張浩龍,江 冕,朱雪瑩,胡文龍

(1.中國(guó)科學(xué)院空間信息處理與應(yīng)用系統(tǒng)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100190;2.中國(guó)科學(xué)院電子學(xué)研究所,北京100190;3.中國(guó)科學(xué)院大學(xué),北京100049)

0 引言

地球同步軌道合成孔徑雷達(dá)(Geosynchronous Synthetic Aperture Radar,GEOSAR)相位定標(biāo)系統(tǒng)具有十分重要的應(yīng)用價(jià)值,它通過(guò)一個(gè)位置精確已知的地面站系統(tǒng)發(fā)射線性調(diào)頻信號(hào),經(jīng)過(guò)運(yùn)行于地球同步軌道的衛(wèi)星轉(zhuǎn)發(fā)后發(fā)回地面站,然后由地面站對(duì)其進(jìn)行處理。而相位定標(biāo),即通過(guò)信號(hào)處理的方法從地面站接收到的信號(hào)中提取相位的過(guò)程,其重要意義在于可以為成像后期處理提供精確的相位基準(zhǔn)參考。然而,信號(hào)經(jīng)過(guò)長(zhǎng)距離的傳輸后,地面站接收到信號(hào)的信噪比可能并不能達(dá)到精確的相位定標(biāo)要求。為了能夠?qū)Υ肆炕治?本文先考察一下目前主要的測(cè)軌系統(tǒng)接收機(jī)接收的信號(hào)信噪比。

目前主要的測(cè)軌系統(tǒng)(或者具備測(cè)軌功能)包括GPS系統(tǒng)、DORIS(Doppler Orbiting and Radiopositioning Integrated by Satellite)系統(tǒng)、CAPS(China Area Positioning System)系統(tǒng)等。CAPS系統(tǒng)是基于同步軌道(GEO)衛(wèi)星的轉(zhuǎn)發(fā)式衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)[1-2],根據(jù)文獻(xiàn)[3]可知信號(hào)到達(dá)CAPS系統(tǒng)接收機(jī)的信噪比大約為-26.7 d B。對(duì)于運(yùn)行于近地軌道的GPS系統(tǒng)和DORIS系統(tǒng),根據(jù)文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]可以看出,在通常情況下,系統(tǒng)接收機(jī)的接收信噪比都在-10 dB左右。如果將GPS系統(tǒng)和DORIS系統(tǒng)都運(yùn)行在地球同步軌道上,則根據(jù)衰減功率與距離的關(guān)系P∝1/R2(單程),很容易算出由于距離帶來(lái)的功率下降大約在-30 d B,那么最后接收到的信號(hào)功率顯然會(huì)低于-40 dB。而GEOSAR定標(biāo)系統(tǒng)如果采用與上述系統(tǒng)類(lèi)似的接收和發(fā)射設(shè)備,則必然也會(huì)存在弱信噪比的問(wèn)題。而弱信噪比會(huì)給GEOSAR相位定標(biāo)系統(tǒng)帶來(lái)影響,一個(gè)提高信噪比的有效方法就是對(duì)信號(hào)進(jìn)行相干積累,但在長(zhǎng)時(shí)間積累過(guò)程中會(huì)給信號(hào)帶來(lái)一個(gè)非線性的附加相位調(diào)制。

容積卡爾曼濾波器(Cubature Kalman Filter,CKF)[6-7]是Arasaratnam等人于2009年提出的一種新的濾波方法,其既不需要對(duì)函數(shù)進(jìn)行線性化,也不需要計(jì)算Jacobin矩陣,因此在非線性條件下依然具有較好的估計(jì)精度。本文擬采用CKF方法來(lái)解決非線性較強(qiáng)條件下的附加相位估計(jì)問(wèn)題,然后在此基礎(chǔ)上構(gòu)造匹配濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行匹配濾波,從而實(shí)現(xiàn)信號(hào)的相干積累。

1 影響GEOSAR相位定標(biāo)系統(tǒng)相干積累的因素

由以上分析可以看出,在信噪比低于一定值的情況下,提取到的相位可能帶有較大的估計(jì)誤差。事實(shí)上,根據(jù)Shimon Peleg和Boaz Porat的研究成果[8],有以下關(guān)系成立:

從式(1)可以看出,相位估計(jì)的方差受制于信號(hào)的SNR大小。

為了能夠提高相位估計(jì)精度,根據(jù)式(1)可知,必然需要提高信噪比。根據(jù)吳順君和梅曉春在文獻(xiàn)[9]中所推導(dǎo)出的結(jié)果,脈沖壓縮輸出脈沖信號(hào)峰值功率與輸入脈沖信號(hào)功率之比為

