☉甘肅省天水市一中 宮前長

新課程極坐標(biāo)方程教學(xué)：困惑、解惑與感悟

☉甘肅省天水市一中 宮前長

一、問題提出

極坐標(biāo)方程在新課程人教A版《數(shù)學(xué)》（選修4-4）中占有比較重要的地位，是提升學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解平面中點(diǎn)位置確定的思想方法，極坐標(biāo)是用“距離”與“角度”來刻畫平面上點(diǎn)的位置的坐標(biāo)形式.極坐標(biāo)概念的學(xué)習(xí)從某一個(gè)側(cè)面揭示了平面點(diǎn)和空間點(diǎn)的數(shù)學(xué)多元化理解、表示及其本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是更好地深化理解數(shù)學(xué)基本思想的最好素材.極坐標(biāo)方程是一種確定點(diǎn)的方法，具有概括性、抽象性和多變性等特征，教材編者在新課程人教版A版的選修模塊4中編寫極坐標(biāo)方程，給學(xué)生提供了一種新的求曲線方程的方法、思路和策略.

極坐標(biāo)是一種思想、一種方法、一種工具，更是一種數(shù)學(xué)文化，如何傳承、延續(xù)和傳播，讓學(xué)生站在較高層次上用滲透、傳播極坐標(biāo)思想解決問題.為此，在新課標(biāo)下如何準(zhǔn)確定位、把握極坐標(biāo)方程的教學(xué)？值得思考和研究.

二、備課困惑

在備“簡單曲線的極坐標(biāo)方程”兩節(jié)課時(shí)，從選修4-4模塊中的整體內(nèi)容編排上進(jìn)行了認(rèn)真地思考，內(nèi)容涉及圓的極坐標(biāo)方程和直線的極坐標(biāo)方程兩部分，教材編寫、安排上采用“思考”來引導(dǎo)學(xué)生探究具體問題：“如何確定學(xué)校建筑物的位置”，根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，概括確定平面內(nèi)點(diǎn)的位置的因素：“距離”與“角度”，總感覺采用“距離”與“角度”來刻畫點(diǎn)的位置比采用直角坐標(biāo)更自然、更方便，這樣引出極坐標(biāo)的相關(guān)概念.

教材通過“探究”需要學(xué)生寫出“半徑為a，過極點(diǎn)且在極軸上的圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)（ρ，θ）滿足的條件”，其實(shí)質(zhì)是求圓的極坐標(biāo)方程.由于直線的極坐標(biāo)方程復(fù)雜，教材將直線的極坐標(biāo)方程放在圓的極坐標(biāo)方程之后.教材的特點(diǎn)是在內(nèi)容上分層次設(shè)計(jì)、編排，在教學(xué)定位上要讓學(xué)生理解極坐標(biāo)的本質(zhì)含義、極坐標(biāo)下簡單曲線方程的計(jì)算方法和極坐標(biāo)表示簡單曲線的簡潔性作用，尤其后面安排“思考”的用意是比較同一圓、直線在不同的坐標(biāo)系下的方程，體會(huì)適當(dāng)?shù)剡x擇坐標(biāo)系的重要性，加強(qiáng)培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的歸納概括能力、邏輯推理能力等.

