張 豹，姚宜斌，2，3，許超鈐

1.武漢大學測繪學院，湖北武漢430079；2.武漢大學地球空間環(huán)境與大地測量教育部重點實驗室，湖北 武漢430079；3.地球空間信息技術協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北 武漢430079

1 引 言

水汽是地球大氣中一種非?；钴S多變的組分，它的含量雖然不多，但在一系列時空尺度的大氣過程中發(fā)揮著關鍵作用。水汽的分布與流動直接與降水、旱澇災害等密切相關；水汽的平流和大氣環(huán)流所帶來的潛熱是地球南北半球能量平衡的關鍵因素［1］；水汽也是地球大氣中最豐富的溫室氣體，大氣中水汽含量的變化對于氣候變化有著重要影響［2］。另外，水汽也是能量傳播的介質(zhì)，能夠吸收、折射多波段的電磁波［3］，會對衛(wèi)星導航定位［4］和SAR 成像產(chǎn)生重要影響［5］。

水汽主要集中在低大氣層，對流層中的水汽約占總水汽含量的99%，高度在2km以下的水汽約占總水汽含量的一半左右［7］。水汽在大氣中的含量較少（0～4%），卻是大氣中最活躍多變的成分，也是最難以描述的氣象參數(shù)之一［8］。水汽標高是反映對流層水汽垂直分布特征的一個重要參量，其物理意義是在假定水汽密度在垂直方向遵循指數(shù)分布的前提下，水汽密度（水汽壓、比濕）減少為原值的36.7%（1/e）時所需要的高度增量［9－10］。在此定義下，水汽標高亦即指數(shù)函數(shù)隨高度的遞減系數(shù)（見式（1）），當水汽標高已知時，水汽的垂直分布也就知道了，因此水汽標高是反映水汽垂直分布的一個重要參量。文獻［9，11］分別于1977年和1981年利用探空數(shù)據(jù)統(tǒng)計了意大利Po Valley地區(qū)水汽標高的變化信息，指出該地區(qū)水汽標高的變化介于1.68～1.92km之間，并且有冬季大、夏季小的特征。文獻［12］利用新疆地區(qū)12個探空站10a的氣象資料，得到該地區(qū)的平均水汽標高為2.17km。文獻［7］利用微波輻射計4a中晴天的觀測數(shù)據(jù)分析了合肥地區(qū)標高的季節(jié)變化和日變化特征［7］。

在筆者之前的工作中，為了準確地對全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)信號穿越對流層時的天頂濕延遲（zenith wet delay，ZWD）進行高程改正，在假定ZWD在垂直方向遵循指數(shù)變化的情況下，需要將水汽標高的倒數(shù)作為高程改正系數(shù)［13］。在對流層層析模型的垂直約束構(gòu)建中，也需要水汽標高來表征和約束濕折射率（水汽密度）的垂直分布［14－16］。為了解決上述問題中對水汽標高的需要，本文首先對水汽標高的時間序列進行了頻譜分析，然后根據(jù)水汽標高的時間特性構(gòu)建了適合表達水汽標高的數(shù)學模型。為了顧及水汽標高的地理差異，在全球范圍內(nèi)以1°×1°的分辨率擬合了模型系數(shù)，最終構(gòu)建了一個全球適用的水汽標高經(jīng)驗模型，并對模型進行了檢驗。該模型所給出的值實質(zhì)上是水汽密度（或濕折射率亦或天頂濕延遲）在天頂方向遵循指數(shù)分布規(guī)律假定時的垂直遞減率（式（1）中的H），反映了水汽的垂直分布情況，這對于氣象學研究是有重要意義的。同時，該模型也可用于構(gòu)建層析濕折射率時的垂直約束和天頂對流層濕延遲的高程改正。

2 水汽標高的計算

水汽密度的垂直分布可用指數(shù)函數(shù)表示為［9－11］

式中，ρz是相對地表z高度處的水汽密度；ρ0是地表水汽密度；H為水汽標高。類似的，GNSS信號的天頂濕延遲以及無線電信號的濕折射率也可以用式（1）的形式進行表達，僅需將式中的水汽密度換為天頂濕延遲或濕折射率。為了說明水汽標高誤差對天頂濕延遲改正的影響，將式（1）對水汽標高求偏導，并將水汽密度換作天頂濕延遲，可得