式中,B為輸入信號(hào)帶寬,T為有效脈沖寬度。

在GEOSAR相位定標(biāo)系統(tǒng)中,信號(hào)帶寬B為固定值,因此只能通過(guò)相干積累的方法去提高信號(hào)的信噪比。根據(jù)式(2)可以知道,如果想要將信噪比提高20 dB,則需要積累到原先時(shí)間長(zhǎng)度的100倍,而要將信噪比提高30 dB,則需要積累到原先時(shí)間長(zhǎng)度的1 000倍。下面分析一下在長(zhǎng)時(shí)間相干積累條件下影響積累的因素。首先假設(shè)在N個(gè)連續(xù)PRT時(shí)間內(nèi)接收到了N個(gè)回波信號(hào),如下所示:

在信噪比條件比較差的情況下,需要對(duì)上述N個(gè)信號(hào)進(jìn)行相干積累,即需要將N個(gè)信號(hào)組織為一個(gè)新的信號(hào),如下所示:

如果能夠?qū)accul進(jìn)行匹配濾波,此時(shí)新的信號(hào)的脈沖寬度等效于Tobs,Tobs=NTr,因此根據(jù)式(2)可知,若能夠進(jìn)行相干積累則顯然可以提高信噪比,從而根據(jù)式(1)可知,便可以得到一個(gè)更為準(zhǔn)確的相位估計(jì)。然而由式(3)又可以看出,如果要進(jìn)行相干積累,則必須要補(bǔ)償式(3)中由于軌道 運(yùn) 動(dòng) 帶 來(lái) 的 附 加 相 位 Δ?1,Δ?2,Δ?3,…,Δ?N-1。為此,需要分析一下GEOSAR的運(yùn)動(dòng)情況。圖1為一軌道傾角為60°,近地點(diǎn)幅角為90°,升交點(diǎn)赤經(jīng)為120°的地球同步軌道的“8”字形星下點(diǎn)軌跡圖。

圖1 地球同步軌道“8”字形星下點(diǎn)軌跡圖

由圖1可以看出,衛(wèi)星從1運(yùn)動(dòng)到2時(shí)與由3運(yùn)動(dòng)到5時(shí),明顯線性度是不一樣的,因此帶來(lái)的附加相位Δ?1,Δ?2,Δ?3,…,Δ?N-1在1～2段和3～5段也是不一樣的。圖2為分別用線性函數(shù)對(duì)1～2段和3～5段進(jìn)行模擬后的誤差對(duì)比。

圖2 1～2段和3～5段線性擬合誤差對(duì)比

由圖2的對(duì)比可以看出,在衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)非線性比較強(qiáng)的區(qū)域,用線性擬合的誤差明顯大于衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的非線性區(qū)域。這說(shuō)明當(dāng)使用線性模型(比如擴(kuò)展卡爾曼濾波,即EKF)對(duì)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)非線性區(qū)域進(jìn)行處理時(shí)必然導(dǎo)致較大的誤差。為此,下文提出了利用容積卡爾曼濾波方法來(lái)解決長(zhǎng)時(shí)間積累的非線性問(wèn)題。

2 采用容積卡爾曼濾波方法解決長(zhǎng)時(shí)間積累的非線性問(wèn)題

容積卡爾曼濾波器的核心在于利用帶權(quán)重的采樣點(diǎn)近似概率分布,通過(guò)球面積分方法求隨機(jī)變量與函數(shù)乘積的積分,進(jìn)而估計(jì)變量的均值和方差。與傳統(tǒng)應(yīng)用很廣的擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter,EKF)相比,CKF既不需要對(duì)函數(shù)進(jìn)行線性化,也不需要計(jì)算Jacobin矩陣。所以,理論上來(lái)說(shuō),CKF具備更優(yōu)的非線性逼近性能、數(shù)值精度以及濾波穩(wěn)定性。在隨后的仿真實(shí)驗(yàn)中可以發(fā)現(xiàn),在圖1的3～5段中如果采用EKF會(huì)帶來(lái)較大的誤差,而CKF對(duì)于圖1的3～5段較強(qiáng)的非線性依然具有較好的處理結(jié)果。

