☉江蘇省海安縣曲塘中學(xué) 徐成武

輕沙走馬路無(wú)塵
——談數(shù)學(xué)解題的三重境界

☉江蘇省海安縣曲塘中學(xué) 徐成武

高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的初級(jí)目的是為了提高學(xué)生應(yīng)試的水平，提高其在高考中的應(yīng)試分?jǐn)?shù)，這是絕大部分學(xué)生在中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中比較切合實(shí)際的目標(biāo).另一方面，課程改革在穩(wěn)步前行，課程改革的目標(biāo)非常清晰：要致力于學(xué)生對(duì)形式化數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的實(shí)踐，逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法于數(shù)學(xué)教學(xué)之中，不斷培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中的創(chuàng)新意識(shí)和思維導(dǎo)向的指導(dǎo)，既形成扎實(shí)的基本功，也形成一定的運(yùn)用、創(chuàng)新能力.

陜西師大羅增儒教授在談到如何解題時(shí)，曾經(jīng)這樣談及：對(duì)教師而言，首先要會(huì)做題，這是起碼的基本能力，其次是會(huì)變題，能通過(guò)一個(gè)問(wèn)題變換到一類問(wèn)題，進(jìn)而解決是更高思維邏輯的體現(xiàn)，最后是用思想方法歸類解題，這是最高境界的體現(xiàn)，當(dāng)學(xué)會(huì)了從思想方法的高度來(lái)看如何解數(shù)學(xué)問(wèn)題，那么中學(xué)數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的方法永遠(yuǎn)是那么幾類.筆者思索羅教授在《解題學(xué)導(dǎo)論》中的一席話，將其落地生根、更接中學(xué)數(shù)學(xué)解題而言，應(yīng)該恰好可以理解為中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)的三種境界：其一，如何解一般問(wèn)題，這里不外乎數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的基本手段（包括熟練化、系統(tǒng)化、反思等），筆者稱之為一維數(shù)軸式的解題；其二，如何解一類問(wèn)題，稍難的數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以深化、研究，將其歸納小結(jié)，通過(guò)一個(gè)問(wèn)題可以引導(dǎo)學(xué)生解決一類問(wèn)題，筆者稱之為二維坐標(biāo)式的解題；最后，針對(duì)一系列問(wèn)題，總結(jié)其問(wèn)題解決的思想方法，站在更高的位置來(lái)看待問(wèn)題的解決，這是數(shù)學(xué)解題的更高境界，筆者稱之為三維空間式的解題.將解題教學(xué)用三種螺旋式上升關(guān)系進(jìn)行合理銜接，正是解題教學(xué)的三重境界.本文從案例結(jié)合的角度，探討解題教學(xué)如何層層遞進(jìn)，讓師生在不知不覺(jué)中感受數(shù)學(xué)解題的魅力.

境界一：一維數(shù)軸式解題

單一的解題，是指僅僅孤立地解決問(wèn)題.在新知學(xué)習(xí)階段，學(xué)生往往處于一維數(shù)軸式的處理模式.為何如此比喻呢？數(shù)學(xué)家王元說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)知識(shí)像分布在數(shù)軸上的數(shù)，比方說(shuō)數(shù)字0猶如集合，隨著認(rèn)識(shí)的增加，我們認(rèn)識(shí)了數(shù)字1，這就是集合之后的函數(shù)內(nèi)容，只有一個(gè)個(gè)數(shù)字的學(xué)習(xí)、認(rèn)知才能將數(shù)軸上的數(shù)字逐一認(rèn)識(shí)，這里的過(guò)程正是單一模式的解決問(wèn)題.筆者認(rèn)為，教師解題教學(xué)的首要問(wèn)題是如何學(xué)會(huì)一維數(shù)軸式解題，這需要學(xué)生三個(gè)方面的提升：首先是數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知和內(nèi)化，用王元教授的話說(shuō)即是基本保障；其次是典型問(wèn)題的感知、感悟，這是將概念落到實(shí)處的體現(xiàn)；最后是一定的鞏固訓(xùn)練，對(duì)于單一數(shù)軸式解題的提高和培養(yǎng)，不必要以題海訓(xùn)練模式進(jìn)行低效反復(fù)操作從而使學(xué)生喪失學(xué)習(xí)積極性.因此，將上述環(huán)節(jié)有條不紊、循序漸進(jìn)地展開(kāi)，是做好解題教學(xué)第一重境界的基本.

案例1：判斷△ABC解的個(gè)數(shù)（必修5第一章正弦定理習(xí)題）.

問(wèn)題：在△ABC中，由下列各組條件求解三角形，其中有兩個(gè)解的是_________________.

