胡峻峰,曹 軍

(東北林業(yè)大學(xué)機電工程學(xué)院,哈爾濱150040)

雙足被動步行的全局穩(wěn)定性分析

胡峻峰,曹 軍

(東北林業(yè)大學(xué)機電工程學(xué)院,哈爾濱150040)

在經(jīng)典雙足被動步行動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上,分析環(huán)境和力學(xué)參數(shù)影響下機器人被動步行的全局穩(wěn)定性。計算不同模型參數(shù)下被動步行穩(wěn)定不動點,采用胞胞映射計算得到不同模型參數(shù)下該動力學(xué)模型穩(wěn)定單周期步態(tài)的吸引區(qū)域。研究發(fā)現(xiàn)雙足被動步行的魯棒性與其環(huán)境、力學(xué)參數(shù)關(guān)系密切,同時提出估計不動點吸引域形狀的2個度量:最小半徑與最大半徑。實驗結(jié)果給出被動步行穩(wěn)定區(qū)域與斜坡傾角和質(zhì)量比值的關(guān)系,同時通過分析某些偏離不動點較大的穩(wěn)定吸引胞,以及吸引域的最小半徑與最大半徑的變化趨勢,反映了雙足被動步態(tài)的魯棒性。

雙足被動步行;全局穩(wěn)定性;胞胞映射;不動點;吸引域;魯棒性

1 概述

傳統(tǒng)主動雙足機器人[1]盡管智能化程度高,能完成的動作多,可自主或受控改變行走速度和方向,但其結(jié)構(gòu)復(fù)雜,步態(tài)顯得很機械,能量消耗大。雙足被動步行機器人充分利用自身機構(gòu)固有的自然動力學(xué)特性,天生具有自然的步態(tài),以及與人類步行相似的能量效率,迅速成為雙足機器人研究領(lǐng)域的一個嶄新且重要的分支。

經(jīng)過近十年蓬勃發(fā)展,當(dāng)前被動機器人在本體樣機設(shè)計和研制上種類繁多[2-3],但在行走穩(wěn)定性方面仍無突破,具體體現(xiàn)在對行走初態(tài)的要求苛刻以及系統(tǒng)魯棒性很差,這與人類自然行走還有很大的差距[4-5]。雙足被動機器人要想取得進(jìn)一步發(fā)展,就必須要研究雙足步行的內(nèi)在固有特點,深入研究其控制與穩(wěn)定性機理,雙足被動步行中的穩(wěn)定性問題[6]主要分為步態(tài)局部穩(wěn)定性與步態(tài)全局穩(wěn)定性兩方面,作為雙足步行研究的基礎(chǔ),其所得結(jié)論可以用來指導(dǎo)雙足機器人的設(shè)計和控制,實現(xiàn)降低控制器的復(fù)雜度和提高機器人整體能量效率。

目前被動行走步態(tài)的局部穩(wěn)定性研究相對成熟,不動點的估計[7]與計算的數(shù)值方法[8]已經(jīng)不少,但是步態(tài)的全局穩(wěn)定性問題[9]研究有待深入,譬如應(yīng)該如何衡量雙足被動機器人在不同參數(shù)下的全局穩(wěn)定性的差異,從而選擇合適的參數(shù)來設(shè)計高效魯棒性好的被動機器人,另一方面,文獻(xiàn)[10]提出分域控制的思想,通過進(jìn)一步分析機器人的穩(wěn)定行走的吸引區(qū)域,有利于提出高效的全局穩(wěn)定分域控制切換邏輯。文獻(xiàn)[11]等使用胞胞映射定性地刻畫出相應(yīng)被動步行模型的穩(wěn)定不動點的吸引區(qū)域[12]的形狀和體積,從而反映在不同參數(shù)下滿足能讓被動機器人穩(wěn)定行走的初始條件集合的變化情況[13],但是上述吸引區(qū)域及機器人在相應(yīng)模型下的全局穩(wěn)定性[14]需要進(jìn)行分析并提取特征。因此,本文通過數(shù)值研究,分析討論在不同環(huán)境與力學(xué)參數(shù)影響下雙足被動步行穩(wěn)定步態(tài)[15]吸引區(qū)域的差異及演化規(guī)律。

