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      C*代數(shù)的離散交叉積

      2015-01-18 09:25:26陳本菊向玉玲
      宜賓學(xué)院學(xué)報 2015年12期
      關(guān)鍵詞:可數(shù)希爾伯特同構(gòu)

      陳本菊,向玉玲,嚴(yán) 倩

      (重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,重慶401331)

      C*代數(shù)的離散交叉積

      陳本菊,向玉玲,嚴(yán) 倩

      (重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,重慶401331)

      離散群G與C*代數(shù)A的交叉積A×αG構(gòu)成一個新的C*代數(shù),兩個離散群G與H構(gòu)造的半直積G×H仍然構(gòu)成一個群.交叉積(A×αG)×H與交叉積A×α(G×H)是同構(gòu)的,因此在一定的條件下C*代數(shù)與離散群的交叉積滿足結(jié)合律.

      離散群;C*代數(shù);交叉積;結(jié)合律

      C*代數(shù)主要是應(yīng)用在量子力學(xué)中可觀察量的模型代數(shù)中.這方面的研究始于維爾納·海森堡創(chuàng)立的矩陣力學(xué).二十世紀(jì)三四十年代Murray和VonNeumann開始算子代數(shù)的基礎(chǔ)性研究,建立了馮諾依曼代數(shù)的系統(tǒng)理論,他們關(guān)于中心單代數(shù)研究的主要結(jié)果之一就是引入交叉積的概念.隨后Nakamura開始著重分析研究算子代數(shù)的交叉積,特別是描述和構(gòu)造II1型因子的交叉積.二十世紀(jì)五十年代中期,Turumaru明確地給出了C*代數(shù)交叉積的概念[1].之后,Nakamura和Takeda緊接著對II1型因子的交叉積進(jìn)行了一系列的研究[2-3].同時Suzuki研究了算子環(huán)的交叉積[4].數(shù)學(xué)物理學(xué)家Doplicher,Kas?tler和Robinson為描述一個物理系中的對稱性和時間演變過程,引入了共變代數(shù)的概念,從而開啟了對C*代數(shù)在連續(xù)群作用下所生成的交叉積的研究[5].交叉積理論不僅可用于算子代數(shù),也可用于非交換幾何和物理學(xué).

      G×H在如下定義的乘法運(yùn)算下形成一個群:

      其中g(shù),g′∈G,h,h′∈H.稱(G×H,°)為群G和H在作用σ下的半直積,并記為G×H.在不引起混淆的情況下,簡記(g,h)°(g ′,h′)為(g,h)(g ′,h′).在半直積G×H中單位元是(e,e),(g,h)的逆為:

      設(shè)G是一個可數(shù)離散群,則G上的所有平方可和復(fù)值函數(shù)

      1 準(zhǔn)備知識

      希爾伯特空間.對于任意h∈G,ξ∈l2(G),等式(λhξ)(g)=ξ(h-1g )定義了作用在l2(G)上的酉算子λh.此時,h→λh是群G的酉表示,稱為群G的左正則表示.稱所有算子λg,g∈G生成的C*代數(shù)為群

      設(shè)G和H是有單位元e的可數(shù)離散群,σ是從H到G的自同構(gòu)群Aut(G)內(nèi)的同態(tài)映射.集合G的群C*代數(shù).

      設(shè)A是作用在Hilbert空間H上的C*代數(shù),α是群G在A上的作用.記定義在G上取值在H中的所有平方可和函數(shù)的集合

      為l2(G,H),那么l2(G,H)在如下定義的內(nèi)積:

      下也形成一個希爾伯特空間.

      定義1對于任意的A∈A,定義l2(G,H)上的算子π(A)如下:

      (π(A)ξ)(g)=αg-1(A)ξ(g),g∈G,ξ∈l2(G ,H) π是A在希爾伯特空間l2(G,H)上的一個忠實的正規(guī)*-表示[6].

      引理1l2(G,H)等距同構(gòu)于H?l2(G)[7].

      定義2對任意的g∈G,定義l2(G,H)上的有界線性算子λ(g)為:λ(g)=I?λg.

      定義3稱l2(G,H)上由π(A)和λ(G)生成的C*代數(shù)為A通過α的交叉積,記作A×αG.

      2 主要結(jié)果

      抽象交叉積與酉實現(xiàn)的交叉積是同構(gòu)的,因此只考慮酉實現(xiàn)的交叉積.G×H是有單位元e的可數(shù)離散群G和H的半直積,A是作用在希爾伯特空間H上的C*代數(shù),α是群G×H在A上的作用.對任意h∈H,義l2(G)上的線性算子Uh為

      σ是從H到G的自同構(gòu)群Aut(G)內(nèi)的同態(tài)映射,通過計算可以知道Uh為l2(G)上的酉算子,并且Uh1Uh2=Uh1h2,Uh-1=Uh-1,Ue=I.因此h→Uh是群H 在 l2(G)上的酉表示.類似地,在C*代數(shù)A?B(l2(G))上 ,對 于 任 意 h∈H ,定 義βh=α(e,h)?AdUh,其 中 AdUh(A)=UhAUh*. β∶h→βh是群H在A?B(l2(G))上的作用.

