☉江蘇省蘇州市高新區(qū)第一中學(xué) 姜德祥

高中生數(shù)學(xué)解題思維習(xí)慣調(diào)查與分析

☉江蘇省蘇州市高新區(qū)第一中學(xué) 姜德祥

一、問(wèn)題的提出

數(shù)學(xué)解題思維習(xí)慣是指學(xué)習(xí)者在長(zhǎng)期解題活動(dòng)中養(yǎng)成的相對(duì)穩(wěn)定的、不易改變的解題思維方式，決定解題的效率、質(zhì)量高低.學(xué)習(xí)者習(xí)慣地對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行閱讀、分析、歸納、提取有用信息，調(diào)動(dòng)已有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)努力尋找解決問(wèn)題方法的過(guò)程，既是解決問(wèn)題的過(guò)程也是訓(xùn)練思維、提高能力的過(guò)程，也是一個(gè)人數(shù)學(xué)素養(yǎng)高低的重要體現(xiàn).那么，高中生的數(shù)學(xué)解題思維習(xí)慣如何？不同學(xué)生群體之間有沒(méi)有明顯的差異呢？為回答這一問(wèn)題，筆者以高中生為研究對(duì)象，做如下調(diào)查.

二、調(diào)查實(shí)施的過(guò)程

根據(jù)數(shù)學(xué)解題思維的特征將其分為以下六個(gè)方面：（1）讀題的思維習(xí)慣；（2）深化題意理解的思維習(xí)慣；（3）擬定解題方案的思維習(xí)慣；（4）實(shí)施解題計(jì)劃的思維習(xí)慣；（5）解題檢驗(yàn)的思維習(xí)慣；（6）解題研究的思維習(xí)慣.設(shè)計(jì)13道選擇題，制作學(xué)生問(wèn)卷調(diào)查表，借助計(jì)算機(jī)閱讀分析.1、2題主要調(diào)查學(xué)生讀題的思維習(xí)慣，3～6題主要調(diào)查學(xué)生深化題意理解的思維習(xí)慣，7～9題主要調(diào)查學(xué)生擬定解題方案的思維習(xí)慣，10題主要調(diào)查學(xué)生實(shí)施解題的思維習(xí)慣，11題主要調(diào)查學(xué)生解題檢驗(yàn)的思維習(xí)慣，12、13題主要調(diào)查學(xué)生解題研究的思維習(xí)慣.

分別選取高二、三年級(jí)10個(gè)班級(jí)，共1100人作為研究的對(duì)象，分為兩組：高二年級(jí)組和高三年級(jí)組.

三、調(diào)查的結(jié)果及分析

（一）讀題的思維習(xí)慣

讀題即學(xué)生拿到題目后，把題目一字不漏地閱讀幾遍，熟悉題目情境、設(shè)問(wèn)，理清條件與結(jié)論，明白題意，是解題最基礎(chǔ)也是最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)，直接決定著解題質(zhì)量的高低、解題效果的好壞，學(xué)生解題過(guò)程中的低級(jí)錯(cuò)誤往往都是由此引起的.為此設(shè)計(jì)2個(gè)問(wèn)題：

1.讀題的思維習(xí)慣

讀題的思維習(xí)慣的調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：37.64%的學(xué)生做題之前僅讀一、二遍題，學(xué)生對(duì)讀題環(huán)節(jié)不重視，問(wèn)題設(shè)計(jì)為：你答題以前一般（ ）.明白題意后再讀1～2遍題；反復(fù)讀題直至明白題意；讀題3～4遍；讀題1～2遍，對(duì)上述四個(gè)選項(xiàng)依次賦4、3、2、1分，經(jīng)統(tǒng)計(jì)高二年級(jí)組得分2.330；高三年級(jí)組得分2.568，高年級(jí)的學(xué)生讀題比低年級(jí)的學(xué)生認(rèn)真.

