沈順良

圖形在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常常能起到輔助作用，其中有解決代數(shù)問(wèn)題的幾何圖形，也有解決幾何問(wèn)題的特殊圖形，本文試列舉2015年浙江數(shù)學(xué)高考試題解決中的圖形輔助.

一、輔助函數(shù)圖形

函數(shù)圖形能直觀(guān)反映變量間的關(guān)系，因此它能輔助解決相關(guān)函數(shù)的取值、性質(zhì)等問(wèn)題.

例1 （理科卷第7題）存在函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：對(duì)任意x∈R都有（ ）

運(yùn)用同樣的方法可以解決文科卷第8題，還可以通過(guò)圖象簡(jiǎn)單化解決理科卷第10題的分段函數(shù)問(wèn)題.

二、輔助橫（豎）線(xiàn)段

斜線(xiàn)段長(zhǎng)度常常可以化歸到橫（縱）線(xiàn)段長(zhǎng)度，從而在坐標(biāo)系中用橫（縱）坐標(biāo)簡(jiǎn)化解決斜線(xiàn)段長(zhǎng)度的相關(guān)問(wèn)題.

例2 （理科卷第5題）如圖4，設(shè)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)上有三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)在A，B拋物線(xiàn)上，點(diǎn)C在y軸上，則△BCF與△ACF的面積之比是（ ）.

分析：首先將△BCF與△ACF的面積之比轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段CB與CA長(zhǎng)度之比，再通過(guò)輔助橫線(xiàn)段BE，AD將線(xiàn)段CB與CA長(zhǎng)度之比轉(zhuǎn)化為EB，DA長(zhǎng)度之比，即B，A的橫坐標(biāo)之比，然后利用拋物線(xiàn)定義將AF，BF長(zhǎng)度通過(guò)輔助橫線(xiàn)段轉(zhuǎn)化為AG，BH的長(zhǎng)度，即===.

三、輔助向量幾何語(yǔ)言

向量是代數(shù)與幾何的綜合，將向量的符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為幾何語(yǔ)言，則能利用圖形直觀(guān)解決向量問(wèn)題.

理科卷第6題也可以借助幾種特殊類(lèi)型的Venn圖來(lái)加以判斷.

五、輔助基本幾何體

將立體圖形補(bǔ)形為基本幾何體，則能輔助觀(guān)察和平移.

理科卷第14題的條件和所求問(wèn)題可以對(duì)應(yīng)于單位圓盤(pán)內(nèi)的點(diǎn)、線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題.

七、輔助平面圖形

立體幾何問(wèn)題的解決可以化歸為平面圖形來(lái)分析解決.

例8 （理科卷第17題）如圖13，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°， AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D為B1C1的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：A1D⊥平面A1BC；

（Ⅱ）求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.

分析：（Ⅰ）由A1在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)E，得A1D⊥A1E.要證A1D⊥平面A1BC，只要證明A1D與BC垂直，借助平行四邊形得到只要證A1D⊥B1C1，再借助等腰△A1B1C1，即為中線(xiàn)A1D與底邊B1C1的垂直.

（Ⅱ）二面角A1-BD-B1對(duì)應(yīng)的兩個(gè)平面分別為△A1BD與△B1BD，由于△A1B1C1是等腰直角三角形，故A1D=DB1，而A1D⊥A1E，故△A1BD≌△B1BD，從而直接可以用定義來(lái)作二面角的平面角，作A1F⊥BD，垂足為F，連結(jié)B1F，則∠A1FB1就是二面角的平面角，A1F（B1F）為△A1BD（△B1BD）斜邊上的高，最后可解三角形A1B1F求解.

日常解題教學(xué)中我們應(yīng)該注重圖形的輔助，同時(shí)滲透等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)學(xué)結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.