式中，ZWD0為地表的天頂濕延遲；Z0為相對地表的高度；H0為水汽標高的近似值。假設ZWD0為200mm、Z0為0.5km、H0為2km，則按照式（2），1km的水汽標高誤差可引起19.5mm的ZWD估計誤差，而且這些數(shù)值假設還是相對保守的，所以水汽標高的精度對于一些模型的天頂濕延遲的高程改正具有重要作用。根據(jù)文獻［7］中的表述，水汽標高H可如下計算

式中，H是水汽標高，單位是km；W是指貫穿整層大氣層的單位面積的垂直柱體中的水汽總量，單位為g/cm2；ρ0的單位是g/m3。ρ0可以通過以下公式計算

式中，e為地面水汽壓（Pa）；T為混合氣體的絕對溫度（K）；Rv＝0.461 5J/（k·g），為水汽比的氣體常數(shù)［17］。

ECMWF可以在全球范圍內(nèi)以不高于0.125°×0.125°的分辨率提供多種氣象參數(shù)，其中包括大氣可降水量、露點溫度和溫度，這些數(shù)據(jù)可供我們計算地表水汽密度和水汽標高。文獻［18—19］提供了精確的飽和水汽壓計算公式，將露點溫度帶入Wexler公式即可得到水汽壓。將ECMWF的大氣可降水量化為以g/cm2為單位，露點溫度換算為以Pa為單位的水汽壓，就可以根據(jù)式（4）和式（3）計算水汽標高。

3 水汽標高的時間特性及GSH模型構(gòu)建

為了研究水汽標高的時間特性，利用第2節(jié)中的方法計算了全球1°×1°格網(wǎng)點上共計64 442個點上從2006年至2012年共計7年的水汽標高，并利用傅里葉變換的方法對水汽標高進行了頻譜分析。圖1顯示了部分點上的水汽標高時間序列以及傅里葉變換后得到的功率－周期圖。圖1中綠色的點為圖中對應位置上2006—2012年根據(jù)ECMWF數(shù)據(jù)計算的水汽標高，紅色的線是對計算的水汽標高進行的函數(shù)擬合。

由圖1可以看出水汽標高整體都呈現(xiàn)出一定的周期特性，以年周期和半年周期最為強烈。但不同地點又呈現(xiàn)出不同的周期特性，有的地區(qū)年周期特性顯著，而半年周期特性很弱，而另外一些地方半年周期與年周期同樣顯著，甚至超越了年周期。為了同時兼顧水汽標高的年周期和半年周期特性，利用式（5）的三角函數(shù)來表達水汽標高的時間變化

式中，H為水汽標高；doy為年積日；a0、a1、a2、a3、a4為模型系數(shù)。需要說明的是，雖然在一些地區(qū)水汽標高只有微弱的半年周期特性甚至沒有，但式（5）依然能夠描述該地區(qū)的水汽標高，這是因為當水汽標高的半年周期特性很弱時，利用實測數(shù)據(jù)擬合式（5）時，系數(shù)a3和a4就會變得很小，甚至為0，此時式（5）自動退化為僅包含年周期特性的三角函數(shù)。該方法也常見于其他氣象參數(shù)的建模，如全球氣壓溫度模型GPT2［20］、加權平均溫度模型［21］、對流層延遲改正模型［22－23］等。將同一地點上多年的水汽標高觀測值和對應的時間帶入式（5），就可以將式（5）轉(zhuǎn)換成以水汽標高為觀測值，a0、a1、a2、a3、a4為未知數(shù)的線性方程，進而利用最小二乘法就可以解算得到a0、a1、a2、a3、a4。由于水汽變化較快，并且存在地理差異（這點可以從圖1中不同地點的水汽標高對比看出），因此式（5）需要針對特定的地點來擬合模型系數(shù)。為了在全球范圍內(nèi)構(gòu)建水汽標高模型，利用ECMWF提供的2006—2012年的大氣可降水量、露點溫度和溫度數(shù)據(jù)在1°×1°的格網(wǎng)點上分別擬合了式（5）的系數(shù)a0、a1、a2、a3、a4，進而建立了根據(jù)年積日計算水汽標高的全球水汽標高模型GSH。GSH模型以格網(wǎng)形式提供了全球1°分辨率的a0、a1、a2、a3、a4。在使用模型時需輸入測站經(jīng)緯度和觀測的年積日，模型首先根據(jù)經(jīng)緯度找出與測站最鄰近的4個格網(wǎng)點，并根據(jù)這4個格網(wǎng)點上的a0、a1、a2、a3、a4計算得到4個水汽標高值，然后利用雙線性內(nèi)插得到測站位置處的水汽標高。