2.讀題方式的思維習(xí)慣

讀題是否逐字逐句地分析題意的調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：有38.29%的學(xué)生基本上能做到，55.24%的學(xué)生基本上做不到，而最高僅有6.56%的學(xué)生總是能做到，由此可見(jiàn)學(xué)生讀題的方式習(xí)慣不理想.

基于以上分析：大部分學(xué)生不能夠認(rèn)真讀題，隨年級(jí)升高學(xué)生越來(lái)越不重視讀題.經(jīng)座談發(fā)現(xiàn)，學(xué)生普遍不重視讀題，認(rèn)為只要讀兩遍就能夠開(kāi)始答題，答題的過(guò)程中遇到困難還可以繼續(xù)讀題.

（二）深化題意理解的思維習(xí)慣

能夠用自己的語(yǔ)言敘述題意是深化題意理解的基礎(chǔ)；用不同的方式表征問(wèn)題、從不同的角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題是深化題意理解的重要標(biāo)志，對(duì)題目的條件和結(jié)論進(jìn)行剖析、聯(lián)想、類比、變換是擬定解題方案、決定解題繁簡(jiǎn)及成敗的關(guān)鍵，是解題過(guò)程中最核心也是最根本的環(huán)節(jié)，是解題能力高低的最突出表現(xiàn).為此設(shè)計(jì)4個(gè)問(wèn)題.

1.敘述題意的思維習(xí)慣

用自己的語(yǔ)言敘述題意的思維習(xí)慣的調(diào)查數(shù)據(jù)表明：僅有17.52%的同學(xué)讀題以后基本上能夠?qū)㈩}意復(fù)述，47.26%的學(xué)生解題以前基本上不會(huì)復(fù)述題意，32.27%的學(xué)生解題以前從來(lái)不會(huì)復(fù)述題意，以上表明大部分學(xué)生解題前對(duì)題意的領(lǐng)悟不能做到一清二楚.

2.將語(yǔ)言文字相互轉(zhuǎn)換的思維習(xí)慣

讀題后能否將文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、數(shù)學(xué)語(yǔ)言適當(dāng)?shù)叵嗷マD(zhuǎn)換的調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：高二年級(jí)由53.37%的學(xué)生能夠根據(jù)題目條件適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行語(yǔ)言轉(zhuǎn)換，高三年級(jí)有43.85%的學(xué)生能根據(jù)題目條件適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行語(yǔ)言轉(zhuǎn)換，經(jīng)座談分析高二年級(jí)優(yōu)于高三年級(jí)的原因是高二年級(jí)正在學(xué)習(xí)立體幾何與解析幾何，教師課堂強(qiáng)調(diào)示范引起了學(xué)生的重視.

3.將題目條件及結(jié)論進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化表述的習(xí)慣

讀題過(guò)后是否能夠?qū)㈩}目條件及結(jié)論進(jìn)行等價(jià)表述的調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：最高僅有8.45%的學(xué)生讀題后總是能對(duì)題目條件及結(jié)論進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，此題設(shè)計(jì)4個(gè)選項(xiàng)依次是：總是會(huì)、基本上會(huì)、基本不會(huì)、從不會(huì)，分別賦4、3、2、1分，高二年級(jí)得分2.238，高三年級(jí)得分2.277，數(shù)據(jù)表明學(xué)生的轉(zhuǎn)化整合習(xí)慣較差.

4.聯(lián)想的思維習(xí)慣

讀題后是否能根據(jù)題目條件及結(jié)論進(jìn)行適當(dāng)?shù)穆?lián)想的調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：高三年級(jí)僅有16.65%的學(xué)生能夠根據(jù)題目條件和結(jié)論，聯(lián)想到以前學(xué)過(guò)的定理、定義、性質(zhì)及做過(guò)的題目等，其余的學(xué)生基本上不能進(jìn)行適當(dāng)?shù)穆?lián)想，因此女生做題的聯(lián)想能力遜色于男生.

基于以上分析：學(xué)生在深化題意理解方面，大部分學(xué)生不能深化題意的理解，即讀題后不能將題目條件、結(jié)論進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化、類比聯(lián)想，憑感覺(jué)解題，年級(jí)之間沒(méi)有明顯的差異.