教師集體備課（筆者在張家川回族自治縣第一高級(jí)中學(xué)支教），縣中學(xué)有一些老師提出要根據(jù)教材的編排進(jìn)行授課，部分教師提出按照重點(diǎn)中學(xué)對(duì)待數(shù)學(xué)選修課程來進(jìn)行，即極坐標(biāo)的知識(shí)不需要講解，只須讓學(xué)生記住極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的坐標(biāo)互化關(guān)系式（ρ2=x2+y2，x= ρcosθ，y=ρsinθ），會(huì)轉(zhuǎn)化為普通方程就行，到時(shí)能夠應(yīng)付高考試題的解答即可，這樣處理上課只需一節(jié)課，但學(xué)生對(duì)極坐標(biāo)概念的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用的深層次理解相對(duì)減弱，很難對(duì)極坐標(biāo)的相關(guān)問題進(jìn)行探究，使新課標(biāo)教材的設(shè)置形同虛設(shè)，尤其對(duì)“簡單曲線的極坐標(biāo)方程”一節(jié)，更是簡單地認(rèn)為：只要記住極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的坐標(biāo)互化公式，直接轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的方程、解題思路和處理策略就行.這樣做減弱了學(xué)生對(duì)極坐標(biāo)系下簡單曲線的深層次理解，剝奪了學(xué)生學(xué)習(xí)極坐標(biāo)方程的過程經(jīng)歷，雖然多次訓(xùn)練可以得到高分，卻違背了新課標(biāo)的數(shù)學(xué)教育理念.

備課組老師結(jié)合縣區(qū)中學(xué)的學(xué)生認(rèn)知層次，達(dá)成統(tǒng)一認(rèn)識(shí)：雖然跟著高考的指揮棒走，對(duì)這一節(jié)采取“推導(dǎo)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的坐標(biāo)互化公式，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化”的教學(xué)思路進(jìn)行，上一節(jié)課，訓(xùn)練一節(jié)課，耗時(shí)少、花得精力更少，短期效果好，考試分?jǐn)?shù)高，但學(xué)生恰恰丟了好多思維訓(xùn)練的機(jī)會(huì)和學(xué)習(xí)經(jīng)歷，自然對(duì)圓、直線在不同坐標(biāo)系下的方程求解的理解不深刻，對(duì)后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)造成了許多困難.因此，在教學(xué)中如何定位“簡單曲線的極坐標(biāo)方程”，是以極坐標(biāo)方程的求解本質(zhì)及其所反映的極坐標(biāo)下的曲線方程求解的基本思想為重呢？還是以會(huì)計(jì)算極坐標(biāo)方程的有關(guān)問題為重呢？如何安排教學(xué)，才能收到很好的教學(xué)效果呢？

大家?guī)е@個(gè)困惑，反復(fù)推敲，查閱資料，經(jīng)過熱烈的討論，結(jié)果仍然按照新課標(biāo)的理念、新課標(biāo)的要求和教材的編排特征來處理教材，特別強(qiáng)調(diào)只要把極坐標(biāo)的相關(guān)概念弄清楚，讓學(xué)生親歷簡單曲線的極坐標(biāo)方程的求解過程，并依據(jù)學(xué)生自身的學(xué)習(xí)情況，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行拓展，必然會(huì)收到很好的教學(xué)效果.最終依據(jù)新課標(biāo)進(jìn)行了備課、上課，沒有簡單地按照高考指揮棒來進(jìn)行教學(xué).

三、課前分析與反思

教師教學(xué)用書中表明用2個(gè)課時(shí)完成“簡單曲線的極坐標(biāo)方程”的教學(xué).基于前面的困惑，再加上中等偏弱的學(xué)生（張家川縣第一中學(xué)學(xué)生）較多，而課堂教學(xué)時(shí)間分配只有2個(gè)課時(shí)，如何把握這節(jié)課的教學(xué)？再通過對(duì)比新課標(biāo)與以前教材對(duì)極坐標(biāo)方程的目標(biāo)要求，尋求解決問題的處理辦法.

1.極坐標(biāo)方程教學(xué)目標(biāo)解讀

極坐標(biāo)系是人教A版《數(shù)學(xué)》（選修4-4）的重要內(nèi)容，教材采用比較大的篇幅從好幾個(gè)不同的角度引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，并用“思考”、“探究”等欄目強(qiáng)化對(duì)直線、圓的方程討論，這些足以說明“簡單曲線的極坐標(biāo)方程”學(xué)習(xí)過程的重要性.

