鄧林峰，趙榮珍，靳伍銀（蘭州理工大學機電工程學院 蘭州，730050）

基于改進LMD方法的故障轉(zhuǎn)子振動分析*

鄧林峰，趙榮珍，靳伍銀
（蘭州理工大學機電工程學院 蘭州，730050）

針對二次樣條插值（cubicsplineinterpolation，簡稱CSI）局部均值分解（localmeandecomposition，簡稱LMD）方法在處理故障振動信號時準確性較低的缺陷，提出了一種集成自適應(yīng)波形匹配、二次B樣條插值（cubicB-splineinterpolation，簡稱CBI）以及正交性判據(jù)（orthogonalitycriterion，簡稱OC）的LMD改進方法。首先，利用自適應(yīng)波形匹配技術(shù)對原始信號進行數(shù)據(jù)延拓；然后，采用CBI代替CSI求解信號的上、下包絡(luò)線，進而求得局部均值函數(shù)和包絡(luò)估計函數(shù)；最后，以O(shè)C作為乘積函數(shù)（productfunction，簡稱PF）內(nèi)部迭代過程結(jié)束的判斷條件，形成一種改進的CBI-LMD方法。仿真分析與實驗驗證的結(jié)果表明，該改進方法具有更好的信號分解性能，能夠準確有效地提取出復(fù)雜非平穩(wěn)信號的重要特征。

局部均值分解；二次B樣條插值；正交性判據(jù)；故障轉(zhuǎn)子；振動分析

引 言

通過分析振動信號對旋轉(zhuǎn)機械進行狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷是最有效、最常用的方式［1］。然而，由于故障發(fā)生時的振動信號往往表現(xiàn)出非平穩(wěn)的特性，使得振動信號的分析變得十分困難［2］。局部均值分解是由Smith為更準確地分析處理調(diào)幅-調(diào)頻信號而提出的一種自適應(yīng)的非平穩(wěn)信號分析方法，并將其成功地應(yīng)用于腦電信號的分析處理過程中［3］。LMD與經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（empiricalmodedecomposition，簡稱EMD）十分相似，二者都可以將一個包含多成分的復(fù)雜信號分解為若干個具有物理意義的單分量信號。與EMD相比，LMD不存在過、欠包絡(luò)和邊界效應(yīng)等問題，且LMD不需要構(gòu)造解析信號再經(jīng)過Hilbert變換才能計算瞬時特征，而是在分解信號的過程中，LMD方法就計算出了相應(yīng)的瞬時幅值和瞬時頻率。因此，LMD比EMD具有更高的計算效率。LMD方法的這些優(yōu)勢引起了科研人員的普遍關(guān)注，并迅速成為故障診斷領(lǐng)域分析非平穩(wěn)振動信號的一個研究熱點［4-6］。

目前，LMD方法在機械故障診斷中的應(yīng)用研究的重點是：利用LMD或其改進方法從振動信號當中提取故障特征以描述故障狀態(tài)，或者將LMD與其他智能計算以及分類方法相結(jié)合，進行故障的智能模式辨識［7-10］。這些研究不僅提升了故障診斷技術(shù)自身的水平，而且推動了各種智能計算方法在解決工程實標問題中的應(yīng)用進程。其中，文獻［7］將二次樣條插值過程引入LMD，用于計算局部均值函數(shù)和包絡(luò)估計函數(shù)，使LMD算法的計算效率和精度都有了一定的提升。但是，二次樣條插值引起的過包絡(luò)和欠包絡(luò)問題也被引入到LMD中，使得信號分解的結(jié)果以及瞬時特征又會產(chǎn)生一些誤差［7］。

由于B樣條函數(shù)具有優(yōu)良的局部性質(zhì)，因此B樣條插值可以避免過包絡(luò)和欠包絡(luò)問題，可保證計算結(jié)果具有較高的準確度。它已被成功地用于改進EMD，并形成了一種新的B樣條EMD方法［11］，不僅避免了EMD的過包絡(luò)和欠包絡(luò)問題，而且提高了計算效率?；诖?，筆者通過集成B樣條插值、正交性判據(jù)以及自適應(yīng)波形匹配技術(shù)，對CSI-LMD方法進行二次改進，以降低信號分解誤差，進一步提高該方法分解非平穩(wěn)信號的準確性。

