袁德有

摘 要：數(shù)學(xué)美是自然美在數(shù)學(xué)中的反映。本文對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、統(tǒng)一美、奇異美等主要美學(xué)特征進(jìn)行了分析，闡述了它們有機(jī)結(jié)合，組成數(shù)學(xué)美的整體，對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的美學(xué)特征做了有益的探索。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)內(nèi)容;美學(xué)特征;結(jié)合;探究

現(xiàn)實(shí)生活中，許多人都認(rèn)為美屬于藝術(shù)以及文學(xué)范疇，其實(shí)，數(shù)學(xué)美一致是存在的，是自然美學(xué)在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)。 數(shù)學(xué)方法與理論中的美，就是秩序井然，協(xié)調(diào)統(tǒng)一，無(wú)論整體還是細(xì)節(jié)都能清楚地認(rèn)識(shí)和理解，數(shù)學(xué)美是帶有數(shù)學(xué)特征的理性美。

一、數(shù)學(xué)內(nèi)容的簡(jiǎn)潔美

數(shù)學(xué)往往通過(guò)簡(jiǎn)潔的表達(dá)形式來(lái)達(dá)到縱觀全局的目的，看清復(fù)雜問(wèn)題的內(nèi)在關(guān)系，從而掌握這個(gè)體系，無(wú)可置疑這能夠激起人們情感美的享受并建立研究的興趣和信心。

數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)潔性也表現(xiàn)在數(shù)學(xué)理論的邏輯結(jié)構(gòu)上。數(shù)學(xué)邏輯簡(jiǎn)潔的奠基者可以說(shuō)是歐幾里得，他在《幾何原本》中，只用5條公設(shè)，5條公理和23個(gè)定義，就推導(dǎo)出了467條定理，二進(jìn)制只用“0”和“1”兩個(gè)數(shù)字，就可以表示所有的數(shù)。更使人感嘆的是，出于簡(jiǎn)潔性的考慮，數(shù)學(xué)家們提出了公理的獨(dú)立性問(wèn)題，即如果一條公理能由其他公理推導(dǎo)出來(lái)，這一公理在邏輯上是可以去掉的。

二、數(shù)學(xué)內(nèi)容的對(duì)稱美

對(duì)稱是數(shù)學(xué)中隨處可見(jiàn)的現(xiàn)象，數(shù)學(xué)上的對(duì)稱性，往往還會(huì)產(chǎn)生一種神奇的魅力，使人們對(duì)于美的感受躍上一個(gè)更高的層次，躍上一個(gè)理性的臺(tái)階。

由對(duì)稱而簡(jiǎn)單，當(dāng)大家來(lái)研究考察對(duì)象時(shí)，其結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性可以簡(jiǎn)單地把握。形體的對(duì)稱性，在現(xiàn)實(shí)世界中到處可見(jiàn)。對(duì)稱是數(shù)學(xué)的基本結(jié)構(gòu)。最典型的是幾何圖形中對(duì)稱性，如圓、矩形、正多邊形等，球形的對(duì)稱性最為特別，它既是中心對(duì)稱，又是軸對(duì)稱，也是面對(duì)稱的圖形。解析幾何中，方程x ?+y ?=a ?2

r=a（1-cosθ）所表示的曲線也是對(duì)稱的，被人們分別稱以星形線、心臟線的美稱。對(duì)稱不僅表現(xiàn)在幾何圖形上，在數(shù)學(xué)表達(dá)式中也比比皆是。如二項(xiàng)式展開(kāi)的系數(shù)具有對(duì)稱性、高等代數(shù)中的輪換多項(xiàng)式、微分方程中的拉普拉斯方程等也具有對(duì)稱性。