課標(biāo)要求：掌握極坐標(biāo)方程的意義；能在極坐標(biāo)中求直線和圓的極坐標(biāo)方程；通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí).

新課標(biāo)將簡單曲線的極坐標(biāo)方程教學(xué)定位，要求深刻領(lǐng)會(huì)求簡單曲線的極坐標(biāo)方程的基本方法，掌握極坐標(biāo)方程的意義和掌握一些特殊位置下的圓、直線（如過極點(diǎn)或垂直于極軸的直線）的極坐標(biāo)方程.結(jié)合數(shù)學(xué)實(shí)例培養(yǎng)學(xué)生的歸納類比推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程中，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)、辨析能力及良好的思維品質(zhì).

教學(xué)重點(diǎn)：直線和圓的極坐標(biāo)方程的求法.（第1課時(shí)的重點(diǎn)：如何根據(jù)條件列出圓的極坐標(biāo)方程，如何從圓的極坐標(biāo)方程得出圓心和半徑）

教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)不同位置的直線和圓的極坐標(biāo)方程的理解.（第1課時(shí)的難點(diǎn)：如何尋找條件列出圓的極坐標(biāo)方程，如何解決有關(guān)圓的極坐標(biāo)方程的問題）

教學(xué)方法：啟發(fā)、引導(dǎo)，合作交流.

數(shù)學(xué)選修能夠拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)領(lǐng)域，增加數(shù)學(xué)知識(shí)的廣度、提升數(shù)學(xué)知識(shí)的深度，學(xué)習(xí)時(shí)力求在輕松的氛圍中進(jìn)行，給予學(xué)生無限的思考時(shí)間，讓學(xué)生體驗(yàn)豐富多彩的數(shù)學(xué)世界，形成優(yōu)良的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

選修部分具有很好的拓展性和趣味性，能夠真正地滿足不同思維層次的學(xué)生需求，在數(shù)學(xué)拓展層面體會(huì)數(shù)學(xué)的簡潔美、內(nèi)在美，充分凸顯數(shù)學(xué)智慧魅力，盡可能地讓數(shù)學(xué)解題作用極大地發(fā)揮出來，尤其在數(shù)學(xué)知識(shí)拓展與延伸、思想方法的提煉與應(yīng)用、思維方式的訓(xùn)練與培養(yǎng)上下功夫.

2.極坐標(biāo)方程在教材的位置

坐標(biāo)系是解析幾何的基礎(chǔ)，在坐標(biāo)系中用有序?qū)崝?shù)對(duì)確定點(diǎn)的位置，再采用代數(shù)方程的方式來刻畫圖形.課標(biāo)教材中的極坐標(biāo)方程是集中設(shè)計(jì)編寫的，在人教A版《數(shù)學(xué)》（選修4-4）第一講“坐標(biāo)系”第二節(jié)“簡單曲線的極坐標(biāo)方程”重點(diǎn)處理，是本模塊的重點(diǎn)內(nèi)容，安排2個(gè)課時(shí)，通過坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)，了解曲線的多元化表示形式，有利于學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題能力的提高.對(duì)柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系等坐標(biāo)系只是簡單的介紹，讓學(xué)生借助具體實(shí)例（如圓形體育場(chǎng)看臺(tái)的座位、地球的經(jīng)緯度等）簡單了解在柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中刻畫空間點(diǎn)的位置的方法即可，并且能夠與空間直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的方法作比較，體會(huì)它們的區(qū)別.

