李賢麗 張超穎 竇雪瑩

(東北石油大學(xué)，黑龍江 大慶 163318)

混沌運(yùn)動是發(fā)生在確定的非線性系統(tǒng)中的一種隨機(jī)行為，其對初始條件高度敏感，具有復(fù)雜的動力學(xué)性質(zhì)，且難以預(yù)測，目前廣泛地應(yīng)用于物理學(xué)、地質(zhì)學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)及保密通信[1]等工程領(lǐng)域中。混沌在發(fā)現(xiàn)之初是用來解釋某些自然和物理現(xiàn)象的，如蝴蝶效應(yīng)及天氣預(yù)報等。近年來，人們開始控制和應(yīng)用混沌，混沌控制的主要方法有線性反饋法[2]、周期擾動與激勵控制[3]、參數(shù)擾動法?；诨煦缈刂频姆椒?，在一定條件下，構(gòu)造出四維自治超混沌系統(tǒng)，超混沌系統(tǒng)與混沌系統(tǒng)相比具有更為復(fù)雜的動力學(xué)行為，它具有兩個或兩個以上正的李雅普諾夫指數(shù)，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，動態(tài)行為更加難以預(yù)測，更難被破解。將超混沌同步技術(shù)應(yīng)用于保密通信系統(tǒng)時，有著更強(qiáng)的保密性能。混沌信號應(yīng)用于保密通信是要把有用信號隱藏在混沌信號里，再在接收端提取出有用信號，可以直接利用混沌通信，也可以利用混沌同步實現(xiàn)通信，所以對超混沌同步方法的研究也極為重要?；煦缤绞腔煦缈刂频囊环N特殊形式，混沌系統(tǒng)的同步類型有完全同步、投影同步、反同步[4,5]及相同步[6]等，混沌同步方法有自適應(yīng)同步法[7]、反饋同步法[8]、基于狀態(tài)觀測器廣義投影同步法[9]和脈沖同步法[10]。

筆者針對超混沌liu系統(tǒng)，采用基于狀態(tài)觀測器法和反饋法設(shè)計合適的觀測器和控制器，從理論分析和數(shù)值計算兩個角度出發(fā)，研究超混沌系統(tǒng)在不同初始值條件下的反同步問題。同時，通過同步曲線和誤差曲線，比較兩種方法的不同之處。

1 基于狀態(tài)觀測器法實現(xiàn)反同步①

超混沌系統(tǒng)具有兩個正的李雅普諾夫指數(shù)，與三維混沌系統(tǒng)相比具有更加復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，所以其動力學(xué)性質(zhì)也更為復(fù)雜。筆者選取一個超混沌liu系統(tǒng)[11]，其系統(tǒng)方程為：

(1)

其中，a=35，b=35，m=2，c=2，d=10。

首先，采用基于狀態(tài)觀測器的方法來實現(xiàn)liu系統(tǒng)自身的反同步。把系統(tǒng)(1)作為驅(qū)動系統(tǒng)并化為f(x)=Ax+Bg(x)+G的形式。驅(qū)動系統(tǒng)為：

(2)

其中，A、B、G、D為定常矩陣：

G=0

根據(jù)狀態(tài)觀測器理論，響應(yīng)系統(tǒng)可表示為：

(3)

響應(yīng)系統(tǒng)中的α為投影同步中的比例系數(shù)，為了使A-BD的特征值為負(fù)實部，取特征值為(-0.5，-1，-1.5，-2)，運(yùn)用極點配置法得到矩陣D：

此時的響應(yīng)系統(tǒng)為：

(4)

所謂反同步就是指混沌系統(tǒng)運(yùn)動軌道的振幅大小相等、方向相反。因此，令比例系數(shù)α=-1，系統(tǒng)(1)的初始值為(2，20，35，-2)，系統(tǒng)(3)的初始值為(12，30，50，40)，利用Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真得到結(jié)果，此時驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)實現(xiàn)了反同步，其系統(tǒng)的反同步曲線和反同步誤差如圖1、2所示。由圖2可知，系統(tǒng)的誤差e1、e2、e3、e4隨著時間的增加逐漸趨于零點，也就是驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到了反同步。

圖1 驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)中的各狀態(tài)變量的反同步曲線

圖2 驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)的反同步誤差曲線

2 反饋法實現(xiàn)反同步

同樣選取系統(tǒng)(1)作為驅(qū)動系統(tǒng)，那么，其同結(jié)構(gòu)加了控制器后的響應(yīng)系統(tǒng)為：

(5)

