☉山東省青島第二中學(xué) 牟慶生

一類(lèi)“顯隱混搭型”分段函數(shù)的圖像及其應(yīng)用
——以零點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題為例

☉山東省青島第二中學(xué) 牟慶生

一、策略分析

我們知道，圖像法是解決函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題的重要手段，但本題中這類(lèi)函數(shù)將如何作圖？讓我們從分析f（x）的構(gòu)成入手：因?yàn)楫?dāng)x∈D1時(shí)，f（x）=g（x），即f（x）在D1上的圖像已定；但當(dāng)x∈D2時(shí)，f（x）=Af（ωx+φ）+k，故f（x）在D2上的圖像未能直接給定.然而，y=f（x）與y=Af（ωx+φ）+k的圖像之間有著“天然”的聯(lián)系，所以我們只要以f（x）在D1上的圖像為起點(diǎn)，一步一步地往上“攀”（拾級(jí)而上），即可作出f（x）在D2上的圖像.為明晰圖像由來(lái)，先給出如下性質(zhì)：

證明：因?yàn)楫?dāng)x∈［a，b］時(shí)，有f（x）=g（x），所以當(dāng)xl∈［a，b］，即x∈（a+l，b+l］時(shí)，有f（x-l）=g（x-l）（迭代），由于（a+l，b+l］?（b，+∞），所以f（x）=f（x-l）+k=g（x-l）+k；再當(dāng)x-l∈［a+l，b+l］，即x∈（a+2l，b+2l］時(shí)，f（x-l）=g（x-2l）+ k（再迭代），因?yàn)椋╝+2l，b+2l］?（b，+∞），所以f（x）=f（x-l）+k=［g（x-2l）+k］+k=g（x-2l）+2k；…；以此類(lèi)推，故當(dāng)x∈（a+nl，b+nl］（n∈N）時(shí)，f（x）=g（x-nl）+nk得證.

說(shuō)明：由性質(zhì)1的證明過(guò)程可知，此時(shí)分段函數(shù)f（x）可以寫(xiě)成不難看出，f（x）在（a+l，b+l］上的圖像，可由f（x）在［a，b］上的圖像（即g（x）圖像）向右平移l個(gè)單位再向上平移k個(gè)單位（即沿向量m=（l，k）平移）得到；而f（x）在［a+2l，b+2l］上的圖像可由f（x）在［a+l，b+l］上的圖像沿向量m=（l，k）平移得到，…，即分段函數(shù)后一段上的圖像均可由前一段上的圖像沿向量m=（l，k）平移得到.需要指出，定義區(qū)間（a+l，b+l］、（a+2l，b+2l］、…都是區(qū)間（b，+∞）的子集，且（a+l，b+l］∪（a+2l，b+2l］∪…也是（b，+∞）的子集.

證明：因?yàn)楫?dāng)x∈［a，b］時(shí)，有f（x）=g（x），所以當(dāng)ωx∈（a，b］，即x∈時(shí)，有（fωx）=g（ωx）（迭代），因?yàn)椋?（b，+∞），所以f（x）=Af（ωx）=Ag（ωx）；再當(dāng)ωx∈］，即x∈］時(shí)，（fωx）=Ag（ω2x）（再迭代），因?yàn)樗詅（x）=Af（ωx）= A［Ag（ω2x）］=A2g（ω2x）；…；以此類(lèi)推，故當(dāng)x∈（n∈N）時(shí)，f（x）=Ang（ωnx）得證.