李賢麗 張超穎 竇雪瑩
(東北石油大學(xué),黑龍江 大慶 163318)
混沌運(yùn)動是發(fā)生在確定的非線性系統(tǒng)中的一種隨機(jī)行為,其對初始條件高度敏感,具有復(fù)雜的動力學(xué)性質(zhì),且難以預(yù)測,目前廣泛地應(yīng)用于物理學(xué)、地質(zhì)學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)及保密通信[1]等工程領(lǐng)域中。混沌在發(fā)現(xiàn)之初是用來解釋某些自然和物理現(xiàn)象的,如蝴蝶效應(yīng)及天氣預(yù)報等。近年來,人們開始控制和應(yīng)用混沌,混沌控制的主要方法有線性反饋法[2]、周期擾動與激勵控制[3]、參數(shù)擾動法?;诨煦缈刂频姆椒?,在一定條件下,構(gòu)造出四維自治超混沌系統(tǒng),超混沌系統(tǒng)與混沌系統(tǒng)相比具有更為復(fù)雜的動力學(xué)行為,它具有兩個或兩個以上正的李雅普諾夫指數(shù),拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)更為復(fù)雜,動態(tài)行為更加難以預(yù)測,更難被破解。將超混沌同步技術(shù)應(yīng)用于保密通信系統(tǒng)時,有著更強(qiáng)的保密性能。混沌信號應(yīng)用于保密通信是要把有用信號隱藏在混沌信號里,再在接收端提取出有用信號,可以直接利用混沌通信,也可以利用混沌同步實現(xiàn)通信,所以對超混沌同步方法的研究也極為重要?;煦缤绞腔煦缈刂频囊环N特殊形式,混沌系統(tǒng)的同步類型有完全同步、投影同步、反同步[4,5]及相同步[6]等,混沌同步方法有自適應(yīng)同步法[7]、反饋同步法[8]、基于狀態(tài)觀測器廣義投影同步法[9]和脈沖同步法[10]。
筆者針對超混沌liu系統(tǒng),采用基于狀態(tài)觀測器法和反饋法設(shè)計合適的觀測器和控制器,從理論分析和數(shù)值計算兩個角度出發(fā),研究超混沌系統(tǒng)在不同初始值條件下的反同步問題。同時,通過同步曲線和誤差曲線,比較兩種方法的不同之處。
超混沌系統(tǒng)具有兩個正的李雅普諾夫指數(shù),與三維混沌系統(tǒng)相比具有更加復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),所以其動力學(xué)性質(zhì)也更為復(fù)雜。筆者選取一個超混沌liu系統(tǒng)[11],其系統(tǒng)方程為:
(1)
其中,a=35,b=35,m=2,c=2,d=10。
首先,采用基于狀態(tài)觀測器的方法來實現(xiàn)liu系統(tǒng)自身的反同步。把系統(tǒng)(1)作為驅(qū)動系統(tǒng)并化為f(x)=Ax+Bg(x)+G的形式。驅(qū)動系統(tǒng)為:
(2)
其中,A、B、G、D為定常矩陣:
G=0
根據(jù)狀態(tài)觀測器理論,響應(yīng)系統(tǒng)可表示為:
(3)
響應(yīng)系統(tǒng)中的α為投影同步中的比例系數(shù),為了使A-BD的特征值為負(fù)實部,取特征值為(-0.5,-1,-1.5,-2),運(yùn)用極點配置法得到矩陣D:
此時的響應(yīng)系統(tǒng)為:
(4)
所謂反同步就是指混沌系統(tǒng)運(yùn)動軌道的振幅大小相等、方向相反。因此,令比例系數(shù)α=-1,系統(tǒng)(1)的初始值為(2,20,35,-2),系統(tǒng)(3)的初始值為(12,30,50,40),利用Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真得到結(jié)果,此時驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)實現(xiàn)了反同步,其系統(tǒng)的反同步曲線和反同步誤差如圖1、2所示。由圖2可知,系統(tǒng)的誤差e1、e2、e3、e4隨著時間的增加逐漸趨于零點,也就是驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到了反同步。
圖1 驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)中的各狀態(tài)變量的反同步曲線
圖2 驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)的反同步誤差曲線
同樣選取系統(tǒng)(1)作為驅(qū)動系統(tǒng),那么,其同結(jié)構(gòu)加了控制器后的響應(yīng)系統(tǒng)為:
(5)
其實U=(u1,u2,u3,u4)T即將要設(shè)計的控制器。
將系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(5)相加,得到誤差動態(tài)系統(tǒng)為:
(6)
其中e1=x1+x2,e2=y1+y2,e3=z1+z2,e4=w1+w2,設(shè)計合適的控制器U=(u1,u2,u3,u4)T,將驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(5)實現(xiàn)反同步。
以非線性控制理論為依據(jù),設(shè)計控制器U為:
(7)
由式(6)、(7)可將誤差系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為如下形式:
(8)
取李雅普諾夫函數(shù)為:
(9)
對式(9)取導(dǎo)數(shù)為:
=e1[a(e2-e1)+μ1]+e2(be1-me4+μ2)+
e3(-ce3+μ3)+e4(de2+μ4)
(10)
則可得:
令驅(qū)動系統(tǒng)(1)的初始值為(2,20,35,-2),響應(yīng)系統(tǒng)(5)的初始值為(12,30,50,40),運(yùn)用四階Runge-Kutta法在Matlab中進(jìn)行數(shù)值仿真,從而得到系統(tǒng)的反同步曲線和反同步誤差曲線如圖3、4所示。
由圖2可知,當(dāng)t=12.8s時,基于狀態(tài)觀測器法得到的同步誤差曲線趨于零點。由圖4可知,當(dāng)t=3.0s時,反饋法得到的誤差曲線趨于零點,由此可知,對于一般系統(tǒng)而言,采用反饋法來實現(xiàn)系統(tǒng)的同步,雖然控制器設(shè)計復(fù)雜,但是同步速度較快。
根據(jù)狀態(tài)觀測器理論和李雅普諾夫定理,采用基于狀態(tài)觀測器法和反饋法分別設(shè)計了觀測器和控制器,對liu系統(tǒng)的反同步進(jìn)行了理論論證,同時,利用Matlab對該系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬得到了系統(tǒng)的反同步曲線和反同步誤差曲線,驗證了兩種方法的可行性和有效性。基于狀態(tài)觀測器的方法具有算法簡單、計算量小的優(yōu)點,與其相比,通過反饋法實現(xiàn)的系統(tǒng)同步,雖然控制器的設(shè)計較為復(fù)雜,但其同步速度相對較快,更適用于保密通信。
圖3 驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)中的各狀態(tài)變量的反同步曲線
圖4 系統(tǒng)的反同步誤差曲線
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