4 GSH模型的檢驗

由于目前并沒有全球適用的水汽標高模型，因此本文無法進行對比檢驗，只能利用2010年的無線電探空數(shù)據(jù)和2013年的ECMWF數(shù)據(jù)對GSH模型檢驗進行外符合檢驗。文中以無線電探空數(shù)據(jù)和ECMWF數(shù)據(jù)為參考值，首先在每一個探空站或每一個ECMWF格網(wǎng)點根據(jù)式（3）計算出水汽標高的值，這里稱作觀測值；然后利用GSH模型計算出測站或格網(wǎng)點對應位置對應時刻的模型值；最后利用模型值減去觀測值得到二者的差值，計算每個站點或格網(wǎng)點上所有差值的偏差和均方根誤差。將偏差和均方根誤差作為評價模型精度和穩(wěn)定性的指標，對模型的精度和穩(wěn)定性進行分析討論。

首先利用全球均勻分布的320個無線電探空站2010年全年的探空數(shù)據(jù)對GSH模型進行檢驗，探空高度小于15km的數(shù)據(jù)被刪除，統(tǒng)計了模型在每個探空站的偏差和均方根誤差。結(jié)果顯示GSH模型具有－0.19km的偏差和1.81km的均方根誤差。圖2顯示了探空站的分布以及GSH模型在各個站上的偏差和均方根誤差。

圖1 部分地點2006—2012年水汽標高的時間序列及功率—周期圖Fig.1 Plots of time series of water vapor scale height and power versus period at some places during 2006to 2012

圖2 全球320個無線電探空站的分布及GSH模型在各個站上的偏差和均方根誤差Fig.2 Global distribution of the 320radiosonde stations and bias and RMSE of the GSH model at these stations

由圖2可以看出GSH模型的精度分布呈現(xiàn)出局部集中，整體雜亂的特點，這主要是因為水汽變化很快，而水汽標高的變化更快，因此只有水汽變化特征比較接近的局部區(qū)域才能獲得比較接近的精度。為了說明這一點，將式（3）和式（4）合并得到

以ECMWF 2012年的月平均數(shù)據(jù)計算得到的全球平均大氣可降水量為1.8g/cm2，平均地表溫度為279K，平均水汽壓為1200Pa，平均水汽標高為2.04km。對式（6）進行全微分，根據(jù)誤差傳播率，很容易發(fā)現(xiàn)水汽標高受溫度影響很?。词拐`差10K，對H的影響也不超過0.1km），因此這里直接把溫度固定為279K。不考慮溫度變化將式（6）全微分可得

式中，e0和W0為水汽壓和大氣可降水量的近似值。由于地球附近的水汽壓變化很大，即使同一地點在不同時間也可以從幾十帕變化到幾千帕，故式（7）中第1項的影響明顯要比第2項的大。當水汽壓過小時，式（7）中第1項的系數(shù)就會很大，dH會變得對dW非常敏感。此時若水汽壓為400Pa，1g/cm2的大氣可降水量誤差就可以引起超過3km的水汽標高誤差。因此水汽標高計算公式本身的精度受大氣可降水量精度影響很大，水汽標高計算值本身就難以確保穩(wěn)定的精度，進而導致GSH模型的精度也存在變化較大的現(xiàn)象。

隨后，利用ECMWF 2013年全年的大氣可降水量數(shù)據(jù)、地表露點溫度數(shù)據(jù)和地表溫度數(shù)據(jù)計算了全球1°×1°格網(wǎng)點上的水汽標高，并將2013年的水汽標高作為參考值對GSH模型進行檢驗。圖3給出了模型值相對參考值的精度分布信息。

圖3 利用2013年的ECMWF數(shù)據(jù)對GSH模型檢驗的精度分布信息Fig.3 Accuracy of the GSH model with respect to the ECMWF data in 2013