2 預(yù)備知識

2.1 雙足被動步行的動力學(xué)建模

將文獻(xiàn)[14]的無膝雙足被動行走模型作為研究對象,其2條均質(zhì)剛性直腿有完全相同的質(zhì)量與幾何參數(shù),直腿質(zhì)心處集中了腿上所有質(zhì)量,同時髖關(guān)節(jié)處具有質(zhì)量,如圖1所示。

圖1 斜坡上的雙足被動步行動力學(xué)模型

其中:

在擺動腿觸地瞬間,系統(tǒng)的支撐腿與擺動腿發(fā)生互換,狀態(tài)變量發(fā)生突變,假設(shè)碰撞時間極短且為完全非彈性碰撞,易知在碰撞瞬間雙腳都著地,兩腿角度滿足如下關(guān)系式:

根據(jù)角動量守恒原理,在碰撞時刻T前后的狀態(tài)變量滿足如下代數(shù)方程:

2.2 步態(tài)的穩(wěn)定性分析與計算

文獻(xiàn)[5]首先定義并研究了步態(tài)的局部穩(wěn)定性,自其開創(chuàng)性工作以來,研究者一般首先建立步態(tài)方程,然后沿用Newton-Raphson方法[5]在預(yù)先估計的狀態(tài)空間里搜索系統(tǒng)的穩(wěn)定周期解。通過類似方法,建立上述模型的步態(tài)方程,見式(1)與式(3),然后以雙足著地的碰撞瞬間作為Poincare截面,根據(jù)式(2),則2次碰撞之間的過程是一個三維Poincaré映射F,其狀態(tài)變量Xi∈R3,i=1,2,…,n,可知Xi+1=F(Xi),若F(X?)=X?,則周期步態(tài)存在,此時龐加萊映射的固定點X?稱為不動點,以穩(wěn)定的不動點作為步態(tài)初值,機器人行走會呈周期步態(tài)。然而機器人具有局部穩(wěn)定性,僅能說明機器人可以形成穩(wěn)定的行走狀態(tài),而機器人行走的初始條件偏離其穩(wěn)定不動點多大范圍內(nèi)仍能形成穩(wěn)定行走狀態(tài),需要對其進(jìn)行全局穩(wěn)定性分析。全局穩(wěn)定性越好,魯棒性越好,滿足穩(wěn)定行走的初始條件的范圍越大,被動機器人穩(wěn)定行走抗干擾的能力就越強。滿足能讓被動機器人形成穩(wěn)定步態(tài)的集合稱為不動點的吸引域,把吸引域內(nèi)的點作為雙足被動步行機器人的初始條件,經(jīng)過有限步運動以后都將收斂到穩(wěn)定運動狀態(tài)。因此,可以用吸引域的大小等特征來分析雙足被動機器人的全局穩(wěn)定性。

文獻(xiàn)[12]在上述局部穩(wěn)定性研究方法上進(jìn)行了擴展,采用胞胞映射方法在Poincaré像空間上找到不動點的吸引域。為了衡量雙足被動步行系統(tǒng)在不同參數(shù)下的魯棒性以及給后續(xù)控制算法提供理論支持,定義吸引域最小半徑Rmin與最大半徑Rmax。

設(shè)在Poincaré像空間上取一初始狀態(tài)集S,Σ是其內(nèi)部穩(wěn)定不動點的吸引點集,易知Σ?S,將任意點Y與穩(wěn)定不動點Y0之間的距離定義為d=Y-Y0,S中任意滿足d≤Smin的初始狀態(tài)變量Y都能收斂到穩(wěn)定不動點上。在初始狀態(tài)空間中滿足d＞Smax的任意初始狀態(tài)變量Y肯定無法收斂到穩(wěn)定不動點上?？梢?吸引域最小半徑Smin反映了雙足被動機器人在初始狀態(tài)偏離不動點多大程度時經(jīng)過有限步以后必定可以回到單周期穩(wěn)定步態(tài)。

