☉安徽省宣城中學(xué) 陳光明

把握核心本質(zhì) 萬(wàn)變不離其宗
——菱形視角下圓錐曲線問(wèn)題的解答

☉安徽省宣城中學(xué) 陳光明

圓錐曲線問(wèn)題幾何關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，常與菱形、平行四邊形等幾何圖形交織在一起，且運(yùn)算煩瑣，因此針對(duì)不同的問(wèn)題，采用相應(yīng)的解題策略、將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形，顯得至關(guān)重要.本文以以菱形為背景的圓錐曲線模擬題為引例，就相應(yīng)的解題策略給予說(shuō)明.

一、把握平面幾何特征，直接代數(shù)化

菱形是特殊的平面幾何圖形之一，對(duì)于以菱形為背景的試題，解題時(shí)要善于挖掘菱形的相關(guān)性質(zhì)，如菱形是四條邊都相等的平行四邊形；對(duì)角線互相垂直且平分；對(duì)角線平分菱形面積等.

（1）當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求此菱形的面積；

（2）當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說(shuō)明理由.

因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形，所以AC與OB相互垂直平分.所以可設(shè)A（1，m）.代入橢圓方程，得即m=.所以菱形OABC的面積是

（2）假設(shè)四邊形OABC為菱形.

因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，且直線AC不過(guò)原點(diǎn)，所以可設(shè)直線AC的方程為y=kx+m（k≠0，m≠0）.

設(shè)A（x1，y1），C（x2，y2），則.所以AC的中點(diǎn)為M

因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn)，所以直線OB的斜率為-1.因?yàn)閗·（ 1 ）≠-1，所以AC與OB不垂直.

4k-4k

所以四邊形OABC不是菱形，與假設(shè)矛盾.

所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OABC不可能是菱形.

評(píng)析：本題解答中充分把握菱形的幾何性質(zhì)：對(duì)角線垂直且平分，以直線AC為主線，設(shè)出直線方程、交點(diǎn)坐標(biāo)，將幾何特征代數(shù)化，進(jìn)而解決問(wèn)題.部分同學(xué)在解題中，因?qū)l件的理解不到位，多余地引入了點(diǎn)B的坐標(biāo)來(lái)表示OB的斜率，使問(wèn)題復(fù)雜化，造成解題半途而廢.

二、利用幾何方法恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，間接代數(shù)化

在問(wèn)題探究過(guò)程中，注意綜合運(yùn)用合情推理與演繹推理、綜合法與分析法探索問(wèn)題解決的思路，感悟數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想在分析和解決這類(lèi)問(wèn)題中的作用.

（1）求橢圓M的方程.

（2）是否存在菱形ABCD，同時(shí)滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：①點(diǎn)A在直線y=2上；②點(diǎn)B、C、D在橢圓M上；③直線BD的斜率等于1.如果存在，求出A點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由.

由Δ=（6m）2-16（3m2-3）＞0，解得-2＜m＜2.所以BD的中點(diǎn)為

由BD垂直AC，得直線AC的斜率為-1.直線AC的方程為進(jìn)而得點(diǎn)又Q為AC的中點(diǎn)，所以.而點(diǎn)C在橢圓上，故滿(mǎn)足橢圓方程，代入整理得7m2-40m+52=0，解得m=2或與-2＜m＜2矛盾.

故不存在滿(mǎn)足條件的菱形ABCD.

評(píng)析：在假設(shè)所求菱形存在的條件下，利用菱形的幾何特殊性，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷點(diǎn)C是否在橢圓上，結(jié)合判別式得出結(jié)論.

三、多角度分析，優(yōu)化解題思維

圓錐曲線問(wèn)題因計(jì)算煩瑣，使部分同學(xué)望而卻步.計(jì)算量大是事實(shí)，但在解題中如果采取恰當(dāng)?shù)牟呗?，可使原本?fù)雜的過(guò)程有效簡(jiǎn)化.注意下筆前多從不同角度分析問(wèn)題，并預(yù)測(cè)多種途徑的繁簡(jiǎn)程度，以?xún)?yōu)化解題思路.

例3 同例2.

解法2：（1）同解法1.

（2）設(shè)線段BD的中點(diǎn)為Q（x0，y0），點(diǎn)A（t，2），B（x1，y1），D（x2，y2）.

由Δ=（2m）2-16（m2-3）＞0，解得-2＜m＜2.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以Q是AC的中點(diǎn).

因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓M上，所以yC≥-1.這與yC＜-1矛盾.所以不存在滿(mǎn)足題意的菱形ABCD.

評(píng)析：本解法中，在得出點(diǎn)C的坐標(biāo)后，不需代入曲線方程，結(jié)合判別式，將點(diǎn)C的縱坐標(biāo)與-b進(jìn)行比較，可直接判斷菱形ABCD是否存在，從而使計(jì)算量減少.

四、拓展思考

菱形是特殊的平行四邊形，可將條件一般化，即將菱形回歸于平行四邊形，進(jìn)而鍛煉我們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

例4 設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上，且點(diǎn)P和F關(guān)于點(diǎn)

1）對(duì)稱(chēng).

（1）求橢圓E的方程.

（2）過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且平行于AB的直線與橢圓交于另一點(diǎn)Q，問(wèn)：是否存在直線l，使得四邊形PABQ的對(duì)角線互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

（2）由題意可知直線l、直線PQ的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），直線PQ的方程為

由題意可知Δ＞0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=

若四邊形PABQ的對(duì)角線互相平分，則PB與AQ的中點(diǎn)重合，所以即x1-x2=1-x3，故（x1+x2）2-.所以解得.所以直線l為3x-4y-3=0時(shí)，四邊形PABQ的對(duì)角線互相平分.

結(jié)論：存在直線l，使得四邊形PABQ的對(duì)角線互相平分.

評(píng)析：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷四邊形PABQ是否為平行四邊形.本題的求解中，利用了平行四邊形的對(duì)角線的中點(diǎn)重合的性質(zhì).另外由于平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，已知邊PQ與AB平行，故令|PQ|=|AB|亦可將問(wèn)題解決.A