李九靈，張 頌，丁國(guó)龍

（湖北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，湖北 武漢 430068）

0 引言

齒根過(guò)渡曲線對(duì)齒輪強(qiáng)度至關(guān)重要。點(diǎn)蝕和齒根折斷為齒輪失效的主要現(xiàn)象，其中齒根折斷是由于齒根應(yīng)力較大，由疲勞裂紋擴(kuò)展所導(dǎo)致。對(duì)用于重要場(chǎng)合的高精度硬齒面齒輪，斷裂損壞是最主要的破壞形式，所以齒根部位的應(yīng)力分布狀況、最大應(yīng)力值及位置、以及如何降低彎曲應(yīng)力引起了人們的興趣和注意［1］，而改變過(guò)渡曲線的形狀是解決齒根應(yīng)力過(guò)大和應(yīng)力集中的重要方法。

董新華［2］等用NURBS樣條曲線對(duì)齒根過(guò)渡曲線進(jìn)行優(yōu)化研究，但沒(méi)有考慮曲線權(quán)因子影響，且該曲線在求解接觸線時(shí)較繁瑣；陳秀寧［3］等采用最小二乘法擬合離散化的節(jié)點(diǎn)為過(guò)渡曲線，并以最大應(yīng)力為優(yōu)化目標(biāo)、以節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為變量進(jìn)行優(yōu)化，但是節(jié)點(diǎn)越多效率越低，運(yùn)算時(shí)間越多，全局最優(yōu)難度加大；芮井中［4］等采用雙參數(shù)“超越橢圓”曲線方程對(duì)過(guò)渡曲線進(jìn)行優(yōu)化，該方法只能描述特定的邊界形狀并且只能獲得局部最優(yōu)解，且建模比較難。本文在上述研究基礎(chǔ)上，充分利用軟件的功能，采用三段圓弧描述齒根過(guò)渡曲線，通過(guò)參數(shù)化建模，利用優(yōu)化分析模塊對(duì)齒根過(guò)渡曲線形狀進(jìn)行優(yōu)化研究。

1 齒輪參數(shù)化建模

1.1 齒廓建模

圖1為齒輪端面截形示意圖。過(guò)渡曲線采用三段圓弧C1，C2，C3連接，設(shè)對(duì)于某段圓弧中心C在齒輪局部坐標(biāo)系O1－xy1z坐標(biāo)下為（xc，yc，0），β表示該圓弧段上任意一點(diǎn)與x軸的夾角，r為半徑，取β為參變量，可建立在齒輪坐標(biāo)系O－xyz的過(guò)渡曲線段方程：

右側(cè)漸開(kāi)線部分方程為：

其中：rf，rb分別為齒根圓半徑和基圓半徑；u為漸開(kāi)線上任意點(diǎn)的展開(kāi)角；δ0為基圓齒槽半角。

至此，一個(gè)完整的齒廓模型可由式（1）、式（2）表示。

圖1 齒輪齒槽端面截形

1.2 齒輪實(shí)體建模

本文利用參數(shù)化建模方法，以適應(yīng)齒輪參數(shù)改變時(shí)自動(dòng)更新模型的要求。在方程式文本編輯框中輸入齒輪基本參數(shù)，并計(jì)算齒輪基圓、分度圓、齒頂圓、漸開(kāi)線嚙合起始點(diǎn)、漸開(kāi)線等相關(guān)參數(shù)，然后繪制基本草圖（見(jiàn)圖2）并把相關(guān)尺寸參數(shù)化，接著在局部坐標(biāo)系O1－xy1z下，標(biāo)注C1與C2交點(diǎn)分別到x，y1軸的距離，依次命名為DS＿LX和DS＿LY，標(biāo)注C3半徑為DS＿R3，最后使用特征得實(shí)體模型，裝配后的嚙合齒輪如圖3所示。