而吸引域最大半徑Smax反映了機器人在初始狀態(tài)偏離不動點多大程度時仍舊有可能經(jīng)過有限步回到單周期穩(wěn)定步態(tài)。

3 數(shù)值實驗與分析

3.1 實驗環(huán)境

文獻(xiàn)[10]中發(fā)現(xiàn),被動步行行走過程對環(huán)境擾動的魯棒性是由機器人的力學(xué)參數(shù)和斜面坡度共同決定。下面分析質(zhì)量參數(shù)μ,斜面坡度φ的變化對穩(wěn)定不動點吸引域的影響。

3.2 參數(shù)μ對穩(wěn)定步態(tài)吸引域的影響

采用前述Newton-Raphson迭代方法求取了μ=1∶ 0.1∶10下的穩(wěn)定不動點變化情況,在參數(shù)連續(xù)變化時,系統(tǒng)的穩(wěn)定不動點的變化也是連續(xù)的,而且隨參數(shù)μ的增大,穩(wěn)定不動點的變化越來越小,如圖2所示。

圖2 參數(shù)μ從1增加到10時的系統(tǒng)穩(wěn)定不動點

在上述胞化的初始狀態(tài)空間里,利用胞映射法求取了不同的參數(shù)μ下吸引到其對應(yīng)的穩(wěn)定不動點的初始狀態(tài)胞,其中,μ=1,2,4,6,8下的吸引域如圖3所示。

圖3 隨參數(shù)μ從1～10變化時穩(wěn)定不動點的吸引域

如圖3所示,隨參數(shù)μ的增大,穩(wěn)定不動點的吸引域的體積在μ=3時明顯變大,然后繼續(xù)變大,可見雙足被動機器人的髖關(guān)節(jié)重量相對腿重量越大,其魯棒性越好,而且在比值大約為3時,其穩(wěn)定性區(qū)域就可以達(dá)到較理想的程度,這與人類身體結(jié)構(gòu)重量分配的常識也是一致的。在圖中取μ=1時的不動點的吸引區(qū)域一遠(yuǎn)端點Ym=[0.696 39, -2.932 5,2.812 5],對其進(jìn)行迭代,發(fā)現(xiàn)其在迭代次數(shù)n≤20時就可以迅速收斂到不動點Y0= [-0.295 69,-0.362 84,-1.1063],如表1所示。

表1 吸引點Ym的收斂情況

由表1可知,如果雙足被動機器人的初態(tài)哪怕偏離穩(wěn)定步態(tài)很遠(yuǎn),如果合適的話,恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài)的過渡時間T與狀態(tài)偏差d收斂很快,因此,可以迅速回到穩(wěn)定的單周期步態(tài)。通過觀察圖3發(fā)現(xiàn),這樣的點與擺動腿角速度的正負(fù)有關(guān)系,如果擺動腿的角速度為正,且足夠大的話,那系統(tǒng)就有足夠的機會回到穩(wěn)定步態(tài)。隨后,估算隨參數(shù)μ變化,穩(wěn)定不動點吸引域的最小半徑與最大半徑如圖4所示。

圖4 吸引域的最小半徑與最大半徑

由圖4可知,在參數(shù)μ增加時,雙足被動步行機器人的魯棒性越來越好,在μ≈7時,步行機器人肯定可以承受最大偏離程度的擾動,但是此時最大半徑較小,如果偏離較大,需要消耗更多能量鎮(zhèn)定到離其最近可以調(diào)整到穩(wěn)定步態(tài)的狀態(tài)上。而在參數(shù)μ≈2時,即使步行機器人受到的擾動較大,但是仍舊在最大半徑所包含的范圍內(nèi),僅需少許能量就可以將其狀態(tài)鎮(zhèn)定到距離其最近的吸引點上,因此,有利于工程實現(xiàn)與設(shè)計。

3.3 斜坡傾角φ對穩(wěn)定步態(tài)吸引域的影響

采用前述Newton-Raphson迭代方法求取了φ= 0.25°∶0.25°∶4°下的穩(wěn)定不動點的變化情況,由圖5可知,隨傾角變化,穩(wěn)定不動點在相空間中的變化也是連續(xù)的。