為了使用容積卡爾曼濾波估計(jì)上述Δ?1,Δ?2,Δ?3,…,Δ?N-1,需要先建立狀態(tài)方程,事實(shí)上,地球同步軌道衛(wèi)星除了受到地球中心引力以外,在軌運(yùn)行時(shí)還受到其他攝動(dòng)力的作用?？紤]到其他攝動(dòng)力,衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)方程可以寫(xiě)成:

將式(6)離散化后便可以根據(jù)CKF算法估計(jì)軌道運(yùn)動(dòng)附加相位。

2)CKF首先根據(jù)Cubature變換得到2n個(gè)具有相同權(quán)值的Cubature點(diǎn)來(lái)近似積分:

式中:m表示容積點(diǎn)總數(shù),采用三階容積原則時(shí)容積點(diǎn)總數(shù)是狀態(tài)維數(shù)的2倍,即m=2n,n為系統(tǒng)的狀態(tài)維數(shù);[1]j表示容積點(diǎn)集中的第j個(gè)元素。

3)時(shí)間更新

① 計(jì)算容積點(diǎn)

式中,Sk-1=chol{Pk-1},Pk-1為協(xié)方差矩陣,chol{}表示對(duì)矩陣進(jìn)行Cholesky分解,即

② 計(jì)算通過(guò)狀態(tài)方程傳播的容積點(diǎn)

③ 狀態(tài)預(yù)測(cè)

④ 協(xié)方差預(yù)測(cè)

4)量測(cè)更新

① 計(jì)算容積點(diǎn)

② 計(jì)算通過(guò)測(cè)量方程傳播的容積點(diǎn)以及量測(cè)預(yù)測(cè)

③ 估計(jì)新息協(xié)方差以及互協(xié)方差

④ 估計(jì)卡爾曼增益以及狀態(tài)更新

⑤ 估計(jì)協(xié)方差

得到Pk后,便可以按照上述流程遞歸地進(jìn)行下去。值得一提的是,初始參數(shù)的選擇對(duì)濾波結(jié)果的影響也十分重要,比如初始狀態(tài)協(xié)方差的確定、系統(tǒng)噪聲矩陣的確定等,具體可以參照文獻(xiàn)[11]的研究結(jié)果。

在得到對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)附加相位Δ?1,Δ?2,Δ?3,…,Δ?N-1的估計(jì)之后,便可以根據(jù)此估計(jì)構(gòu)造參考函數(shù)如下:

接著即可利用式(20)對(duì)式(4)進(jìn)行匹配濾波得到最終所需的?。

3 仿真與分析

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)處理

為了驗(yàn)證上述算法的有效性,本文用STK生成了一組地球同步軌道數(shù)據(jù),軌道參數(shù)為:軌道傾角為60°,近地點(diǎn)幅角為90°,升交點(diǎn)赤經(jīng)為120°,偏心率為0,半長(zhǎng)軸為42241 km,同時(shí)在仿真時(shí)加上了衛(wèi)星攝動(dòng)的影響。在利用上述軌道數(shù)據(jù)生成SAR定標(biāo)信號(hào)時(shí),采用了文獻(xiàn)[12]所提出的星載SAR回波信號(hào)仿真方法,其中雷達(dá)參數(shù)如表1所示。

表1 雷達(dá)參數(shù)

本文針對(duì)圖1所示的1～2段(衛(wèi)星運(yùn)行線性段)以及3～5段(衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)非線性段)兩段數(shù)據(jù)分別使用EKF和CKF算法進(jìn)行估計(jì),EKF的具體實(shí)現(xiàn)參照文獻(xiàn)[13]。圖3為在衛(wèi)星軌道運(yùn)行線性比較理想的情況下分別采用CKF與EKF去估計(jì)Δ?1,Δ?2,Δ?3,…,Δ?N-1時(shí)的估計(jì)誤差對(duì)比圖,而圖4為在衛(wèi)星軌道運(yùn)行非線性比較強(qiáng)的情況下分別采用 CKF與 EKF去估計(jì) Δ?1,Δ?2,Δ?3,…,Δ?N-1時(shí)的估計(jì)誤差對(duì)比圖。