2 過(guò)渡曲線形狀優(yōu)化

本文為更實(shí)際地仿真?zhèn)鬟f齒輪受力情況，對(duì)齒輪進(jìn)行接觸分析后，以DS＿LX，DS＿LY和DS＿R3為優(yōu)化變量，以齒根接觸最大von-Mises應(yīng)力為目標(biāo)變量，利用ANSYS Workbench對(duì)齒根形狀進(jìn)行優(yōu)化研究。

圖2 參數(shù)化草圖

圖3 齒輪模型

2.1 齒輪接觸應(yīng)力分析

（1）定義材料屬性：選用齒輪材料為45鋼，可查看其彈性模量、泊松比、密度等。

（2）齒輪模型和變量設(shè)計(jì)：利用SolidWorks與Workbench的無(wú)縫連接把齒輪幾何模型（見(jiàn)圖3）導(dǎo)入到Workbench中，選擇DS＿LX，DS＿LY和DS＿R3為設(shè)計(jì)變量。通過(guò)控制C1與C2交點(diǎn)和C3半徑來(lái)改變和優(yōu)化齒根過(guò)渡曲線。

（3）劃分網(wǎng)格：網(wǎng)格劃分越細(xì)，計(jì)算結(jié)果精度越高，但是計(jì)算規(guī)模也會(huì)相應(yīng)地有所增加，因此劃分網(wǎng)格時(shí)應(yīng)綜合考慮這兩個(gè)因素［5，6］。根據(jù)齒輪實(shí)際接觸情況選擇接觸區(qū)域，并重新定義接觸對(duì)；指定網(wǎng)格劃分尺寸為默認(rèn)尺寸，對(duì)齒輪接觸區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化，細(xì)化等級(jí)為1級(jí)（見(jiàn)圖4）。

圖4 網(wǎng)格劃分

（4）載荷與邊界條件：在接觸分析時(shí)假設(shè)在嚙合瞬間從動(dòng)輪是不動(dòng)的，僅僅考慮主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩，因此只需對(duì)主動(dòng)輪采用固定除繞軸線旋轉(zhuǎn)外的其他5個(gè)自由度，而從動(dòng)輪固定所有自由度；在主動(dòng)輪內(nèi)圈施加轉(zhuǎn)矩T，逆時(shí)針?lè)较颉?/p>

（5）求解：添加stress（von-Mises）為求解對(duì)象，并選取其最大值為優(yōu)化目標(biāo)變量。求解后可以查看齒輪在齒根部分的應(yīng)力云圖。

2.2 過(guò)渡曲線優(yōu)化過(guò)程

產(chǎn)品優(yōu)化設(shè)計(jì)已經(jīng)滲入到工程設(shè)計(jì)中的每個(gè)角落，在Workbench中，可以通過(guò)Design Explorer來(lái)實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品性能的優(yōu)化設(shè)計(jì)，其通過(guò)人機(jī)交互，采用先建模再進(jìn)行性能分析，然后根據(jù)設(shè)計(jì)要求對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行修改，最后再進(jìn)行分析計(jì)算，反復(fù)多次，直到最終設(shè)計(jì)的機(jī)械結(jié)構(gòu)性能滿足要求為止，這種優(yōu)化方法是一個(gè)再設(shè)計(jì)再分析的優(yōu)化過(guò)程。在齒輪接觸應(yīng)力分析后進(jìn)入目標(biāo)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化（Goal Driven Optimization）模塊，設(shè)置優(yōu)化變量的上、下極限值和循環(huán)次數(shù)，采用中心組合設(shè)計(jì)產(chǎn)生設(shè)計(jì)點(diǎn)，篩選方式為優(yōu)化方法，樣本數(shù)量1 000，對(duì)過(guò)渡曲線形狀進(jìn)行優(yōu)化。