①b=20，A=45°，C=80°；②a=30，c=28，B=60°；

③a=14，b=16，A=45°；④a=12，c=15，A=120°；

利用正弦定理判斷△ABC解的個(gè)數(shù)的可能性，從實(shí)際教學(xué)效果來(lái)看，學(xué)生掌握的程度離教師的期望是比較遠(yuǎn)的.筆者認(rèn)為學(xué)生并沒(méi)有認(rèn)識(shí)到該知識(shí)的一維數(shù)軸式上的重點(diǎn)：（1）何種三角形才會(huì)有兩解？（2）有多解的三角形如何判斷？因此筆者認(rèn)為，解決問(wèn)題之前，先解決該知識(shí)的基本環(huán)節(jié)（如表1和表2）.

表1

表2

在學(xué)生掌握上述基礎(chǔ)知識(shí)后，繼續(xù)解決給出的相關(guān)問(wèn)題.

分析：對(duì)于①，AAS，必定一解；

對(duì)于②，SAS，必定一解；

對(duì)于③，SSA，sinA＜1且a＜b，兩解；

對(duì)于④，SSA，且C＞A=120°，無(wú)解；

對(duì)于⑤，SSS，必定一解；

對(duì)于⑥，SSA，sinB=1，一解.

說(shuō)明：從本題的教學(xué)可以看出，筆者引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題的步驟是按照學(xué)生認(rèn)知的三個(gè)步驟進(jìn)行的，既有數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)的回顧，也有對(duì)其問(wèn)題解決過(guò)程的啟發(fā)和引導(dǎo)，并在問(wèn)題解決最后以同一知識(shí)類型問(wèn)題給予鞏固，這樣的解決方式對(duì)于單一知識(shí)的問(wèn)題解決是比較完備的，在一維數(shù)軸式上的知識(shí)點(diǎn)解決也是線性的、系統(tǒng)化的，讓學(xué)生在解題第一重境界的領(lǐng)悟上做到扎實(shí)有序、循序漸進(jìn).

境界二：二維坐標(biāo)式解題

如果說(shuō)一維數(shù)軸式解題教學(xué)是橫向的一種實(shí)施，那么教師完善解題教學(xué)的第二境界需要對(duì)解題教學(xué)進(jìn)行縱向的嘗試.一維數(shù)軸式解題是對(duì)單一知識(shí)的解決，但是單一知識(shí)存在著知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用的簡(jiǎn)單性、直接性，使得學(xué)生無(wú)法將復(fù)雜問(wèn)題通過(guò)純粹單一解題進(jìn)行鞏固訓(xùn)練提升，必須依賴對(duì)知識(shí)更深程度的分析，通過(guò)縱向的一種變化來(lái)加強(qiáng).筆者認(rèn)為這種方式加強(qiáng)的數(shù)學(xué)解題教學(xué)，是對(duì)知識(shí)間聯(lián)系的一種整合，它有利于知識(shí)之間交叉混合解決問(wèn)題，是對(duì)前一種境界的提升.華師大張奠宙教授專門就新課程下與時(shí)俱進(jìn)的“雙基”提出了獨(dú)到的見(jiàn)解：傳統(tǒng)的“雙基”是指加強(qiáng)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，但是這遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，而今數(shù)學(xué)教學(xué)還需要將這些基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行合理整合的使用，我認(rèn)為方式可以是一題多解加深知識(shí)間的銜接，或者是一題多變的探索，通過(guò)一個(gè)問(wèn)題加深一類問(wèn)題的解決，這種方式才是與時(shí)俱進(jìn)的“雙基”.筆者認(rèn)為，二維坐標(biāo)式的數(shù)學(xué)解題教學(xué)正是符合了這一精神的教學(xué)所在.

案例2：在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=3，BC=10，則___________.

分析：學(xué)生思考后提出兩種解法，一是根據(jù)問(wèn)題結(jié)論的普適性，通過(guò)特例“正三角形”得出答案；二是利用平面向量基本定理將未知向量用已知向量進(jìn)行分解的一般化處理方法.教師在對(duì)這兩種方法做出評(píng)價(jià)，肯定了學(xué)生的思考后，提問(wèn)有沒(méi)有更好的方法.在學(xué)生思考不得其所時(shí)，給出“平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和”的證明過(guò)程，啟發(fā)學(xué)生通過(guò)自主閱讀，從該命題證明|a+b|2+|a-b|2的過(guò)程中來(lái)尋找啟動(dòng)問(wèn)題的原型a·b的處理方式，由學(xué)生來(lái)推導(dǎo)得到最終將其應(yīng)用于啟動(dòng)問(wèn)題，起到了最大程度簡(jiǎn)化的作用，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到了該恒等式的價(jià)值所在.