1 基于樣條捅值的LMD方法

原始的LMD方法中計算局部均值函數(shù)和局部包絡(luò)函數(shù)的過程是由滑動平均算法完成的，然而該算法使得LMD在分解非平穩(wěn)信號時存在分解精度和分解效率偏低的缺陷。為解決此問題，文獻［7］將二次樣條插值引入到LMD中，即用插值方法替換滑動平均算法來計算局部均值函數(shù)和局部包絡(luò)函數(shù)，從而提高LMD算法分解信號的性能。經(jīng)此過程改進后的樣條插值算法的主要步驟如下。

1）對于任何信號x（t），搜索到它的所有局部極值點后，用極大值和極小值分別進行二次樣條插值，形成上包絡(luò)線Eu（t）和下包絡(luò)線El（t）。

2）局部均值函數(shù)m（t）和局部包絡(luò)函數(shù)a（t）可以用下式計算得到

3）接下來的步驟按照LMD算法的原過程步驟進行即可。

經(jīng)過上述方式改進后的LMD算法稱之為基于二次樣條插值的LMD（簡稱CSI-LMD）方法。CSILMD方法是一個僅有兩層循環(huán)結(jié)構(gòu)的迭代過程，即改進的CSI-LMD算法比LMD算法少了一層計算兩個局部函數(shù)的循環(huán)迭代過程，簡化了LMD的算法結(jié)構(gòu)，有利于提升LMD算法的性能。

盡管CSI-LMD算法的分解精度和效率相比LMD算法的分解精度和效率都有所提高，但是利用二次樣條插值形成上、下包絡(luò)線，不可避免地存在過包絡(luò)和欠包絡(luò)的問題，這使得由式（1）和式（2）計算的局部均值函數(shù)和局部包絡(luò)函數(shù)也產(chǎn)生偏差，對最終的分解結(jié)果造成影響。若想消除CSI-LMD方法的這一缺陷，則需要借助一種具有更好局部特性的插值方法對其進行二次改進。

2 B樣條捅值方法

為第k段n次B樣條曲線段（k=0，1，…，m）。這些曲線段的全體稱為n次B樣條曲線；頂點Pi（i=0，1，…，m+n）又稱為控制點；由這些控制頂點所組成的多邊折線稱為B樣條曲線的特征多邊形。

式（3）中的Gi，n（t）為n次B樣條基函數(shù)，定義為

給定平面上的m+n+1個頂點Pi（i=0，1，…，m+n），稱n次參數(shù)曲線段

其中：i=0，1，…，n。

大多數(shù)情況下取n=3，即采用二次B樣條對控制點進行擬合。由式（3）可知，構(gòu)造二次B樣條曲線段只需要4個控制點，將構(gòu)造的m+1段二次B樣條曲線段連接起來即可形成完整的二次B樣條曲線。

當n=3時，二次B樣條曲線的基函數(shù)為

設(shè)4個控制點為Pi（i=0，1，2，3），則由式（3）可得二次B樣條曲線為

其中：t為節(jié)點參數(shù)值。

由于B樣條曲線并不通過控制點，因此對于給定的一組型值點Ri（i=0，1，…，h），首先，需要通過一種參數(shù)化方法求解節(jié)點矢量t=［t0，t1，…，th+2n］（兩端點的重復(fù)度取n+1），本研究采用積累弦長參數(shù)化方法計算二次（n=3）B樣條曲線的節(jié)點矢量；然后，利用文獻［12］中的方法即可求出h+2個控制點；最后，將節(jié)點矢量和控制點代入式（6），得到通過型值點列的二次B樣條插值曲線。

由于B樣條曲線不僅保留了Bézier曲線的所有優(yōu)點，而且二次B樣條曲線在連接處保持二階連續(xù)，所以它具有足夠的光滑性。與二次樣條插值相比，二次B樣條插值具有變差縮減性以及更好的局部特性［12］，故本研究擬采用精度更高的CBI對CSILMD算法進行二次改進以提高其分解信號的性能。