教材一共安排3道涉及圓、直線的極坐標(biāo)方程的例題，目的就是為了更好地突出坐標(biāo)系下如何求圓、直線坐標(biāo)系方程提供了很好的素材，同時(shí)也設(shè)置了兩個(gè)探究欄和一個(gè)思考欄，目的就是讓學(xué)生通過例1明白極坐標(biāo)方程的基本求法和親歷依據(jù)數(shù)學(xué)問題的幾何特征建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，說明曲線極坐標(biāo)方程的簡捷美；例2借助特殊位置（垂直于極軸）的直線的極坐標(biāo)方程求法，總結(jié)坐標(biāo)系下求曲線方程的基本步驟：畫草圖—設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)—連接極徑—借助幾何性質(zhì)，列出極坐標(biāo)方程—檢驗(yàn)確認(rèn)；例3給出一般形式的直線的極坐標(biāo)方程.由此可見，教材的安排完全是在學(xué)生已有知識(shí)的“最近發(fā)展區(qū)”處理例題和選題的，既體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，又充分顯示了安排的合理性.教材“思考”欄的目的是利用同一直線在不同的坐標(biāo)系下的方程，感悟選擇坐標(biāo)系對(duì)曲線方程求解的重要性和思維的簡捷性.

3.極坐標(biāo)方程在認(rèn)知、能力上的要求

從數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知情境看：極坐標(biāo)系是重點(diǎn)內(nèi)容，是用距離和方位刻畫點(diǎn)的位置的方法.掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，從直線、圓的極坐標(biāo)方程與其直角坐標(biāo)方程的關(guān)系，理解和認(rèn)識(shí)極坐標(biāo)系下曲線方程的結(jié)構(gòu)特征、幾何意義，深刻思考曲線的幾何特征與適當(dāng)坐標(biāo)系選擇的簡捷性、合理性和解法優(yōu)化的必要性.

圓的幾何特征：圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑r，只要將圓心放在極點(diǎn)，圓的極坐標(biāo)方程是ρ=r，方程簡潔到了極致.

教材P12“探究”欄的目的是求圓心在極點(diǎn)，半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生類比直角坐標(biāo)系下求圓的方程的工程，先作出圖形，再根據(jù)幾何條件建立關(guān)于極徑與極角之間的關(guān)系式（方程），注意設(shè)某一點(diǎn)M（ρ，θ）為圓上除點(diǎn)O、A以外的任意一點(diǎn)后，“記住”將點(diǎn)M與極點(diǎn)O一定連接，一方面提醒ρ、θ關(guān)系模式的建立，另一方面有利于發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的幾何關(guān)系，再借助這種幾何關(guān)系容易建立曲線的方程.

教材P13“探究”欄的目的是在求過極點(diǎn)的直線極坐標(biāo)方程時(shí)，只能用相應(yīng)的兩條射線方程“組合”或“整合”表示，形式分散不統(tǒng)一，為了從認(rèn)識(shí)上消除差異就要考慮：允許極徑的取值范圍為全體實(shí)數(shù)，這就要求直線的極坐標(biāo)方程不僅考慮極徑的取值范圍，而且其方程是不唯一的.增大了學(xué)生對(duì)極坐標(biāo)方程理解的難度，其根本是極角的“多值性”所導(dǎo)致.

只有讓學(xué)生弄清坐標(biāo)系下點(diǎn)的極坐標(biāo)表示和極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置的思想方法，才能夠深層次地清楚極坐標(biāo)方程是曲線的一種表征方式.在備課時(shí)抓住學(xué)生已學(xué)內(nèi)容：在直角坐標(biāo)系的思想方法和點(diǎn)線的坐標(biāo)表示，力求教學(xué)時(shí)做到自然的、有序的和高效的類比與遷移，讓極坐標(biāo)方程的學(xué)習(xí)遷移類比，同時(shí)讓學(xué)生知道柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系的幾種坐標(biāo)系及其表示點(diǎn)的思想方法，有利于極坐標(biāo)方程的設(shè)計(jì)和整體的認(rèn)識(shí)、恰當(dāng)?shù)亩ㄎ?