3 實(shí)例分析

為驗(yàn)證以上優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的可行性，并尋找出最佳齒根過(guò)渡曲線形狀，以改善齒根受力情況，本文以表1為齒輪基本參數(shù)建模對(duì)齒根過(guò)渡曲線進(jìn)行優(yōu)化研究，其中主動(dòng)輪受扭矩T＝10 000N·mm，優(yōu)化前、后最大應(yīng)力值對(duì)比見(jiàn)表2，優(yōu)化前齒根接觸應(yīng)力云圖見(jiàn)圖5，優(yōu)化后齒根接觸應(yīng)力云圖見(jiàn)圖6。

表1 齒輪基本參數(shù)

表2 優(yōu)化結(jié)果及對(duì)比

圖5 優(yōu)化前齒根應(yīng)力圖

由表2可知：優(yōu)化前齒根最大應(yīng)力值為5.396 2 MPa，且應(yīng)力集中在3.2MPa～3.7MPa，有較多點(diǎn)存在最大受力狀況；經(jīng)優(yōu)化后最大應(yīng)力已減至2.871 7 MPa，齒根應(yīng)力主要集中在1.5MPa～2.5MPa，最大受力點(diǎn)已不在齒根，而且最大應(yīng)力改善幅度達(dá)46.7%。由圖5可以看出，優(yōu)化前齒根受力較集中，整齒受力范圍較少；而優(yōu)化后齒根受力范圍有所擴(kuò)展（見(jiàn)圖6），改善了應(yīng)力集中現(xiàn)象，降低了最大接觸應(yīng)力。比較可知優(yōu)化后齒輪實(shí)體受力點(diǎn)范圍擴(kuò)大，齒根應(yīng)力集中現(xiàn)象得到改善，同時(shí)齒根應(yīng)力值范圍也降低了；優(yōu)化的過(guò)渡曲線可以大幅度減小齒根的最大應(yīng)力值，使齒根受力面更寬，改善齒根應(yīng)力集中現(xiàn)象。

圖6 優(yōu)化后齒根應(yīng)力圖

4 結(jié)論

本文就齒根過(guò)渡曲線形狀優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了相關(guān)討論，提出利用三段圓弧組合成齒根過(guò)渡曲線，通過(guò)參數(shù)化建模，提出對(duì)齒根過(guò)渡曲線形狀進(jìn)行優(yōu)化的方法，并給出實(shí)例分析。通過(guò)實(shí)例分析驗(yàn)證了此優(yōu)化方法的可行性，優(yōu)化的齒根過(guò)渡曲線可大幅度改善齒根受力情況，使受力帶更寬更均，利用文中參數(shù)優(yōu)化時(shí)最大應(yīng)力降幅可達(dá)46.7%；同時(shí)該方法使用圓弧建立幾何模型簡(jiǎn)單、方便，可直接用軟件繪制，避免編寫(xiě)程序建模和分析的過(guò)程。

［1］郭太勇，梁迎春，黎文勇.漸開(kāi)線齒輪齒根過(guò)渡曲線優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.機(jī)械傳動(dòng)，1996，20（1）：20-21.

［2］董新華，馬勇，柳強(qiáng).漸開(kāi)線齒輪齒根過(guò)渡曲線最佳線型實(shí)現(xiàn)方法［J］.機(jī)械傳動(dòng)，2013，37（5）：47-49.

［3］陳秀寧，陳志平.漸開(kāi)線齒輪齒根過(guò)渡曲線的優(yōu)化研究［J］.中國(guó)機(jī)械工程，1995，6（2）：59-60.

［4］芮井中，吳志學(xué).齒根過(guò)渡曲線優(yōu)化方法研究［J］.機(jī)械傳動(dòng)，2010，34（2）：38-40.

［5］楊汾愛(ài)，張志強(qiáng)，龍小樂(lè)，等.基于精確模型的斜齒輪接觸應(yīng)力有限元分析［J］.機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2003，22（2）：206-208.

［6］查太東，楊萍.基于Ansys Workbench的固定支架優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.煤礦機(jī)械，2012，33（2）：28-30.