圖3 在衛(wèi)星線性運(yùn)動(dòng)區(qū)域由CKF估計(jì)的相位誤差與由EKF估計(jì)的相位誤差對(duì)比

圖4 在衛(wèi)星非線性運(yùn)動(dòng)區(qū)域由CKF估計(jì)的相位誤差與由EKF估計(jì)的相位誤差對(duì)比

在得到對(duì)Δ?1,Δ?2,Δ?3,…,Δ?N-1的估計(jì)之后,便可以根據(jù)式(7)對(duì)信號(hào)進(jìn)行相干積累。為了看出CKF算法相對(duì)于EKF算法對(duì)于相干積累最后結(jié)果的優(yōu)越性,本文針對(duì)衛(wèi)星非線性運(yùn)動(dòng)比較強(qiáng)的地方,分別采用CKF與EKF進(jìn)行相干積累之后,然后對(duì)比一下其對(duì)于相位定標(biāo)的影響。其中信號(hào)信噪比為-36 dB,積累長(zhǎng)度N為100,并分別作了以下3條曲線對(duì)比,一條曲線為不使用相干積累直接使用單脈沖壓縮后得到的相位?的誤差,一條曲線為采用CKF估計(jì)出Δ?1,Δ?2,Δ?3,…,Δ?99之后采用相干積累得到的相位?的誤差,一條曲線為采用 EKF估計(jì)出 Δ?1,Δ?2,Δ?3,…,Δ?99之后采用相干積累得到的相位?的誤差,如圖5所示。

圖5 CKF、EKF和單脈沖壓縮結(jié)果對(duì)比

3.2 結(jié)果分析

圖3和圖4對(duì)比表明:CKF與EKF方法在衛(wèi)星軌道運(yùn)行線性度很好的時(shí)候?qū)Ζ?1,Δ?2,Δ?3,…,Δ?N-1的估計(jì)誤差是相差不大的,但是當(dāng)衛(wèi)星軌道運(yùn)動(dòng)非線性十分明顯的時(shí)候,兩種方法的差異便十分明顯,這實(shí)際上由于EKF忽略高階項(xiàng)所導(dǎo)致的誤差,由此可見(jiàn),CKF在解決非線性問(wèn)題時(shí)依然具有十分高的估計(jì)精度。在得到對(duì)Δ?1,Δ?2,Δ?3,…,Δ?N-1的估計(jì)后,便可以進(jìn)行N個(gè)脈沖的相干積累了,圖5是在衛(wèi)星軌道運(yùn)動(dòng)非線性十分明顯的時(shí)候,利用CKF、EKF和單脈沖壓縮之后的結(jié)果對(duì)比圖,從圖中可以明顯看到CKF的優(yōu)勢(shì),計(jì)算上述三種方法的均方誤差分別如下:E(?CKF-?real)2=0.387,E(?EKF-?real)2=5.318,E(?Single-?real)2=3.929。通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),結(jié)合CKF的相干積累方法比之單脈沖壓縮方法可以顯著地降低估計(jì)方差,而結(jié)合EKF的相干積累方法的方差甚至比單脈沖壓縮方法的方差都大,這是由于EKF算法截去高階項(xiàng)引入的誤差。由圖5也可以看出,在非線性較強(qiáng)的區(qū)域,EKF對(duì)附加相位的估計(jì)偏差十分大,因此給最終的相位估計(jì)也帶來(lái)了估計(jì)誤差。通過(guò)以上對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)基于CKF的相干積累方法是有效的。

4 結(jié)束語(yǔ)

CKF有效地避免了EKF中截去高階項(xiàng)所帶來(lái)的誤差,因此在長(zhǎng)時(shí)間積累過(guò)程中的非線性較強(qiáng)的區(qū)域依然有很好的估計(jì)精度。仿真結(jié)果表明,在衛(wèi)星軌道運(yùn)動(dòng)線性程度比較好的區(qū)域,CKF算法與EKF算法對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)附加相位的估計(jì)是相差不大的,但是在衛(wèi)星軌道運(yùn)動(dòng)非線性較強(qiáng)的區(qū)域CKF算法得到的估計(jì)尤其優(yōu)于EKF算法。利用上述結(jié)果,本文在衛(wèi)星軌道非線性較強(qiáng)的區(qū)域進(jìn)行100個(gè)波形的相干積累,基于CKF的相干積累算法由于能夠?qū)Ω郊酉辔挥休^為準(zhǔn)確的估計(jì),因此利用此準(zhǔn)確的附加相位構(gòu)造的匹配濾波器去壓縮信號(hào)時(shí),可以較好地實(shí)現(xiàn)相干積累,從而得到了較為準(zhǔn)確的相位估計(jì)值,而基于EKF的相干積累算法由于在非線性區(qū)域EKF對(duì)附加相位較大的估計(jì)偏差,導(dǎo)致相干積累后的結(jié)果并不理想。同時(shí),與未采用相干積累方法即單個(gè)脈沖壓縮時(shí)比較,相干積累方法確實(shí)可以提高相位估計(jì)精度。

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