3 CBI-LMD改進方法

基于以上描述，本研究提出CBI-LMD方法，其主要算法步驟如下。

1）找到任意信號x（t）的所有局部極值，用極大值作為型值點進行B樣條插值，形成上包絡(luò)線Eu（t）；用極小值作為型值點進行B樣條插值，形成下包絡(luò)線El（t）。

2）局部均值函數(shù)m（t）和局部包絡(luò)函數(shù)a（t）可以通過式（1）和式（2）計算得到。

3）接下來的步驟按照LMD算法的原過程步驟進行即可。

與CSI-LMD方法相比，雖然CBI-LMD方法減弱了過、欠包絡(luò)問題，但是在對信號進行分解的過程中產(chǎn)生一個PF分量的迭代終止條件，采用的仍然是局部包絡(luò)函數(shù)的幅值要小于給定的閾值。這種固定的判別方式同樣會使分解結(jié)果產(chǎn)生誤差，并影響計算效率。另一方面，由文獻［8］可知，一個信號x（t）的每個PF分量都滿足

其中：k為PF分量的個數(shù)；T為信號長度。

式（7）說明每個PF分量都與將其從原始信號x（t）中分離出來的剩余部分近似正交。

對于每個PF分量而言，都應(yīng)該滿足式（7），只不過是不等號兩邊誤差大小的問題。顯然，不等號左邊的值越接近于零，說明PF分量的正交性越好，LMD的分解結(jié)果就越準確。然而，利用LMD對實標信號進行分解時總會產(chǎn)生一定誤差，從而影響了PF分量的正交性，最終導致分解結(jié)果及式（7）的誤差偏大。

基于PF分量的上述特性，將正交性判據(jù)引入到CBI-LMD方法中，使其能夠更準確有效地分析處理非平穩(wěn)信號。正交性判據(jù)的定義［8］為

其中：x（t）為原始信號；mij（t）為LMD在求解第i 個PF分量時計算的第j次局部均值函數(shù)。

由于式（8）是基于式（7）而建立起來的，因此它能夠很好地反映PF分量之間的正交性。此外，由LMD的分解步驟可知，隨著迭代次數(shù)j不斷增加，mij（x）將趨向于0，從而式（8）中的分子和分母將同時趨向于0，并且二者的收斂速度一致，即分子和分母是等價無窮小，所以O(shè)C的值將趨向于1，這與LMD方法理論上的迭代終止條件是一致的。可見，利用OC作為PF分量迭代終止的判斷條件是完全可行的。但是，OC的值也只是趨近于1，并且存在一個最小值，為便于算法的具體判斷，以前后兩次迭代過程中OC的差值是否小于0做為迭代過程是否結(jié)束的判別條件。這不僅可以保證PF分量之間的正交性，而且能夠減少分解過程的迭代次數(shù)和時間，從而提高算法的收斂速度。

由于B樣條具有局部支撐性，而實標信號的端點與控制點之間又存在一定的跨度，因此會導致插值曲線出現(xiàn)嚴重的端點效應(yīng)，從而降低了分解和計算結(jié)果的準確性［13］。為消除這一缺陷，筆者先通過自適應(yīng)波形匹配方法對原始數(shù)據(jù)進行延拓，然后再進行基于OC的CBI-LMD分解過程。

對CSI-LMD方法進行以上3個方面的改進后，就形成基于數(shù)據(jù)延拓和OC的CBI-LMD方法，其算法流程如圖1所示。為方便描述，仍以CBILMD表示基于數(shù)據(jù)延拓和OC的CBI-LMD方法。

圖1中，CBI-LMD方法是一個僅具有兩層循環(huán)結(jié)構(gòu)的迭代過程，比原始LMD方法少了一層循環(huán)。CBI-LMD與CSI-LMD的主要區(qū)別就在于求包絡(luò)線的插值方法和PF分量內(nèi)部迭代過程的判據(jù)不同，這也正是CBI-LMD性能更好的主要原因。