      記A在希爾伯特空間H?l2(G)上的正規(guī)忠實表示為π1,C*代數(shù)N=A×αG和A在希爾伯特空間H?l2(G )?l2(H )(= l2(G ×H,H) )上的正規(guī)忠實表示分別為π2和π.設(shè)ξ∈l2(G,H),則(U ξ)(g,h)= ξ(σh(g),h),g∈G,h∈H定義了作用在希爾伯特空間l2(G,H)上的有界線性算子U.通過計算有(U*ξ)(g ,h)=ξ(σh-1(g),h).從而有U*U=UU*=I,因此U是一個酉算子.此時π1,π2和π之間有以下關(guān)系.

      定理1對于任意算子A∈A,有(I?U)π(A)(I ?U*)=π2(π1(A)).

      證明:對任意向量ξ∈H?l2(G,H),(g,h)∈G×H有

      定理2C*代數(shù)A在可數(shù)離散群G和H的半直積G×H的作用下生成的離散交叉積A×α(G×H)與交叉積(A×αG)×H是*同構(gòu)的.

      證明:由交叉積的定義

      對任意元素 g0∈G,h0∈H,ξ∈l2(G×H),(g,h)∈G×H,有

      對任意c有

      由定理1有

      即A×α(G×H)與(A×αG)×H是酉等價的,也是*同構(gòu)的.

      例1:設(shè)群G=Z2,群H=Z3,A是作用在Hilbert空間H上的C*代數(shù).則有 A×α(G×H)?(A×αG)×H.

      證明:A在H?l2(G)上的正規(guī)忠實表示為π1,N=A×αG和A在Hilbert空間H?l2(G)?l2(H)上的正規(guī)忠實表示分別為π2和π.則由題設(shè)可知:

      所以有:

      在(A×αG)×H中稠密;

      在A×α(G×H)中稠密.

      因此,A×α(G×H)與(A×αG)×H是*同構(gòu)的.

      [1]TURUMARUT.Crossedproductofoperatoralgebras[J].Tohoku Math,1958,10(3):355-365.doi:10.2748/tmj/1178244669.

      [2]NAKAMURAM,TAKEDAZ.Onsomeelementarypropertiesof thecrossedproductsofvonNeumannalgebras[J].ProcJapanAcad, 1958,34(8):489-494.doi:10.3792/pja/1195524559.

      [3]NAKAMURAM,TAKEDAZ.AGaloistheoryforfinitefactors[J]. ProcJapanAcad,1960,36(5):258-260.doi:10.3792/pja/ 1195524026.

      [4]SUZUKIN.Crossedproductofringsofoperator[J].TohokaMath, 1959,11(1):113-124.doi:10.2748/tmj/1178244632.

      [5]DOPLICHERS,KASTLERD,ROBINSOND.Covarianealgebras infieldtheoryandstatisticalmechanics[J].CommMathPhys,1966, 3(1):1-28.

      [6]楊芳.關(guān)于離散群的半直積與VonNeumann代數(shù)的交叉積[J].宜賓學(xué)院學(xué)報,2006(12):13-14.

      [7]吳文明,袁巍.馮·諾依曼代數(shù)交叉積的一點注記[J].數(shù)學(xué)學(xué)報, 2008,51(4):803-808.

      【編校:許潔】

      DiscreteCrossedProductofC*-Algebras

      CHENBenju,XIANGYuling,YANQian
      (CollegeofMathematicsSciences,ChongqingNormalUniversity,Chongqing401331,China)

      Crossedproduct(A×αG)×HisstructuredbyA×αGandH,andcrossedproductA×α(G×H)isstructured byC*-algebrasAandsemi-directgroupsG×H.Itshowsthat(A×αG)×HandA×α(G×H)isisomorphic,andthey satisfytheassociativelow.

      discretegroups;C*-algebra;crossedproduct;associativelaw

      O177.5

      A

      1671-5365(2015)12-0095-03

      陳本菊,向玉玲,嚴(yán)倩.C*代數(shù)的離散交叉積[J].宜賓學(xué)院學(xué)報,2015,15(12):95-97.

      CHENBJ,XIANGYL,YANQ.DiscreteCrossedProductofC*-Algebras[J].JournalofYibinUniversity,2015,15(12):95-97.

      2015-09-10修回:2015-10-19

      陳本菊(1987-),女,碩士研究生,研究方向為算子代數(shù)

      時間:2015-10-1911:20

      http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.z.20151019.1120.001.html

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