☉浙江省寧波市鄞州高級中學(xué) 葉琪飛

滲透學(xué)法，讓學(xué)生的思維枝繁葉茂
——以“向量加法運算及其幾何意義”為例

☉浙江省寧波市鄞州高級中學(xué) 葉琪飛

中國教育科學(xué)研究院教育綜合改革實驗區(qū)“第三屆高質(zhì)量課堂展示活動”于2015年1月5日～6日在重慶舉行.來自全國各綜合改革實驗區(qū)的領(lǐng)導(dǎo)專家和老師共450余人參加會議，這次“第三屆高質(zhì)量課堂展示活動”為期兩天，全國八個教育綜合改革實驗區(qū)高中數(shù)學(xué)優(yōu)秀教師展示了各區(qū)域的生態(tài)課堂、智慧課堂、文化課堂、卓越課堂、幸福課堂、品質(zhì)課堂、生動課堂等各具特色的課堂模式，部分課堂為同課異構(gòu)，充分體現(xiàn)了實驗區(qū)的成果和特色.由實驗區(qū)的8位高中數(shù)學(xué)教研員組成的評委團現(xiàn)場打分，筆者執(zhí)教的“向量加法運算及其幾何意義”排名第一，獲得特等獎.現(xiàn)將其整理，與同行分享.

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念，它是“溝通代數(shù)、幾何、三角的一種工具”，其工具作用主要體現(xiàn)在向量的運算方面，向量的加法運算是向量運算的基礎(chǔ).平面向量的加法運算是通過類比數(shù)的加法，以位移的合成、速度的合力等兩個物理模型為背景引入的.向量的加法不同于數(shù)的加法，運算中包含大小與方向兩個方面，向量加法的法則是通過畫圖得到的，從這個角度來看，研究向量加法是學(xué)生學(xué)習過程中的一種突破.是學(xué)習向量的減法、數(shù)乘及平面向量的坐標運算等內(nèi)容的知識基礎(chǔ)，為進一步理解其他的數(shù)學(xué)運算（如函數(shù)、映射、變換、矩陣的運算等）創(chuàng)造了條件，向量的加法在這里起著承上啟下的作用.通過不斷與數(shù)進行類比，學(xué)習向量加法及其幾何性質(zhì)，充分體現(xiàn)了類比思想在研究問題過程中的重要作用.

一、通過類比，確定任務(wù)

1.教學(xué)片斷呈現(xiàn)

“同學(xué)們，你們在十幾年的數(shù)學(xué)學(xué)習過程中，始終都跟兩類對象打交道：數(shù)與形.對數(shù)的學(xué)習，我們不妨一起來梳理一下，經(jīng)歷以下內(nèi)容：數(shù)的概念；數(shù)的運算；數(shù)的運算規(guī)律；數(shù)的運算應(yīng)用舉例.模仿對數(shù)的學(xué)習，請設(shè)計對向量的學(xué)習清單.

2.評析與思考

荷蘭著名數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中說：“數(shù)學(xué)是充滿聯(lián)系的，不要教孤立的片段，應(yīng)該教聯(lián)系的材料.”可將對平面向量的學(xué)習類比于數(shù)的學(xué)習，學(xué)生在十幾年對數(shù)的學(xué)習過程中，其流程極具程序化：概念—運算—運算律—應(yīng)用舉例，將類比這一思維方式貫穿課堂始終，引領(lǐng)全局，一氣呵成，一個好的課堂結(jié)構(gòu)應(yīng)該是站在知識系統(tǒng)的高度引領(lǐng)學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，將類比這種方法深入學(xué)生內(nèi)心，進行現(xiàn)場組織，這樣能為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展提供源源不斷的源泉.

二、概念同化，重在遷移

1.教學(xué)片斷呈現(xiàn)

引入1：這次來重慶筆者有兩種計劃，從地圖上看：第一種計劃從寧波出發(fā)途徑北京到重慶，第二種計劃是直接從寧波到重慶（展示中國地圖）.這是物理背景中位移的合成，第一種計劃中兩次位移的結(jié)果與第二次一次位移的結(jié)果相同，物理中把后一次位移稱為前兩次位移的和，去掉物理背景，我們可以視其兩個向量的和.

引入2：到了重慶自己肯定要到朝天門碼頭看看，朝天門碼頭在長江與嘉陵江的交匯處，夜景非常漂亮，如果乘上一艘船觀賞兩岸的風景更是一大美事.數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運算的角度看，船實際的行駛速度v可以認為是與船在靜水中的速度v1和水流的速度v2的和.

2.評析與思考

上公開課要接地氣，貼近學(xué)生實際，才能產(chǎn)生共鳴，學(xué)生對向量這個概念并不陌生，完全沒必要推倒重來，在物理學(xué)科中，位移的合成，速度、力的合成都是向量加法的物理模型，在矢量的合成中學(xué)生對三角形法則與平行四邊形法則了然于心，掌握得很熟練.那數(shù)學(xué)為什么還要學(xué)習向量呢？相比矢量，向量更具有一般性和普適性，向量的起點可以隨意，只要方向和長度確定，可以自由平行移動，數(shù)學(xué)中對兩向量加法把握住原有知識的生長點，老師要做的工作只需要喚醒.