4.學(xué)情分析與學(xué)法處理

處在高二年齡階段的學(xué)生，思維超越了經(jīng)驗(yàn)性邏輯判斷，一定程度上仍有依賴直觀具體的形象性材料來理解抽象的概念或邏輯關(guān)系.極坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)可以借助石子投入靜水中引起的漣漪圓圈（也可以將極坐標(biāo)系通過比較完美的蜘蛛網(wǎng)來引入）來形象比喻，將靜水中的樹葉的位置描述或確定，這樣的引入符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，再抽象出極坐標(biāo)系的建立，符合學(xué)生由具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律.

直觀形象的比喻有利于極坐標(biāo)系的建立和極坐標(biāo)思想的形成，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)不會(huì)感到茫然，通過蜘蛛能夠迅速地捕捉食物的故事，如何確定食物的位置，來激發(fā)學(xué)生對(duì)極坐標(biāo)表示的位置進(jìn)行探究，有助于對(duì)極坐標(biāo)系的含義、思想的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和理解.

四、教學(xué)片斷回放，解惑

通過直角坐標(biāo)系的建立可以描述點(diǎn)的位置，理解極坐標(biāo)也有同樣的作用，讓學(xué)生明白直角坐標(biāo)系的建立可以求曲線方程的理解，探究極坐標(biāo)系的建立是否可以求曲線方程？直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系中怎樣描述點(diǎn)的位置？曲線的方程和方程的曲線（直角坐標(biāo)系中）定義.

師：請(qǐng)大家回顧以前在直角坐標(biāo)系中求曲線方程的思想方法，結(jié)合上節(jié)極坐標(biāo)系的建立和點(diǎn)的位置的確定，類比在極坐標(biāo)系中，也可以求曲線的極坐標(biāo)方程，尋找極坐標(biāo)系中的動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極徑和極角之間的關(guān)系式就是極坐標(biāo)方程.下面各小組探究圓的極坐標(biāo)方程：

師：如圖1，在極坐標(biāo)系下，半徑為a的圓的圓心坐標(biāo)為C（a，0）（a>0），你能用一個(gè)等式表示圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)M（ρ，θ）滿足的條件嗎？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)行觀察、思考，教師引導(dǎo)，回顧直角坐標(biāo)系下求曲線方程的思想、方法和解題經(jīng)驗(yàn)，引出本節(jié)的課題，并給出極坐標(biāo)下的極坐標(biāo)方程的概念，并進(jìn)一步探究特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程.強(qiáng)調(diào)極坐標(biāo)方程的含義，依據(jù)學(xué)生所學(xué)求曲線方程的知識(shí)進(jìn)行小組合作解決相應(yīng)問題，落實(shí)極坐標(biāo)方程從學(xué)生的親歷中獲得.

生1：（黑板演算）根據(jù)題意，連接AM，點(diǎn)M是除點(diǎn)A外的圓上一點(diǎn)，則AM⊥OM，在Rt△OMA中，|OM|=|OA|· cos∠AOM，即ρ=2acosθ.驗(yàn)證點(diǎn)）和A（2a，0）也滿足上述極坐標(biāo)方程，故圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)M（ρ，θ）滿足的條件是：ρ=2acosθ.

生2：（黑板演算）根據(jù)題意，如圖2，過圓心C作OM的垂線，垂足為N，由圓的垂徑定理得，ρ，在Rt△OCN中，根據(jù)三角函數(shù)得，即得滿足條件的圓的極坐標(biāo)方程ρ=2acos.驗(yàn)證點(diǎn)）和（2a，0）也滿足上述極坐標(biāo)方程，故圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)M（ρ，θ）滿足的條件是：ρ=2acosθ.

生3：（黑板演算）根據(jù)題意，如圖3，連接CM，在△COM中，由余弦定理得|CM|2=|OC|2+|OM|2-2|OC|·|OM|·cos∠COM，化簡即得ρ=2acosθ.驗(yàn)證點(diǎn)和A（2a， 0）也滿足上述極坐標(biāo)方程，故圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)M（ρ，θ）滿足的條件是：ρ=2acosθ.