（三）擬定解題方案的思維習(xí)慣

從讀題到深化題意理解是一個(gè)綜合應(yīng)用分析、歸納、聯(lián)想、類比等邏輯思維和非邏輯思維的方法，尋找解題途徑的過(guò)程，接著就要考慮擬定解題方案，先做什么、后做什么、再做什么等，這個(gè)過(guò)程要經(jīng)過(guò)許多障礙，因此，學(xué)生在擬定解題方案遇到挫折、困難時(shí)，處理方法是否得當(dāng)、思維品質(zhì)是否堅(jiān)強(qiáng)是解題方案能否成功擬定的重要方面，圍繞這個(gè)問(wèn)題設(shè)計(jì)3個(gè)問(wèn)題.

1.答題以前頭腦中是否有完整的解題方案的思維習(xí)慣

學(xué)生答題以前是否構(gòu)建一個(gè)完整的解題方案的調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：最高僅有8.84%的學(xué)生解題以前頭腦中總有一個(gè)清晰完整解題方案，72.28%的學(xué)生解題以前基本上有一個(gè)的解題方案，具體解題過(guò)程中不是十分清晰，是否正確沒(méi)有把握.

2.解題思考遇到困難時(shí)是否重新審視題目的思維習(xí)慣

解題思考遇到困難時(shí)是否重新審視題目的調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：37.05%的學(xué)生總是會(huì)重新讀題、深化題意的理解，44.79%學(xué)生經(jīng)常會(huì)這樣，18.66%的學(xué)生基本不會(huì)或從不這樣，放棄思考，年級(jí)之間沒(méi)有明顯的差異.

3.解題思考遇到障礙時(shí)是否努力尋找缺少什么

解題思考遇到障礙時(shí)是否努力尋找缺少什么的調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：有21.46%的學(xué)生總是會(huì)努力尋找缺少什么，展開(kāi)聯(lián)想調(diào)動(dòng)思維，46.12%的學(xué)生經(jīng)常會(huì)這樣，32.28%的學(xué)生基本上會(huì)放棄思考，高三年級(jí)學(xué)生略優(yōu)于高二年級(jí)學(xué)生.

數(shù)據(jù)表明擬定解題方案的思維習(xí)慣：大部分同學(xué)解題以前頭腦中有一個(gè)不完整的解題思路，僅憑感覺(jué)前行，但是高中生在解題遇到障礙、困難時(shí)具有堅(jiān)強(qiáng)的意志和良好的思維品質(zhì).

（四）實(shí)施解題計(jì)劃的思維習(xí)慣

實(shí)施解題計(jì)劃即按擬定解題方案去進(jìn)行推理、計(jì)算、作圖得出題目的答案，這是解題的成果，到了這一步，解題的成敗就取決于推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，計(jì)算、作圖的準(zhǔn)確性.解題的每一步必須有充分的理論依據(jù)，前一步是后一步的依據(jù)，后一步是前一步的必然結(jié)果，保證每一個(gè)解題的步驟都是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、正確的，因此，解題過(guò)程必須審視每一步，是保證解題順利進(jìn)行、提高解題效率的重要環(huán)節(jié).為此設(shè)計(jì)一個(gè)問(wèn)題.

解題過(guò)程是否每一步都檢查的調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：學(xué)生實(shí)施解題計(jì)劃的思維習(xí)慣較差，僅有24.75%的學(xué)生經(jīng)常能做到每一步都檢查它的正確性，75.09%的學(xué)生基本上或從不這樣做.

（五）解題的檢驗(yàn)習(xí)慣

解題得到答案不能算完成，還應(yīng)檢驗(yàn)解題是否有疏忽、遺漏或多余的步驟，答案是否準(zhǔn)確，要重新回顧每一步，從多種角度、多種途徑上檢驗(yàn)，檢驗(yàn)每一個(gè)細(xì)節(jié)，確保解題過(guò)程的準(zhǔn)確無(wú)誤是提高解題準(zhǔn)確度的重要環(huán)節(jié).為此設(shè)計(jì)1個(gè)問(wèn)題：

解題后是否重新審視自己的解題過(guò)程的調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：有26.83%的學(xué)生基本上能重新審查自己的解題過(guò)程，58.46%的學(xué)生基本上不審查自己的解題過(guò)程，年級(jí)之間沒(méi)有明顯差異.

