掌握基本概念是學(xué)好幾何的開始

黃欲涵

在我們生活的周圍有許多軸對稱的圖案，為了更好地認(rèn)識它們，在此安排了一些基礎(chǔ)知識來讓同學(xué)們領(lǐng)悟其基本的特點(diǎn)，比如我們學(xué)習(xí)了軸對稱的性質(zhì)、線段和角的軸對稱性、等腰三角形的軸對稱性. 首先回顧一下本章中的一些基本概念.

一、 線段的軸對稱性

1. 線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線就是它的對稱軸.

2. 線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.

3. 線段的垂直平分線的判定：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.

例1 如圖1，若該小船從點(diǎn)A航行到點(diǎn)B的過程中先要到達(dá)岸邊l的點(diǎn)P處補(bǔ)給后，再航行到點(diǎn)B，但要求航程最短，試在圖中畫出點(diǎn)P的位置.

【解析】如圖2，點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于直線l成軸對稱，連接A′B交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求.

例2 如圖3，已知AB=AC，DE垂直平分AB，交AB、AC于D、E兩點(diǎn)，若AB=12 cm，BC=10 cm，求△BCE的周長.

【解析】本題利用題中條件DE垂直平分AB，得到AE=BE，△BCE的周長就轉(zhuǎn)化為BC與AC兩條線段的和，所以l△BCE=22 cm.

【點(diǎn)評】這題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，是典型的線段轉(zhuǎn)化問題.

二、 角的對稱性

1. 角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸.

2. 角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

3. 角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

例3 如圖4，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=DC. BE與DF相等嗎？請說明理由.

【解析】題中的條件滿足角平分線的性質(zhì)，容易得到CF=CE，再結(jié)合題中給出的條件BC=DC，利用直角三角形全等的判定“HL”定理證明△FDC≌△EBC，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到BE=DF.

【點(diǎn)評】本題主要利用角平分線的性質(zhì)得到兩直角三角形的一對直角邊對應(yīng)相等，從而用全等三角形的知識解決問題，所以由題目的條件聯(lián)想得到對應(yīng)的結(jié)論，是我們做幾何題的常用思路.

例4 如圖5，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A、B. 下列結(jié)論中，不一定成立的是（ ）.

A. PA=PB B. PO平分∠APB

C. OA=OB D. AB垂直平分OP

【解析】由角平分線的性質(zhì)可得PA=PB，故A選項(xiàng)正確，再用角平分線的判定說明B也是正確的，利用直角三角形全等的判定“HL”定理證明△AOP≌△BOP，得到C也是正確的，所以最后D是不一定成立的.

【點(diǎn)評】綜合考查了角平分線的性質(zhì)和判定，同時考查了直角三角形全等的判定方法.

三、 等腰三角形的對稱性

1. 等腰三角形是軸對稱圖形，頂角的平分線所在直線是它的對稱軸.

2. 等腰三角形的性質(zhì)：①等邊對等角；②三線合一.

3. 等腰三角形的判定：等角對等邊.

例5 如圖6，已知AB=AC，AD=AE.求證：BD=CE.

【解析】過A作AG⊥BC.

∵AB=AC，AG⊥BC，∴BG=CG.

又∵AD=AE， AG⊥BC，

∴DG=EG. ∴BD=CE.

【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形“三線合一”性質(zhì)，所以看見等腰三角形就要想到“三線合一”，作出底邊上的高線，這是解決等腰三角形相關(guān)問題常規(guī)的添線方法.

例6 如圖7，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AE平分∠CAB交CD于點(diǎn)F.試說明CE=CF.

【解析】∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCD=90°.

∵CD⊥AB于點(diǎn)D，

∴∠B+∠BCD=90°.

∴∠ACD=∠B.

又∵AE平分∠CAB，

∴∠CAE=∠EAB.

又∵∠CEF=∠B+∠EAB，

∠CFE=∠CAE+∠ACD，

∴∠CFE=∠CEF.

∴CE=CF.

【點(diǎn)評】本題綜合運(yùn)用角平分線的定義，內(nèi)角和外角的關(guān)系和等角對等邊來說明CE=CF.學(xué)習(xí)了等角對等邊以后，今后如果我們要證明兩條線段相等，除了考慮線段的轉(zhuǎn)化、三角形全等，還有一種方法就是等角對等邊.

我們回顧了這一章的一些重要的概念后，同學(xué)們有什么收獲嗎？學(xué)習(xí)幾何需要牢牢抓住基本概念，從題中的條件出發(fā)推出我們需要的結(jié)論，同時掌握了基本概念后我們可以熟悉基本的圖形，掌握基本的添線方法.加油，孩子們，繼續(xù)讀下去，會更加精彩！

（作者單位：江蘇省常熟市周行學(xué)校）