生4：（黑板演算）根據(jù)題意，如圖3，連接CM，在△COM中，由正弦定理得化簡即得ρ= 2acosθ.驗(yàn)證點(diǎn)）和A（2a，0）也滿足上述極坐標(biāo)方程，故圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)M（ρ，θ）滿足的條件是：ρ= 2acosθ.

師：大家找到的ρ=2acosθ就是滿足上述條件的圓的極坐標(biāo)方程.

給出了極坐標(biāo)方程的定義：一般地，在極坐標(biāo)系中，如果平面曲線C上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)中至少有一個(gè)滿足方程f（ρ，θ）=0，并且坐標(biāo)適合方程f（ρ，θ）=0的點(diǎn)都在曲線C上，那么方程f（ρ，θ）=0叫做曲線C的極坐標(biāo)方程.

請(qǐng)同學(xué)們解決下面給出的問題：

（1）已知圓的半徑為r，如何建立極坐標(biāo)系，可以得到圓的極坐標(biāo)方程最簡單？

（3）在極坐標(biāo)系下，半徑為a的圓的圓心坐標(biāo)為C（a，π）（a>0），求圓的極坐標(biāo)方程.

（4）在極坐標(biāo)系下，半徑為r的圓的圓心坐標(biāo)為C（a，α）（a>0，0≤α＜2π），求圓的極坐標(biāo)方程.

生5：在直角坐標(biāo)系中，圓心設(shè)置在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)時(shí)，半徑為r的圓的方程：x2+y2=r2是最簡單的；類比遷移到極坐標(biāo)系中，將圓心也放置在極坐標(biāo)系的極點(diǎn)，此時(shí)圓上任意一點(diǎn)M（ρ，θ），滿足|OM|=r，即得ρ=r，因此第（1）小問圓的極坐標(biāo)方程為ρ=r.

師：（追問）解決第（1）小問的關(guān)鍵是什么？對(duì)于極點(diǎn)在圓心，半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程：ρ=r如何理解？

生5：解決第（1）小問的關(guān)鍵是根據(jù)問題的幾何特征建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，才能使圓的極坐標(biāo)方程最簡單.根據(jù)圓的幾何特征將極點(diǎn)設(shè)置在圓心，半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程（ρ=r）是最簡單的，其方程的真實(shí)意義是：極徑ρ是定值，極角θ是任意的實(shí)數(shù)，完全凸顯了圓的定義內(nèi)容.

師：生5回答的很好，進(jìn)一步說明了圓的幾何特征：圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離都等于r.下面請(qǐng)幾位同學(xué)回答后面幾道小題.

生6：根據(jù)大家探究問題的方法，設(shè)圓上任意一點(diǎn)M（ρ，θ），分類討論：當(dāng)O、C、M三點(diǎn)不共線時(shí)，在△OCM中，由余弦定理得|CM|2=|OC|2+|OM|2-2|OC|·|OM|· cos∠COM，化簡得當(dāng)O、C、M三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)M（0，0）或）滿足上述極坐標(biāo)關(guān)系式，故得第（2）小問圓的極坐標(biāo)方程為同理可得第（3）小問圓的極坐標(biāo)方程為ρ=2acos（π-θ）.我將第（2）、（3）小問與探究問題整體思考，總覺得它們之間有一種聯(lián)系，好像是能夠用一個(gè)方程模式來表示，但我沒有找到，很遺憾！

生7：（愛動(dòng)腦筋的生7舉了二次手，急得不耐煩，筆者示意回答）我們一組早就解決問題（2）、（3）、（4）了，而且也弄清了它們之間的關(guān)系.我先將第（4）小問的解答思路敘述一下：如圖4，設(shè)圓上任意一點(diǎn)M（ρ，θ），連接CM，當(dāng)O、C、M三點(diǎn)不共線時(shí)，在△OCM中，由余弦定理得|CM|2=|OC|2+|OM|2-2|OC|·|OM|cos∠COM，化簡得極坐標(biāo)關(guān)系式ρ2=r2-a2+2aρcos（α-θ）.當(dāng)O、C、M三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)M（a-r，α）或M（a+r，α）滿足上述極坐標(biāo)關(guān)系式，因此得圓的極坐標(biāo)方程ρ2=r2-a2+2aρcos（α-θ）.