圖5 參數(shù)φ從1增加到10時的系統(tǒng)穩(wěn)定不動點

在上述胞化的初始狀態(tài)空間里,利用胞映射法求取了不同斜坡傾角φ下吸引到其對應(yīng)的穩(wěn)定不動點的初始狀態(tài)胞,其中,φ=0.25°,1°,2°,3°,4°下的吸引域如圖6所示。從圖6可以看出,隨傾角φ的增大,穩(wěn)定不動點的吸引域的體積在φ=3時明顯變大,然后繼續(xù)變大,可見斜坡傾角在合適的范圍內(nèi)相對較大時,雙足被動機器人的魯棒性更好,而且在比值大約為3時,其穩(wěn)定性區(qū)域就可以達(dá)到較理想的程度。

隨后,也同時估算了隨傾角φ變化,穩(wěn)定不動點吸引域的最小半徑與最大半徑,如圖7所示。

圖6 隨參數(shù)φ從0.25°到4°變化時穩(wěn)定不動點的吸引域

圖7 吸引域的最小半徑與最大半徑

可知在斜坡傾角φ增加時,雙足被動步行機器人的吸引區(qū)域越來越大,隨斜坡傾角的增大,其吸引域的最大半徑與最小半徑增長較快,系統(tǒng)的魯棒性越來越好,但是斜坡傾角大于5.07°時會出現(xiàn)復(fù)雜的動力學(xué)現(xiàn)象[14],如倍周期分岔、混沌等。

4 結(jié)束語

本文使用數(shù)值方法對不同環(huán)境與力學(xué)參數(shù)下雙足被動行走模型的全局穩(wěn)定性進(jìn)行了研究與討論。研究發(fā)現(xiàn),雙足被動步行的魯棒性與其環(huán)境、力學(xué)參數(shù)關(guān)系密切,同時提出估算其不動點的吸引區(qū)域的最小半徑與最大半徑對后續(xù)的工程設(shè)計以及控制策略提供支持,如在環(huán)境參數(shù)給定的情形下,設(shè)計具備與它匹配的力學(xué)參數(shù)的機器人以獲得最大的吸引區(qū)域,同時在評估當(dāng)前控制策略設(shè)計是否合理時應(yīng)該著重考慮2個關(guān)鍵性度量,即吸引區(qū)域最小半徑與最大半徑。下一步工作主要集中在如何高效且精確地計算其不動點的吸引區(qū)域以及能量問題。

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編輯 顧逸斐

Analysis for Global Stability of Passive Bipeds Walking

HU Junfeng,CAO Jun
(College of Mechanical and Electrical Engineering,Northeast Forest University,Harbin150040,China)

Based on the classical dynamic model of passive biped walking,the globel stability of passive bipeds walking which is influenced by the environment and mechical parameters is discussed.The calculaion about stable fix points on variable parameter is given.Cell-cell map is used to compute the attractive region of the1-periodic steady gait of the walking model with variable parameters.It is found that the robustness of passive bipeds is connected closely to the environment and mechanical parameters.Moreover,this paper also proposes the two metrics to evaluate the shape of attractive region:minimum radius and maximum radius.Simulation results also reveal the relationship between the attractive region of passive walking and the parameters like ground slope or mass ratio.Simultaneously,the robusness of passive biped walking gaits is analyized by special attracive cell and the variable tendency with the maximum reach and the mininum reach of the attractive region.

passive bipeds walking;global stability;cell-cell mapping;fix point;attractive region;robustness

胡峻峰,曹 軍.雙足被動步行的全局穩(wěn)定性分析[J].計算機工程,2015,41(2):173-177.

英文引用格式:Hu Junfeng,Cao Jun.Analysis for Global Stability of Passive Bipeds Walking[J].Computer Engineering, 2015,41(2):173-177.

1000-3428(2015)02-0173-05

:A

:TP39

10.3969/j.issn.1000-3428.2015.02.033

中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項基金資助項目(DL10AB06);國家林業(yè)局“948”基金資助項目(2011-4-04);黑龍江省自然科學(xué)基金資助項目(QC2012C101)。

胡峻峰(1980-),男,博士研究生,主研方向:人工智能,圖像處理;曹 軍,教授、博士、博士生導(dǎo)師。

2013-10-08

:2013-12-27E-mail:hujunfeng_2013@126.com