其實U=(u1,u2,u3,u4)T即將要設(shè)計的控制器。

將系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(5)相加，得到誤差動態(tài)系統(tǒng)為：

(6)

其中e1=x1+x2，e2=y1+y2，e3=z1+z2，e4=w1+w2，設(shè)計合適的控制器U=(u1,u2,u3,u4)T，將驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(5)實現(xiàn)反同步。

以非線性控制理論為依據(jù)，設(shè)計控制器U為：

(7)

由式(6)、(7)可將誤差系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為如下形式：

(8)

取李雅普諾夫函數(shù)為：

(9)

對式(9)取導(dǎo)數(shù)為：

=e1[a(e2-e1)+μ1]+e2(be1-me4+μ2)+

e3(-ce3+μ3)+e4(de2+μ4)

(10)

則可得：

令驅(qū)動系統(tǒng)(1)的初始值為(2，20，35，-2)，響應(yīng)系統(tǒng)(5)的初始值為(12，30，50，40)，運(yùn)用四階Runge-Kutta法在Matlab中進(jìn)行數(shù)值仿真，從而得到系統(tǒng)的反同步曲線和反同步誤差曲線如圖3、4所示。

由圖2可知，當(dāng)t=12.8s時，基于狀態(tài)觀測器法得到的同步誤差曲線趨于零點。由圖4可知，當(dāng)t=3.0s時，反饋法得到的誤差曲線趨于零點，由此可知，對于一般系統(tǒng)而言，采用反饋法來實現(xiàn)系統(tǒng)的同步，雖然控制器設(shè)計復(fù)雜，但是同步速度較快。

3 結(jié)束語

根據(jù)狀態(tài)觀測器理論和李雅普諾夫定理，采用基于狀態(tài)觀測器法和反饋法分別設(shè)計了觀測器和控制器，對liu系統(tǒng)的反同步進(jìn)行了理論論證，同時，利用Matlab對該系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬得到了系統(tǒng)的反同步曲線和反同步誤差曲線，驗證了兩種方法的可行性和有效性。基于狀態(tài)觀測器的方法具有算法簡單、計算量小的優(yōu)點，與其相比，通過反饋法實現(xiàn)的系統(tǒng)同步，雖然控制器的設(shè)計較為復(fù)雜，但其同步速度相對較快，更適用于保密通信。

圖3 驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)中的各狀態(tài)變量的反同步曲線

圖4 系統(tǒng)的反同步誤差曲線

[1] 李瑞紅,陳為勝,李爽.超混沌Lorenz系統(tǒng)的投影同步及其在保密通信中的應(yīng)用[J].電路與系統(tǒng)學(xué)報,2011,16(2):41～45.

[2] 李賢麗,王升,張秀龍,等.四翼混沌吸引子系統(tǒng)控制[J].大慶石油學(xué)院學(xué)報,2011,35(4):117～122，14.

[3] 李賢麗,張笑宇,王升，等.Lorenz超混沌系統(tǒng)的周期擾動與激勵控制[J].大慶石油學(xué)院學(xué)報,2010,34(4):105～109，131.

[4] Chen J Y,Wong K W,Cheng L M,et al. A Secure Communication Scheme Based on the Phase Synchronization of Chaotic Systems[J].CHAOS,2003,13(2):508～514.

[5] 王興元.混沌系統(tǒng)的同步及在保密通信中的應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社,2012.

[6] Tam W M,Lau F C M,Tse C K.Analysis of Bit Error rates for Multiple Access CSK and DCSK Communication Systems[J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems I:Fundamental Theory and Applications,2003,50(5):702～707.

[7] 單梁,劉光杰,李軍,等.Liu混沌系統(tǒng)的線性反饋和狀態(tài)觀測器同步[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報,2007,19(6):1335～1338.

[8] Hu M F,Xu Z Y,Zhang R,et al.Adaptive Full State Hybrid Projective Synchronization of Chaotic Systems with the Same and Different Order[J].Physics Letters A, 2007,365(4):315～327.

[9] Zhang G, Liu Z R,Ma Z J.Generalized Synchronization of Different Dimensional Chaotic Dynamical Systems[J].Chaos,Solitons and Fractals,2007,32(2):773～779.

[10] 馬鐵東,江偉波,浮潔.基于比較系統(tǒng)方法的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)脈沖同步控制[J].物理學(xué)報,2012,61(9)：39～44.

[11] 高智中,王穎.一個新超混沌系統(tǒng)及其線性反饋控制[J].數(shù)值計算與計算機(jī)應(yīng)用,2012,33(3):167～172.