其中第（2）、（3）小問和探究問題都是上述圓的極坐標(biāo)方程的特例.對(duì)于第（2）小問，圓心）（a>0），半徑為a，則將上述方程中的α、r用和a替換，即得ρ=2acos）.對(duì)于第（3）小問，圓心C（a，π）（a>0），半徑為a，則將上述方程中的α、r用π和a替換，即得ρ= 2acos（π-θ）.這就說明第（4）小問就是圓在極坐標(biāo)系下的一般方程.

生8：（生8忽然站起來）老師，我找到了第（2）、（3）小問和探究問題的關(guān)系：這三個(gè)圓的圓心所在的位置在以極點(diǎn)為圓心，半徑為a的圓上，也可以說這三個(gè)圓是半徑為a且經(jīng)過極點(diǎn)的動(dòng)圓在幾個(gè)特殊位置的情況.

師：如何根據(jù)條件列出圓的極坐標(biāo)方程問題基本解決了，請(qǐng)大家將例題所涉及的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的普通方程.

生9：我對(duì)第（1）、（2）、（3）小問的極坐標(biāo)方程進(jìn)行等價(jià)變形：極坐標(biāo)方程兩邊用ρ去乘、化簡，再通過極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系，得到第（1）、（2）、（3）小問的普通方程分別為x2+y2=r2、x2+（y-a）2=a2、（x+a）2+y2=a2.第（4）小問沒有化簡出來.

教師在教室巡視時(shí)，對(duì)部分巡視引導(dǎo)、點(diǎn)撥，學(xué)生能積極應(yīng)對(duì)互化較好地模仿操作，部分小組的學(xué)生答案不同時(shí)，自己尋找解決問題的原因、方法.

生10：（舉手）第（4）小問的極坐標(biāo)方程化為普通方程：（x-acosα）2+（y-asinα）2=r2，表明圓心為（acosα，asinα），半徑為r的圓.（回答后學(xué)生用掌聲贊揚(yáng)）

師：將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程（普通方程）需要注意什么？

生9：老師我來說，首先明確兩種坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的條件：極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系原點(diǎn)重合；極徑與直角坐標(biāo)系的橫軸的非負(fù)半軸重合；兩種坐標(biāo)系的單位長度相同；再考慮轉(zhuǎn)化時(shí)檢驗(yàn)極點(diǎn)是否在曲線上，若在曲線上就是等價(jià)變形，否則不是等價(jià)變形.

師：說得好！極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系都是一對(duì)有序?qū)崝?shù)來確定平面上一點(diǎn)的位置方法，都是研究平面圖形的重要工具.有時(shí)根據(jù)需要進(jìn)行兩種坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化，必須掌握這兩種坐標(biāo)間的互化，注意互化公式和等價(jià)變形.將另一問題：如何從圓的極坐標(biāo)方程中得出圓心和半徑留到課外，請(qǐng)大家思考？

……

五、教學(xué)反思

雖然極坐標(biāo)教學(xué)過程中，產(chǎn)生了不少的困難、疑惑，但面對(duì)縣區(qū)學(xué)生、新教材、新課程和高考，一定要群策群力，想辦法解決問題.按照新課標(biāo)、教材對(duì)坐標(biāo)系的定位，只要精心設(shè)計(jì)教學(xué)，從學(xué)生的已有知識(shí)最近發(fā)展區(qū)入手，消除了對(duì)新課標(biāo)教材安排的種種困惑（如個(gè)別教師只介紹兩種坐標(biāo)系的互化公式，能夠做一些簡單地將極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程公式互化的套用，沒有一點(diǎn)極坐標(biāo)系的建系思想和方法），以此總結(jié)拋磚引玉，喚起同仁對(duì)新課標(biāo)教材整體編排的思考.