（六）解題研究的思維習(xí)慣

解題研究即學(xué)生對(duì)自己的解題行為保持一種敏感的覺(jué)醒狀態(tài)，關(guān)注自己的解題方法，追問(wèn)自己的解題效果，探究思想方法、知識(shí)應(yīng)用與推廣.一般對(duì)問(wèn)題的再認(rèn)識(shí)、再聯(lián)想，利用不同知識(shí)、途徑求得問(wèn)題的不同解法；通過(guò)對(duì)比找到更簡(jiǎn)潔更合理的解法.通過(guò)多途徑、多角度地認(rèn)識(shí)問(wèn)題，深入思考，此題的結(jié)論是否可以推廣、引申？是否可具有一般規(guī)律？是否可以變式？解題方法是否可以推廣等問(wèn)題，通過(guò)解題后的研究，改變以往那種隨意的、盲目的解題方式，總結(jié)、提煉、形成自己富有成效的解題方法和解題習(xí)慣，這是解題的內(nèi)核和靈魂.為此設(shè)計(jì)2個(gè)問(wèn)題：

1.解題后是否尋找其他解題方法的思維習(xí)慣

解題后是否尋找其他解題方法的調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：41.72%的學(xué)生解題后從不尋找其他的解題方法，最高僅有4.23%的學(xué)生總是解題后尋找其他的解題方法，11.53%的學(xué)生解題后經(jīng)常思考其他的解題方法，高三年級(jí)略優(yōu)于高二年級(jí).

2.解題后對(duì)題目反思探究的思維習(xí)慣

解題后是否對(duì)題目反思探究調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：高二年級(jí)有13.82%的學(xué)生經(jīng)常會(huì)在解題后對(duì)題目進(jìn)行反思探究；高三年級(jí)有19.15%的學(xué)生經(jīng)常會(huì)在解題后對(duì)題目進(jìn)行反思探究.

解題研究的思維習(xí)慣的分析表明：解題后很少有學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行解題研究，但高三年級(jí)的學(xué)生優(yōu)于低年級(jí)的學(xué)生.

四、調(diào)查數(shù)據(jù)的驗(yàn)證分析

為驗(yàn)證學(xué)生的數(shù)學(xué)解題的思維習(xí)慣調(diào)查結(jié)果，選取高二、高三年級(jí)各兩個(gè)成績(jī)較好班級(jí)設(shè)計(jì)如下試題進(jìn)行測(cè)試.

例題：已知a，b不同時(shí)為0，且a，b，c成等差數(shù)列，求直線bx+ay+c=0與拋物線相交弦中點(diǎn)的軌跡方程.

這是一道軌跡方程與等差數(shù)列交匯的綜合題，要求學(xué)生20分鐘內(nèi)完成答題，交卷后回答下列問(wèn)題.

（一）理解題意的思維習(xí)慣

為了考查學(xué)生理解題意時(shí)的思維習(xí)慣特設(shè)計(jì)幾個(gè)問(wèn)題：開(kāi)始解答問(wèn)題前讀幾遍題？題目條件一共有幾個(gè)？分別是什么？結(jié)論是什么？其數(shù)學(xué)含義是什么？你用自己的語(yǔ)言敘述題意了嗎？將條件與結(jié)論變形了嗎？題目中隱含的條件是什么？

高二年級(jí)70%、高三年級(jí)84%的學(xué)生讀題的遍數(shù)都在三遍以內(nèi)，幾乎所有的學(xué)生都是將題目條件直接摘抄一遍，且不全面，只有高二年級(jí)的3位學(xué)生能夠用自己的語(yǔ)言敘述部分條件，沒(méi)有學(xué)生正確理解a，b不同時(shí)為0的數(shù)學(xué)含義，有5位學(xué)生能夠挖掘出直線過(guò)定點(diǎn)（-2，1），沒(méi)有學(xué)生將條件與結(jié)論進(jìn)行等價(jià)變形，這也驗(yàn)證了學(xué)生讀題、審題、理解題意的思維習(xí)慣較差.

