☉江蘇省蘇州市高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 練兆明

“一題多變”的解題教學(xué)，打開(kāi)學(xué)生思維的通道

☉江蘇省蘇州市高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 練兆明

教師借助于例題進(jìn)行教學(xué)，用習(xí)題衡量學(xué)生掌握知識(shí)的情況，設(shè)計(jì)形式多樣的練習(xí)促使學(xué)生將知識(shí)轉(zhuǎn)化為技能，這是教師教學(xué)中常用的方法.因此，重視研究習(xí)題和解題教學(xué)，是提高教學(xué)質(zhì)量、鞏固深化知識(shí)、發(fā)展學(xué)生思維能力和增強(qiáng)學(xué)生解題能力的重要途徑.

波利亞說(shuō)：“教學(xué)生解題是意志的教育，但學(xué)生求解那些對(duì)他來(lái)說(shuō)并不太容易的題目時(shí)，他學(xué)會(huì)了敗而不餒，學(xué)會(huì)了贊賞微小的進(jìn)展，學(xué)會(huì)了等待靈感的到來(lái)，學(xué)會(huì)了當(dāng)靈感到來(lái)后全力以赴.如果在學(xué)校里沒(méi)有機(jī)會(huì)嘗盡為求解而奮斗的喜怒哀樂(lè)，那么他的數(shù)學(xué)教育就在最重要的地方失敗了.”

新的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱要求教師樹(shù)立學(xué)生發(fā)展的教育觀(guān)念，改革教學(xué)方法和教學(xué)手段，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，提高學(xué)生的素質(zhì)，塑造學(xué)生創(chuàng)造性的人格.而現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)課本中，不少習(xí)題內(nèi)涵豐富，對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)有著不同尋常的作用和豐富的教學(xué)價(jià)值.而我們教師在使用過(guò)程中要做到：一、精選；二、會(huì)用；三、善變.下面攫取一二，與各位老師共同探討.

一、習(xí)題變式，發(fā)揮概念對(duì)解題的作用

在講清概念，特別是幾何圖形的概念后，對(duì)題目進(jìn)行簡(jiǎn)單的變式，讓剛講完的概念對(duì)解題起到舉足輕重的作用.

案例1在講完等腰梯形的概念后，可通過(guò)以下幾道變式的題目進(jìn)行鞏固.

（1）如圖1，等腰梯形的兩底長(zhǎng)分別為3cm和7cm，高為4cm，則它的腰為_(kāi)________.

（2）如圖2，等腰梯形的兩底長(zhǎng)分別為3cm和7cm，∠B=60°，則它的腰為_(kāi)________.

（3）如圖3，等腰梯形的兩底長(zhǎng)分別為3cm和7cm，AC⊥BD，則它的腰為_(kāi)________.

圖1

圖2

圖3

二、增加解題靈活性，發(fā)展學(xué)生思維

在學(xué)生具備了一定的解題能力，或者在章節(jié)學(xué)完后進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固時(shí)，可以提供以下檔次的題目.

案例2講完“正方形”這節(jié)內(nèi)容后，就可以進(jìn)行以下的題目訓(xùn)練：如圖4，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)G是BC上的任意一點(diǎn)，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF∥DE，且交AG于點(diǎn)F，求證：AF-BF=EF.

利用正方形的有關(guān)性質(zhì)與學(xué)生最熟悉的全等三角形知識(shí)，學(xué)生相對(duì)比較容易做出該題.所以教師可以作以下的變化，讓學(xué)生再思考：

在正方形ABCD中，點(diǎn)P是CD上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，分別過(guò)點(diǎn)B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足為E、F，請(qǐng)?zhí)剿鰾E、DF、EF這三條線(xiàn)段長(zhǎng)度有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

圖5是先讓點(diǎn)P在正方形的邊長(zhǎng)CD上“運(yùn)動(dòng)”，學(xué)生可以模仿課本上的題目進(jìn)行猜想與證明，圖6與圖7則讓點(diǎn)P在正方形的邊長(zhǎng)CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上“運(yùn)動(dòng)”，把學(xué)生的思維引領(lǐng)到另一個(gè)高度.

圖4

圖5

圖6

圖7

如圖8，ABCD是一個(gè)正方形花園，E、F是它的兩個(gè)門(mén)，且DE=CF，要修建兩條路BE和AF，這兩條路等長(zhǎng)嗎？它們有什么位置關(guān)系？

圖8

利用同樣的知識(shí)點(diǎn)學(xué)生也是相對(duì)比較容易做出該題，這兩道題可以放到一起進(jìn)行訓(xùn)練，讓學(xué)生進(jìn)行比較，總結(jié)相同與不同之處.也可以分開(kāi)一段時(shí)間，講新課時(shí)先做一題，留一題到復(fù)習(xí)時(shí)再用，那么就可以起到鞏固提高的作用.如果是復(fù)習(xí)時(shí)再用，那么教師又可作以下的變動(dòng)，讓學(xué)生再思考：

已知正方形ABCD，如圖9，E是AD上的一點(diǎn)，過(guò)BE上一點(diǎn)O作BE的垂線(xiàn)，交AB于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，求證：BE= GH.