三 、數(shù)學(xué)內(nèi)容的統(tǒng)一美

數(shù)學(xué)美的統(tǒng)一性，表現(xiàn)在數(shù)、式、形之間，各知識(shí)塊之間依照一定的邏輯關(guān)系相互聯(lián)系，呈高度的和諧統(tǒng)一。從數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律來(lái)看，數(shù)學(xué)的發(fā)展將日益證明數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。非歐幾何學(xué)、群論、拓?fù)淅碚摰榷际窍鄳?yīng)的許多具體數(shù)學(xué)內(nèi)容統(tǒng)一的結(jié)果。

由和諧協(xié)調(diào)而得統(tǒng)一。對(duì)象的部分與部分或部分與整體都按一定的規(guī)律構(gòu)成一個(gè)相互關(guān)聯(lián)的統(tǒng)一體，這就是和諧。但對(duì)于一個(gè)初學(xué)者來(lái)說(shuō)，未必能體會(huì)到這個(gè)公式的內(nèi)在美。當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了三角形、正方形、矩形、梯形的面積公式后，需經(jīng)認(rèn)真思索才能發(fā)現(xiàn)三角形、正方形、矩形面積公式是梯形面積公式的特殊情況，才能體驗(yàn)到梯形面積公式的美妙之處，即它表現(xiàn)為表面不同的數(shù)學(xué)對(duì)象在一定情況下可以聯(lián)系為一個(gè)統(tǒng)一體。

四、數(shù)學(xué)內(nèi)容的奇異美

人們欣賞協(xié)調(diào)、統(tǒng)一的美，人們也同樣欣賞奇特，新穎的美。后者的美，對(duì)心靈的撞擊、對(duì)感官的刺激，往往更為美妙，數(shù)學(xué)美的奇異性在這里得到了充分的體現(xiàn)。

奇異是相對(duì)于平凡或常識(shí)來(lái)說(shuō)的，是對(duì)傳統(tǒng)的突破。表現(xiàn)為結(jié)論的奇異性是指結(jié)論的推陳出新、新穎奇巧、往往能引起思維上的震動(dòng)。如畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為“十這個(gè)數(shù)目是一個(gè)完美的數(shù)目”。當(dāng)所知道的數(shù)在正有理數(shù)范圍內(nèi)時(shí)，他們覺(jué)得這些數(shù)可以表示一切量，除此以外就不需要?jiǎng)e的數(shù)了。勾股定理使得無(wú)理數(shù)被發(fā)現(xiàn)，在當(dāng)時(shí)無(wú)疑是一個(gè)引起震動(dòng)的結(jié)果，帶來(lái)了許多人極大的恐慌，以致于被后世數(shù)學(xué)家稱為“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。數(shù)學(xué)的證明過(guò)程常出現(xiàn)一些意想不到的思路，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的奇異美。

奇異性常常與數(shù)學(xué)反例聯(lián)系在一起。這個(gè)函數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)處處有定義，但在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)處處不連續(xù)。奇異性也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的重要美學(xué)因素，數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一些新觀念的產(chǎn)生，就是來(lái)自于數(shù)學(xué)家們對(duì)于數(shù)學(xué)領(lǐng)域中奇異美的追求和渴望。

上面我們談了數(shù)學(xué)內(nèi)容的一些主要美學(xué)特征。一種數(shù)學(xué)理論的完美無(wú)缺，可能在其基礎(chǔ)、方法或結(jié)構(gòu)上呈現(xiàn)出統(tǒng)一美，其中某些對(duì)象之間可能呈現(xiàn)了對(duì)稱美，也可能因其中的某些結(jié)論表現(xiàn)出奇異美，而使人有興趣去認(rèn)識(shí)它的原因之一可能是它有簡(jiǎn)潔美，又因?yàn)樗械臄?shù)學(xué)理論都是抽象的，數(shù)學(xué)總是能夠達(dá)到理性美?？傊?，這些美學(xué)特征的有機(jī)結(jié)合，組成了數(shù)學(xué)美的整體。

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[1]許自強(qiáng).美學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)出版社，2011.

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（作者單位：南陽(yáng)理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院）endprint