實際上，圖3并沒有包含全部的64 442個點，有285個點的精度信息并沒有顯示。因為在這285個點上GSH模型計算的水汽標高值超過20km，通常水汽一般分布在15km以下的高度，20km以上基本可以認為沒有水汽，因此水汽標高出現(xiàn)在20km以上本身就是不合理的。如前面所述，水汽標高對于大氣可降水量非常敏感，大氣可降水量的誤差會被放大數(shù)倍甚至數(shù)十倍后引入水汽標高。再者，式（3）和式（4）是在假定水汽密度隨高度呈指數(shù)遞減的前提下推導出來，而實際中水汽密度并非嚴格遵循上述規(guī)律，式（1）僅是種近似表達。因此，計算公式的不嚴謹、測量本身難以避免的誤差以及水汽標高對自變量的高度敏感性導致了水汽標高難以有很準確的計算值，而利用經(jīng)驗模型來擬合上述計算值必然也不會很完美，因此GSH模型在部分地區(qū)出現(xiàn)了超出實際情況的值。就圖3的整體情況來看，GSH模型基本在全球大部分地區(qū)取得了比較穩(wěn)定的精度，除了南極地區(qū)、俄羅斯東北部等小部分地區(qū)，統(tǒng)計結(jié)果也顯示GSH模型在全球范圍內(nèi)具有0.04km的平均偏差和1.52km的均方根誤差。

圖2和圖3顯示了GSH模型精度的地理分布，但從圖1可以看出水汽標高的季節(jié)性變化很大，因此有必要對GSH模型精度的季節(jié)性變化進行檢驗。這里利用2013年全年的ECMWF1°×1°的數(shù)據(jù)對GSH模型進行季節(jié)性檢驗。由于南北半球季節(jié)相反，在南半球和北半球分別進行檢驗，統(tǒng)計了GSH模型在每個月的偏差和均方根誤差，結(jié)果如圖4所示。

圖4 利用2013年的ECMWF數(shù)據(jù)對GSH模型進行的季節(jié)性檢驗Fig.4 Seasonal test results of GSH model with respect to the ECMWF data in 2013

從圖4可以看出，GSH模型的偏差和均方根誤差在南半球要略大于北半球。在2013年的12個月份中，偏差的絕對值都不超過0.6km，均方根誤差的量值都不超過3km。在北半球GSH模型的均方根誤差在5—9月份很小，這是因為在這些月份中，北半球處于一年中溫度最高的季節(jié)，由于地表水分蒸發(fā)強烈，在低大氣層集中了大量的水汽，按照水汽標高的定義，此時的水汽標高將會下移，該現(xiàn)象可以從圖1的第一幅圖顯著看出。水汽標高的量值減少有利于模型獲得較小的絕對誤差，因此GSH模型在北半球的5—9月份出現(xiàn)了最小均方根誤差。在北半球的冬春季節(jié)，由于蒸發(fā)效應減少，大氣中的水汽變得稀疏，水汽標高將會上移，水汽標高的量值變大使得模型容易產(chǎn)生了較大的均方根誤差。在南半球，GSH模型的精度在5—9月份產(chǎn)生了最大誤差，在年初和年終出現(xiàn)了最小誤差，與北半球的情況相反，這主要是南北半球季節(jié)相反導致的，在南半球年中時水汽標高的量值最大，而年初和年終時水汽標高很小，而水汽標高量值越大是容易引發(fā)較大的絕對誤差的。

5 結(jié) 論

水汽標高是一個反映水汽垂直分布特征的參數(shù)，也是GNSS天頂濕延遲高程改正、GNSS水汽層析中的一個輔助參數(shù)。本文在水汽時間序列呈現(xiàn)出年周期和半年周期特性的基礎上，利用余弦函數(shù)來表達水汽標高的時變規(guī)律，進而構(gòu)建了以經(jīng)緯度和年積日為參數(shù)的GSH模型。經(jīng)無線電探空數(shù)據(jù)和ECMWF數(shù)據(jù)的檢驗，GSH模型整體表現(xiàn)比較穩(wěn)定，相對于無線電探空數(shù)據(jù)，GSH模型具有－0.19km的偏差和1.81km的均方根誤差；相對于ECMWF數(shù)據(jù)，GSH 模型具有0.04km的偏差和1.52km的均方根誤差。

由于式（1）不能嚴格表達水汽的實際變化特征，進而得到的水汽標高計算公式不精確以及水汽標高對大氣可降水量的高度敏感性和氣象元素測量誤差的存在，水汽標高的計算本身容易產(chǎn)生誤差，進而導致構(gòu)建的模型也會存在一定的誤差，這是GSH模型在小部分地區(qū)出現(xiàn)異常情況的根本原因。

本文首次構(gòu)建了一個全球水汽標高模型，出發(fā)點是為GNSS對流層天頂濕延遲改正以及GNSS水汽層析服務，但它本身也可為氣象應用研究提供了水汽標高的參考值，相對于全球使用一個相同的水汽標高（～2km）更具參考價值。

致謝：感謝ECMWF提供的氣象數(shù)據(jù)以及IGRA提供的無線電探空數(shù)據(jù)。

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