圖9是在原題上稍作變動(dòng)，即把原題中的一個(gè)結(jié)論BE⊥GH作為已知，G為AB上任意一點(diǎn)，指導(dǎo)學(xué)生去作輔助線(xiàn)AH′∥GH（如圖12），然后證明全等才能得到最后的結(jié)果.

圖9

圖10

圖11

圖10在圖9的基礎(chǔ)上又作變動(dòng)，E、F、G、H四點(diǎn)都在正方形的邊上，EF⊥GH，結(jié)論變?yōu)榍笞C：EF=GH.指導(dǎo)學(xué)生去作輔助線(xiàn)AM∥EF，DN∥GH（如圖13），然后再證明全等就可得到最后的結(jié)果.

圖12

圖13

圖14

圖11干脆把E、F、G、H四點(diǎn)搬到了正方形邊長(zhǎng)的延長(zhǎng)線(xiàn)上，還是EF⊥GH，結(jié)論還是求證：EF=GH.指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)上兩題的思路，把EF、GH平移回到正方形內(nèi)部（如圖14），采用相同的方法可以得到相同的結(jié)論.

需要作輔助線(xiàn)的題目，對(duì)初中學(xué)生來(lái)說(shuō)就是一個(gè)難點(diǎn)，甚至成了一道不易跨越的鴻溝，在教學(xué)當(dāng)中教師精選課本上的習(xí)題，把這些典型的題目用好、變通，讓學(xué)生從題海中跳出來(lái)，不失為老師與學(xué)生的共同福音.

解題是數(shù)學(xué)的重要教學(xué)活動(dòng)，解題過(guò)程中當(dāng)學(xué)生思維受阻，處于時(shí)而豁然開(kāi)朗、時(shí)而陷入困境時(shí)，給予恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥，會(huì)對(duì)學(xué)生影響極深；當(dāng)學(xué)生對(duì)待困難處在猶豫不決時(shí)，給予點(diǎn)撥與鼓勵(lì)，學(xué)生會(huì)信心十足；當(dāng)學(xué)生的解法有創(chuàng)新時(shí)，給予點(diǎn)撥與肯定，學(xué)生會(huì)更上一層樓……這不僅是點(diǎn)撥解題，也是點(diǎn)撥人生.

三、增加題目的難度和變化

對(duì)于有數(shù)學(xué)天賦、學(xué)有余力的學(xué)生，則可設(shè)置一些選學(xué)內(nèi)容或課本習(xí)題中較難的題目加以變化，讓他們的聰明智慧能得到淋漓盡致的發(fā)揮.

案例3在一副三角板中，將一塊含30°角的三角板DEF的直角頂點(diǎn)D放在一塊含45°角的三角板ABC的斜邊AC的中點(diǎn)上逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，直角三角板DEF的短直角邊為DE，長(zhǎng)直角邊為DF，且AB=BC=4.

（1）如圖15，在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，DM與DN，BM與CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

（2）在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，兩塊三角板重疊出四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若變化，如何變化；若不變，求出當(dāng)時(shí)四邊形DMBN的面積.

（3）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至圖16、圖17的位置，圖16延長(zhǎng)AB、BC交DE、DF于M、N；圖17延長(zhǎng)FD、ED交BC、AB于N、M，則DM與DN，BM與CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論.

圖15

圖17

圖16

還可以把圖形變換成以下兩個(gè)“矩形”與“三角形”，如圖18，O為矩形ABCD的中心，將直角三角板的直角頂點(diǎn)與O點(diǎn)重合，轉(zhuǎn)動(dòng)三角板使兩直角邊始終與BC、AB相交，交點(diǎn)分別為M、N.如果AB=4，AD=6，OM=x，ON=y，則y與x的關(guān)系是_________.

總之，長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐使筆者體會(huì)到：如能對(duì)基礎(chǔ)題加以研究，觸類(lèi)旁通，將收到事半功倍的效果.一題多變是開(kāi)發(fā)智力、培養(yǎng)能力的一種行之有效的方法，進(jìn)行思維分析，探討解題規(guī)律和對(duì)習(xí)題的多角度“追蹤”，能“以少勝多”地鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.掌握基本的解題方法和技巧，這對(duì)溝通不同知識(shí)之間的聯(lián)系，開(kāi)拓思路，培養(yǎng)發(fā)散思維能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣都是十分有益的.

圖18

1.文衛(wèi)星.數(shù)學(xué)教學(xué)中的育人藝術(shù)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2003（7）.

2.肖研.關(guān)于初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的幾點(diǎn)建議——讓學(xué)生在“講題”中提高數(shù)學(xué)能力［J］.課程教育研究，2013（10）.

3.平志明.培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣優(yōu)化初中數(shù)學(xué)教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2011（14）.H