圖1 CBI-LMD算法流程圖Fig.1 Flowchart of CBI-LMD

4 仿真分析和實驗驗證

為了驗證本研究改進方法的有效性，分別利用仿真信號和轉(zhuǎn)子實驗信號對CSI-LMD與CBILMD方法的性能進行分析比較。

4.1 仿真分析

構(gòu)造一個仿真信號x（t）為

其中：x1（t）是以60 Hz為中心頻率的調(diào)幅-調(diào)頻信號；x2（t）是頻率為10 Hz的正弦信號。

式（9）是由兩個不同的單分量信號組成的一個非平穩(wěn)信號，其時域波形如圖2所示。

圖2 仿真信號Fig.2 A simulated signal

采用CSI-LMD和CBI-LMD方法對x（t）分別進行處理。對于CSI-LMD方法，純調(diào)頻信號的迭代終止條件設(shè)定為max［|1-ai（t）|］=0.01。x（t）經(jīng)兩種方法分解后的結(jié)果如圖3所示。圖4，5則分別給出了圖3中兩個PF1分量的瞬時幅值和瞬時頻率。

圖3 信號x（t）的兩種分解結(jié)果Fig.3 Two decomposition results of x（t）

圖4 PF1的瞬時幅值Fig.4 Instantaneous amplitude of PF1

圖5 PF1的瞬時頻率Fig.5 Instantaneous frequency of PF1

從圖3可見，CSI-LMD和CBI-LMD方法都可以將x（t）分解為兩個PF分量和一個剩余分量，PF1，PF2分別對應(yīng)x1（t），x2（t）。雖然兩種方法分解出的PF分量沒有明顯差別，但是由CBI-LMD方法形成的余量R的幅值很小，經(jīng)計算，圖3（a）與圖3（b）中余量R的標準差之比為3.97。在圖4，5中，由CSI-LMD方法得到的瞬時幅值和瞬時頻率出現(xiàn)了邊界效應(yīng)，尤其是在瞬時頻率的端點附近，扭曲現(xiàn)象十分明顯?？梢姡珻BI-LMD方法的分解精度更高。

為驗證CBI-LMD方法采用OC判據(jù)的有效性，引入正交性系數(shù)（index of orthogonality，簡稱IO）對分解結(jié)果的正交性進行評價，其定義［14］為

其中：T為信號長度；k+1為PF分量的個數(shù)；第k +1個PF分量指剩余分量R。

由式（10）可知，PF分量之間的正交性越好，則IO指標越接近于0。經(jīng)計算，圖3所示兩個分解結(jié)果的IO指標分別為IOa=0.005 2，IOb=0.000 4，前者是后者的13倍，很明顯，CBI-LMD方法分解結(jié)果的正交性更好。信號x（t）在分解前后的能量值如下：原始信號為956.25；CSI-LMD為949.91；CBI-LMD為955.83?？梢姡盘柲芰吭诜纸馇昂蟀l(fā)生了一定的變化，相比之下，原始信號經(jīng)CBILMD方法分解后的能量更接近于真實值。

4.2 故障轉(zhuǎn)子振動分析實例

在圖6所示的雙跨轉(zhuǎn)子實驗臺上模擬轉(zhuǎn)子不對中故障，并采集振動位移信號，采樣頻率為5 k Hz，采樣點數(shù)為3 000。圖7為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為2 800 r/min時，原始的故障振動信號經(jīng)過文獻［15］中的消噪方法處理后的時域波形。從圖7可以發(fā)現(xiàn)，振動信號存在明顯的幅值調(diào)制特征。對于這種信號，基于平穩(wěn)過程的信號處理方法只能給出信號的統(tǒng)計平均結(jié)果，無法獲取其局部化特征，因此必須采用時頻分析方法。

圖6 轉(zhuǎn)子實驗臺照片F(xiàn)ig.6 A photograph of the rotor rig

圖7 2 800 r/min的不對中故障振動信號Fig.7 A vibration signal of the misalignment fault at 2 800 r/min

利用CSI-LMD和CBI-LMD方法對圖7所示的故障振動信號進行分解，兩種方法分別得到了4 個PF分量和1個余量R，結(jié)果如圖8所示。由于分解過程是只依賴于信號自身的自適應(yīng)過程，因此這些PF分量反映了包涵在振動信號當中頻率由高到低的幾個自然振動模式。