變式1：在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D、E是線段BC上兩點(diǎn)，且的取值范圍是________.（在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)進(jìn)行鞏固，即學(xué)即用，使學(xué)生進(jìn)一步看到“極化恒等式”的應(yīng)用價(jià)值，從而引出學(xué)生繼續(xù)深入學(xué)習(xí)的熱情）

變式2：在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB=60°，C為弧上的動(dòng)點(diǎn)，AB與OC交于點(diǎn)P，則的最小值是_______.

變式3：已知a·b=0，向量c滿足（c-a）·（c-b）=0，|ab|=5，|a-c|=3，則a·c的最大值為_(kāi)_______.（難度逐次遞進(jìn)，但與啟動(dòng)問(wèn)題同根同源.通過(guò)習(xí)題的巧妙編排，使學(xué)生不斷地思考，在思考中鞏固、深化、提高）

歸納：上述“向量恒等式”使用的適用條件：共起點(diǎn)的向量求數(shù)量積的值或范圍，在已知三角形中有一邊確定或其范圍一定.

說(shuō)明：從本題的變換可以看出，一個(gè)問(wèn)題涉及數(shù)個(gè)一維數(shù)軸式的知識(shí)點(diǎn)，將一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行變化探究和多角度分析，可以較為高效地提高從一個(gè)典型問(wèn)題輻射一類問(wèn)題，即在用數(shù)量積求取值范圍相關(guān)問(wèn)題時(shí)如何利用向量恒等式這是新課程教學(xué)在指導(dǎo)我們解題教學(xué)時(shí)需要注意的.

境界三：三維空間式解題

如果說(shuō)將高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的基本功和常規(guī)問(wèn)題熟練化做得非常完美的話，也就是上述兩個(gè)緯度的解題做到了比較完善，筆者認(rèn)為還能對(duì)學(xué)生更好的指導(dǎo)來(lái)自數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).課程標(biāo)準(zhǔn)制定參與者北師大張英伯教授對(duì)于數(shù)學(xué)解題教學(xué)給出了這樣的總結(jié)性話語(yǔ)：中學(xué)數(shù)學(xué)要傳授解題，但更要傳授在這背后所呈現(xiàn)的思想方法，我認(rèn)為能力性的思想方法主要是轉(zhuǎn)化與化歸思想，這一思想方法是貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，除此之外諸如函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等知識(shí)性的思想方法屬于第二層次，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要多給予這種轉(zhuǎn)換的指導(dǎo)，有利于學(xué)生問(wèn)題解決能力的培養(yǎng)以及數(shù)學(xué)解題能力的提高.因此，筆者將思想方法滲透的解題教學(xué)稱之為三維空間式的解題，站在系統(tǒng)的高度解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，做到輕沙走馬路無(wú)塵. 2）2+（y-2）2=2，這是一個(gè)以點(diǎn)（2，2）為圓心、√2為半徑的圓，作出圖像（如圖1），從圖中可知兩向量、的夾角的取值范圍是

圖1

說(shuō)明：反觀本題的解決并非太難，甚至很多學(xué)生都覺(jué)得不過(guò)如此，按照自身實(shí)際能力也能解決.但問(wèn)題真正難在哪里？難在具備數(shù)學(xué)思想方法的眼光！拋開(kāi)問(wèn)題給出的答案，筆者曾經(jīng)嘗試過(guò)，四十五位同學(xué)中具備利用正確的數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的人不超過(guò)五位，可見(jiàn)學(xué)生往往在問(wèn)什么想什么！根本不可能站在系統(tǒng)的高度思考一個(gè)問(wèn)題.反思本題，用到的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)并不難，知識(shí)之間的鏈接整合也不是觸摸不到，難的是無(wú)法找到合適的切入點(diǎn)找到正確的思想方法，進(jìn)而選取最簡(jiǎn)捷的數(shù)形結(jié)合方式.

總之，新課程數(shù)學(xué)解題教學(xué)不能仿似傳統(tǒng)解題教學(xué)以大量訓(xùn)練替代，而且課程改革改變了數(shù)學(xué)解題教學(xué)的理念，讓教師不斷從效率角度提升解題教學(xué)，筆者經(jīng)過(guò)思考認(rèn)為層層遞進(jìn)、螺旋式上升的解題教學(xué)是提升學(xué)生問(wèn)題解決能力的關(guān)鍵.從知識(shí)點(diǎn)的熟練扎實(shí)，到知識(shí)橫縱整合，到最后從思想方法的高度進(jìn)行滲透，將優(yōu)秀學(xué)生的問(wèn)題解決能力進(jìn)行更好的提升，久而久之形成體系的解題教學(xué)才能成為適應(yīng)新課程的高效教學(xué).

1.羅增儒.數(shù)學(xué)解題導(dǎo)論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2002.

2.張奠宙.再談數(shù)學(xué)雙基［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2013（8）.

3.金鳳明.庖丁解牛與數(shù)學(xué)解題［J］.上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2008（4）.A