1.突出極坐標(biāo)原理，掌握極坐標(biāo)教學(xué)的重點(diǎn)

要想很好地解決困惑，一定要明確極坐標(biāo)的教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位和作用，抓住極坐標(biāo)是什么，要解決什么.極坐標(biāo)是選修部分的內(nèi)容，是表示空間點(diǎn)位置的一種方式方法，自然合理地從一個(gè)層面架起了代數(shù)與幾何溝通的橋梁，采用代數(shù)方法來刻畫幾何問題是極坐標(biāo)的精髓，其鮮明的概括性、解決問題的指向性、應(yīng)用的廣泛性和操作的具體性閃亮凸顯.

教學(xué)時(shí)要重點(diǎn)突出極坐標(biāo)思想、原理，以教材提供的資源著重演繹極坐標(biāo)思想方法，認(rèn)真落實(shí)教材編排的意圖和目的，極力滲透新課標(biāo)理念，讓教材編寫專家的編寫思路得到更好的體現(xiàn).尤其能夠在農(nóng)村縣區(qū)中學(xué)的學(xué)生更加深刻地理解不同坐標(biāo)系的建立思想、方法，對(duì)解決數(shù)學(xué)問題的作用和價(jià)值，如對(duì)不同坐標(biāo)系（直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系）下的圓的方程有什么認(rèn)識(shí).

2.注重極坐標(biāo)思路，突破極坐標(biāo)教學(xué)的難點(diǎn)

選修模塊既為高考命題增加了素材，又為高考題的創(chuàng)新提供了背景和數(shù)學(xué)思想，教學(xué)時(shí)要研究高考試題，明確考綱中的重點(diǎn)和?？键c(diǎn)，在教學(xué)和復(fù)習(xí)時(shí)做到位.同時(shí)要高度重視和關(guān)注極坐標(biāo)知識(shí)會(huì)與其他數(shù)學(xué)模塊結(jié)合，形成高考命題的生長點(diǎn)，這就是教學(xué)的難點(diǎn)，如極坐標(biāo)中的極坐標(biāo)原理、思路和結(jié)構(gòu)特征的表現(xiàn)是重中之重，都是以（ρ，θ）的結(jié)構(gòu)形式表現(xiàn)出來.只有明確幾何意義，才能更好地理解極坐標(biāo)概念，掌握極坐標(biāo)的應(yīng)用.

3.強(qiáng)化極坐標(biāo)思想，拓展學(xué)生的多元思維空間

《標(biāo)準(zhǔn)》既是編寫教材的依據(jù)，又是考試命題的依據(jù).學(xué)習(xí)極坐標(biāo)一節(jié)時(shí)，要充分體現(xiàn)出平面內(nèi)對(duì)點(diǎn)位置的確定有許多方法，讓學(xué)生從不同的視角進(jìn)一步地探究點(diǎn)線面的空間位置表示，拓寬思維空間和深度，讓極坐標(biāo)的教學(xué)成為學(xué)生研究數(shù)學(xué)的敲門磚，圍繞學(xué)生的發(fā)展將難點(diǎn)分散，采取有效手段突破難點(diǎn)，在極坐標(biāo)知識(shí)的層次性、相關(guān)性和系統(tǒng)性的基礎(chǔ)上探究數(shù)學(xué)本質(zhì).

1.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)選修4-4（A版）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

2.宮前長.對(duì)稱樸實(shí)見奇異內(nèi)蘊(yùn)深厚顯品位［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2013（3）.

3.宮前長.磨課“磨”出更理性的數(shù)學(xué)課堂［J］.中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2012（11）.

4.宮前長.“e”樣的背景異樣的精彩［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（9）.F