從圖8可見，由兩種方法分解得到的PF分量之間存在明顯差別。CBI-LMD產(chǎn)生的各個PF分量準確地表征了故障信號中的幾個自然振動模式，而CSI-LMD產(chǎn)生的PF1主要包涵了信號分解過程中產(chǎn)生的低幅值虛假分量。該結(jié)果說明，相對于CSI-LMD，CBI-LMD的分解性能更好。此外，在信號的分解過程中，記錄了兩種方法產(chǎn)生每個PF分量所需要的迭代次數(shù)和整個分解過程所消耗的時間，如表1所示。表1說明除了PF2之外，CBI-LMD方法產(chǎn)生其他PF分量的迭代次數(shù)明顯少于CSI-LMD方法的迭代次數(shù)；兩種方法在分解信號的時間消耗上，差距也十分明顯，相差接近于13 s?？梢姡珻BI-LMD方法的分解效率相對較高。利用兩種LMD方法產(chǎn)生的PF分量的瞬時幅值和瞬時頻率可構(gòu)成振動信號的時頻譜，如圖9所示。對圖8中存在較大差別的兩個PF1進行頻譜分析，如圖10所示。

圖8 轉(zhuǎn)子不對中振動信號的分解結(jié)果Fig.8 The decomposition results of the signal in Fig.7

通過對比圖9所示的兩個時頻譜可見，在時頻譜的上半部分（高頻區(qū)），兩個時頻譜沒有明顯差別；在時頻譜的下半部分（低頻區(qū)），CBI-LMD方法產(chǎn)生的時頻譜線比CSI-LMD方法產(chǎn)生的時頻譜線更加完整準確地反映了轉(zhuǎn)子故障振動信號的瞬態(tài)變化。

表1 分解過程的迭代次數(shù)和耗時Tab.1 The number and the time of decomposition process

圖9 兩種LMD方法形成的時頻譜Fig.9 Time-frequency spectra of two LMD methods

圖10 兩個PF1的頻譜Fig.10 Frequency spectra of two different PF1s

從圖10可見，兩種LMD方法分解出的PF1的頻譜存在明顯差別。CSI-LMD方法產(chǎn)生的頻譜比較復(fù)雜，雖然幾條譜線與轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)頻及其諧波成分相對應(yīng)，但是譜線幅值較小，而且頻譜當中還夾雜著相當多的其他成分。CBI-LMD方法的頻譜比較清晰準確地顯示了轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)頻以及幾個倍頻成分的譜線。

此外，故障振動信號分解前后的能量值以及兩種LMD方法所對應(yīng)的IO值如表2所示。從表2可見，無論是信號分解后的能量變化，還是IO值，CBI-LMD都比CSI-LMD的計算結(jié)果要小。這說明筆者提出的CBI-LMD方法具有更好的信號分解性能。

表2 信號分解前后的能量及對應(yīng)的IO值Tab.2 The energies and IO of the signal in three statuses

5 結(jié)束語

在旋轉(zhuǎn)機械的振動信號分析方面，LMD及其改進方法的應(yīng)用近來受到大量關(guān)注。為提升CSILMD方法的性能，利用自適應(yīng)波形匹配、二次B樣條插值以及正交性判據(jù)對其進行集成改進，提出了一種新的CBI-LMD方法。通過仿真信號與實驗信號對CSI-LMD和CBI-LMD方法的分解性能進行了比較分析。結(jié)果顯示，CBI-LMD不僅具有更高的分解效率和準確性，而且能夠從機械故障振動信號中分離出表征故障特性的振動成分并獲得故障特征，是一種分析非平穩(wěn)機械振動信號的有效方法。

［1］ Yang Yu，Yu Dejie，Cheng Junsheng.A roller bearing fault diagnosis method based on EMD energy entropy and ANN［J］.Journal of Sound and Vibration，2006，294（1-2）：269-277.

［2］ Wang Qinghua，Zhang Youyun，Cai Lei，et al.Fault diagnosis for diesel valve trains based on non-negative matrix factorization and neural network ensemble［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2009，23（5）：1683-1695.

［3］ Smith J S.The local mean decomposition and its application to EEG perception data［J］.Journal of the Royal Society Interface，2005，2（5）：443-454.

［4］ Cheng Junsheng，Yang Yi，Yang Yu.A rotating ma-chinery fault diagnosis method based on local mean decomposition［J］.Digital Signal Processing，2012，22（2）：356-366.

