們達(dá)到自主學(xué)習(xí)、獨立思考和積極創(chuàng)新的目的。

4.3 培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上的學(xué)習(xí)效率

正如孔子所說：“知之者不如好之者，好者不如樂之者”。如果老師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中給學(xué)生創(chuàng)造寬松的成長環(huán)境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)他們的創(chuàng)造思維，達(dá)到一種雙贏的效果。例如：班級中的每個學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力不同，根據(jù)學(xué)生的差異，他們在課堂上的表現(xiàn)也會不同。領(lǐng)悟能力較好的學(xué)生，可能會想方設(shè)法和周圍同學(xué)說話，影響他們聽課，從而影響了整堂課效率。所以這就需要老師通過自己的教學(xué)方法保持?jǐn)?shù)學(xué)課堂上的活躍性和趣味性。雖然純理論的數(shù)學(xué)是一門較枯燥的學(xué)科，但是老師可以通過生活實例來引起學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

假如老師這么說：“同學(xué)們都知道，國家為了青少年兒童免受傷害，健康成長特制定了《未成年人保護(hù)法》，同樣的為了使該公式免受傷害（老師此時用彩色粉筆勾畫出部分同學(xué)在黑板上做練習(xí)時出現(xiàn)的諸如這類錯誤），促使該公式的正確應(yīng)用，我們可否制定一個“法”來讓大家使用該公式時遵守呢？”此時老師就運用《未成年人保護(hù)法》來引起學(xué)生的注意，接著學(xué)生就老師提出的問題進(jìn)行思考、討論并發(fā)表自己的觀點，學(xué)生甲可能會這么說：從公式看，無論a取什么實數(shù)，都為非負(fù)數(shù)，我們定為“非負(fù)數(shù)保護(hù)法”。此時學(xué)生乙也提出了自己觀點：學(xué)生甲的“非負(fù)數(shù)保護(hù)法”雖說明了“算術(shù)根”的最終結(jié)果，但未能很好的體現(xiàn)“算術(shù)根”和“絕對值”的密切聯(lián)系，不如指定成“絕對值保護(hù)法”更為確切。通過學(xué)生發(fā)表觀點，不僅使課堂氛圍活躍，更能增加師生之間的信任。最后，老師對同學(xué)的觀點進(jìn)行總結(jié)，并發(fā)表觀點：贊同學(xué)生乙的觀點，就制定為“絕對值保護(hù)法”即=。要化簡必須按以下兩條要求辦理：

2.至于如何讓走出，就取決于a的“體質(zhì)”（非負(fù)或負(fù)）；（1）“體質(zhì)健壯”a≥0的直接出去，即=a=a(a≥0)；（2）“體質(zhì)虛弱”a＜0的要“防止感冒”，出去時必須系“一條圍巾”（負(fù)號“-”）即=a=-a(a＜0)[3]。

以上例子老師通過詼諧幽默的語言，不僅提高了整堂課的效率，而且拉近了師生之間的距離，提高了教師在學(xué)生心中的地位，為以后的教學(xué)策略打下了堅實的基礎(chǔ)，提高了教學(xué)的有效性和學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。這就如宋朝學(xué)者張載所說的：“學(xué)習(xí)達(dá)到快樂地步，就會輕松，以致不能自己，因此定會長進(jìn)。”

總而言之，師生之間只有建立在老師教得好學(xué)生認(rèn)真學(xué)的基礎(chǔ)上才能達(dá)到雙贏的效果。因此，以上的博弈分析不僅適用于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，也可以用于其他學(xué)科的課堂教學(xué)。

［1］謝識予.經(jīng)濟博弈論[M].復(fù)旦大學(xué)出版社,1997(3):106.

［2］寇玉琴.課堂教學(xué)中的博弈與共贏[J].魅力中國,2009(16):63.

［3］張奠宙,宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論[M].高等教育出版社,2009(2):276-277.

［4］谷文華.博弈論視野下的成人教育師生“囚徒困境”逃離[J].成人高教學(xué)刊,2009(2):43.

［5］林天倫,陳國香.基于博弈論的師生沖突分析[J].教育科學(xué)研究,2010,4:69.

［6］劉珊,楊禾花.博弈論在教學(xué)管理中的實例分析[J].科技廣場,2007,2:121.

［7］林志宏.博弈論視野下的和諧師生關(guān)系構(gòu)建[J].浙江師范大學(xué)學(xué)報,2011,2:108.