（二）擬定解題思路的思維習(xí)慣

為暴露學(xué)生遇到具體問(wèn)題時(shí)擬定解題方案的思維習(xí)慣，設(shè)計(jì)以下問(wèn)題：解答題目以前你思考了嗎？此問(wèn)題屬于哪種類型的問(wèn)題？條件與結(jié)論之間如何鏈接？解題的大致思路、步驟如何？舉例說(shuō)明解題過(guò)程中遇到某個(gè)環(huán)節(jié)不能進(jìn)行下去你是怎樣處理的？學(xué)生整體回答得較為混亂、思維不清晰，多數(shù)同學(xué)僅憑感覺(jué)解題，遇到困難時(shí)學(xué)生能自覺(jué)地審視題目尋找思維的偏差，但是不知如何入手，這也驗(yàn)證了學(xué)生擬定解題方案的思維淺顯.

（三）實(shí)施解題及研究的思維習(xí)慣

通過(guò)對(duì)學(xué)生解題過(guò)程批閱發(fā)現(xiàn)，80%以上的學(xué)生都選擇聯(lián)立方程組求交點(diǎn)、消參數(shù)的方法求解，但是字母運(yùn)算能力較弱、方程組求解出錯(cuò)、不能正確利用題目條件消去參數(shù)、思維混亂，以至于無(wú)法將運(yùn)算進(jìn)行到底，說(shuō)明學(xué)生在解題過(guò)程中沒(méi)有步步檢查的習(xí)慣；僅有高三年級(jí)2位同學(xué)利用隱含條件曲線的交點(diǎn)（-2，1）來(lái)求解，進(jìn)一步說(shuō)明學(xué)生在審題時(shí)不善于挖掘題目的隱含條件，只擅長(zhǎng)機(jī)械地代入公式，按部就班地計(jì)算，不會(huì)深入的想，導(dǎo)致解題過(guò)程煩瑣，會(huì)而不對(duì)；沒(méi)有同學(xué)關(guān)注條件a，b不同時(shí)為0的意義，最終對(duì)而不全，沒(méi)有一位同學(xué)談解題的心得，由此說(shuō)明學(xué)生的實(shí)施解題后沒(méi)有自覺(jué)研究習(xí)慣，平時(shí)只注重機(jī)械解題，不注重反思、總結(jié)，這說(shuō)明學(xué)生不具有良好的實(shí)施解題及研究的思維習(xí)慣.

五、調(diào)查結(jié)論

基于以上分析可以得出如下結(jié)論：（1）高中生讀題的思維習(xí)慣存在層次性，年級(jí)之間存在的差異.（2）深化題意理解的思維習(xí)慣普遍較差，且年級(jí)之間存在差異.（3）擬定解題方案的思維習(xí)慣不同層次的學(xué)生之間沒(méi)有明顯差異，但是高中生在解題活動(dòng)遇到困難時(shí)能表現(xiàn)出良好的思維品質(zhì).（4）實(shí)施解題計(jì)劃與檢驗(yàn)的思維習(xí)慣表明高中生解題過(guò)程中自覺(jué)檢驗(yàn)的意識(shí)薄弱，不同層次的學(xué)生之間沒(méi)有明顯差異.（5）解題研究的思維習(xí)慣整體水平較低，且年級(jí)之間存在差異.（6）解題思維習(xí)慣相對(duì)穩(wěn)定的、不易改變，應(yīng)多加練習(xí)，及時(shí)矯正.

1.寧連華，王薇.小學(xué)生解題思維習(xí)慣的調(diào)查研究［J］.課程·教材·教法，2012（12）.

2.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2004.F