三、植入探究，碰撞思維

1.教學(xué)片斷

呈現(xiàn)教師用兩個實物向量演示，反復(fù)強調(diào)“首尾連，共起點”.再擺弄兩個道具向量，如果兩個向量共線，和向量有沒有？共線時平行四邊形法則沒有了和向量.三角形法則還是有和向量，因此它的“口訣”可以借用到共線中探究，作同向共線和反向共線的和向量時要求每個向量的起點和終點標上大寫字母，便于說明和向量是在哪里.第一、二組作同向共線和向量，第三、四組作反向共線和向量，自己完成后把另外兩組的任務(wù)也完成好，教師巡視.

請兩位學(xué)生在實物投影儀上展示.教師小結(jié)，補充說明.強調(diào)借用三角形法則的“口訣”——首尾連，起點指向終點.小組討論內(nèi)容大于形式，創(chuàng)造性地調(diào)動小組長和組員的學(xué)習積極性，教師提問，前后4人一組，分組交流，了解學(xué)生思考問題的進展過程，鼓勵學(xué)生在學(xué)習了兩種求和方法的認知基礎(chǔ)上，通過作圖展示突破思維的障礙，學(xué)習小組展示成果，學(xué)生在合作探究中得出結(jié)論：（a+b）+c=a+（b+c）.教師讓學(xué)生明確探究途徑是使用加法法則作圖研究，并且作圖需要設(shè)計，選擇理想的方法，清晰表述證明過程，學(xué)生通過合作交流、自主探究，通過畫圖動手驗證，完成對相關(guān)運算律的證明.

2.評析與思考

新課程改革倡導(dǎo)自主、探究、合作，要求改善學(xué)生的學(xué)習方式.本節(jié)課有對向量的運算法則、運算律的合作探究和分組討論，學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)現(xiàn)過程，感受解決問題的喜悅，教師在這個過程中作為參與者、引導(dǎo)者、合作者，充分體現(xiàn)了教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用.

四、數(shù)學(xué)建模，應(yīng)用舉例

1.教學(xué)片斷呈現(xiàn)

在引入的時候，筆者向大家展示了朝天門碼頭下游的其中一艘船的速度合成，下面筆者加入了一些具體數(shù)據(jù)，看看大家學(xué)以致用的能力.

長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進行運輸.一艘船從長江南岸A點出發(fā)，以km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h.

（1）試用向量表示江水速度、船速及船的實際航行的速度；

（2）求船實際航行速度的大小與方向（.用與江水速度間的夾角表示）.

2.評析與思考

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，以及數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識.上課的引入情境不能上課伊始一用了之，然后束之高閣，在課中最好有個呼應(yīng)作用，本課例中的應(yīng)用切合引入問題背景，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習過程是一個持續(xù)的“無疑—有疑—無疑”的動態(tài)循環(huán)和提高超越過程.要培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力，而應(yīng)該多次使用.

五、概念延伸，文化引領(lǐng)

1.教學(xué)片斷呈現(xiàn)

這節(jié)課之后，你還想做些怎么樣的探究對所學(xué)內(nèi)容進行小結(jié)，為實際應(yīng)用打下基礎(chǔ).通過開放型問題，拓展學(xué)生的視野，提高學(xué)生的探究意識.同學(xué)們，向量加法運算是向量運算中最基本的一種運算，向量和的求作方法同學(xué)們也必須掌握，而“和”是中國文化的特征向量，也是我們所追求的最高境界，我們現(xiàn)在在學(xué)海中遨游，要使我們自己的速度與風速、洋流的速度合起來的和速度達到最大，用今天學(xué)習的平行四邊形法則知道，只要方向盡可能一致時，實際的速度會更快些.最后祝愿大家在今后的學(xué)習中乘風破浪，利用一切有利因素，堅持不懈，到達理想的彼岸，謝謝大家！

2.評析與思考

數(shù)學(xué)課堂要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值，做到數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)文化的巧妙融合，做到“潤物細無聲”，雖不能將課程三維目標承載在一堂課上，但如果每堂課不分重點課程目標，那課程目標又從何談起？從問題提出到問題解決都竭力把探究問題的主動權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生操作實驗、直觀感知、自主探索、合作交流，使學(xué)生全面參與、全員參與、全程參與，真正確立其主體地位.而教師作為數(shù)學(xué)學(xué)習的組織者、引導(dǎo)者、合作者，要及時給予點撥和糾正.

注重學(xué)科間的貫通，推進扎實，創(chuàng)意新穎，充分調(diào)動了學(xué)生的思維積極性，并立足于小組合作及小組負責人檢視指導(dǎo)組員等方法，有效挖掘了學(xué)生的自主學(xué)習潛力，為高中數(shù)學(xué)的生動課堂教學(xué)做出了極具意義的探索.

1.石志群.“練習”不一定就是給“練”的［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2011（7）.

2.葉琪飛.淺論變式教學(xué)的有效性［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2012（5）.

3.章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個論題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2010（3）.

4.趙緒昌.淺談數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的等待［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2011（6）.F