［5］ Wang Yanxue，He Zhengjia，Xiang Jiawei，et al.Application of local mean decomposition to the surveillance and diagnostics of low-speed helical gearbox［J］.Mechanism and Machine Theory，2012，47：62-73.

［6］ Feng Zhipeng，Zuo M J，Qu Jian，et al.Joint amplitude and frequency demodulation analysis based on local mean decomposition for fault diagnosis of planetary gearboxes［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2013，40（1）：56-75.

［7］ 胡勁松，楊世錫，任達干.基于樣條的振動信號局域均值分解方法［J］.數(shù)據(jù)采集與處理，2009，24（1）：78-83.Hu Jinsong，Yang Shixi，Ren Daqian.Spline-based local mean decomposition method for vibration signal ［J］.Journal of Data Acquisition＆amp；Processing，2009，24（1）：78-83.（in Chinese）

［8］ 張亢，程軍圣，楊宇.局部均值分解方法中乘積函數(shù)判據(jù)問題研究［J］.振動與沖擊，2011，30（9）：84-88.Zhang Kang，Cheng Junsheng，Yang Yu.Product function criterion in local mean decomposition method ［J］.Journal of Vibration and Shock，2011，30（9）：84-88.（in Chinese）

［9］ Zhang Yuan，Qin Yong，Xing Zongyi，et al.Roller bearing safety region estimation and state identification based on LMD-PCA-LSSVM［J］.Measurement，2013，46（3）：1315-1324.

［10］張淑清，孫國秀，李亮，等.基于LMD近似嫡和FCM聚類的機械故障診斷研究［J］.儀器儀表學報，2013，34（3）：714-720.Zhang Shuqing，Sun Guoxiu，Li Liang，et al.Study on mechanical fault diagnosis method based on LMD approximate entropy and fuzzy C-means clustering［J］.Chinese Journal of Scientific Instrument，2013，34（3）：714-720.（in Chinese）

［11］Chen Qiuhui，Huang N，Riemenschneider S，et al.A B-spline approach for empirical mode decompositions ［J］.Advances in Computational Mathematics，2006，24：171-195.

［12］Wang Junbin，Yau H T.Real-time NURBS interpolator：application to short linear segments［J］.The International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2009，41（11-12）：1169-1185.

［13］鄧蕾，胡小林，李鋒，等.基于支持向量機的BS-EMD端點效應(yīng)消除方法［J］.振動、測試與診斷，2011，31（3）：344-347.Deng Lei，Hu Xiaolin，Li Feng，et al.Support vector machines-based method for restraining end effects of B-spline empirical mode decomposition［J］.Journal of Vibration，Measuremant＆amp；Diagnosis，2011，31（3）：344-347.（in Chinese）

［14］Loutridis S J.Damage detection in gear systems using empirical mode decomposition［J］.Engineering Structures，2004，26（12）：1833-1841.

［15］鄧林峰，趙榮珍，龔俊.一種改進的轉(zhuǎn)子振動信號消噪方法研究［J］.儀器儀表學報，2011，32（9）：1961-1966.Deng Linfeng，Zhao Rongzhen，Gong Jun.Research on an improved de-noising method for rotor vibration signals［J］.Chinese Journal of Scientific Instrument，2011，32（9）：1961-1966.（in Chinese）

TN911.7；TH165.3

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.04.017

鄧林峰，男，1984年2月生，博士研究生。主要研究方向為機械系統(tǒng)的動態(tài)性能測試與分析。曾發(fā)表《A vibration analysis method based on hybrid techniques and its application to rotating machinery》（《Measurement》2013，Vol.46，No.9）等論文。

E-mail：denglinfeng2002@163.com

簡介：趙榮珍，女，1960年12月生，博士、教授、博士生導師。主要研究方向為旋轉(zhuǎn)機械故障診斷、機械工程測試技術(shù)和轉(zhuǎn)子動力學。

E-mail：zhaorongzhen@lut.cn

*國家自然科學基金資助項目（51165019）；教育部高等學校博士學科點專項科研基金資助項目（20136201110004）；蘭州理工大學優(yōu)秀博士學位論文培育計劃資助項目（201102）

2013-06-29；

2013-12-12