王萬(wàn)軍， 晏 燕

(1.蘭州文理學(xué)院 信息工程學(xué)院 甘肅 蘭州 730000；2.蘭州理工大學(xué) 電氣工程與信息工程學(xué)院 甘肅 蘭州 730050)

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一種SPA集記分函數(shù)的構(gòu)造法

王萬(wàn)軍1， 晏 燕2

(1.蘭州文理學(xué)院 信息工程學(xué)院 甘肅 蘭州 730000；2.蘭州理工大學(xué) 電氣工程與信息工程學(xué)院 甘肅 蘭州 730050)

在集對(duì)分析(SPA)集的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了一種SPA集記分函數(shù)方法，該記分函數(shù)能有效地反映SPA集中聯(lián)系數(shù)函數(shù)的同(同一)、異(不確定)、反(對(duì)立)3者之間的聯(lián)系變化趨勢(shì)，克服了傳統(tǒng)SPA集中采用集對(duì)勢(shì)進(jìn)行刻畫(huà)同一證據(jù)與對(duì)立證據(jù)聯(lián)系變化的不足與缺陷，并分析了SPA集記分函數(shù)構(gòu)造準(zhǔn)則及涵義.最后，通過(guò)算例驗(yàn)證并分析了該記分函數(shù)的有效性、合理性和可分辨性.

SPA集； 記分函數(shù)； 構(gòu)造法

0 引言

自從趙克勤1998年在中國(guó)包頭會(huì)議上提出集對(duì)分析理論[1](sets pair analysis，縮寫(xiě)SPA)以來(lái)，SPA集已經(jīng)廣泛地應(yīng)用在政治、社會(huì)、文化、管理、交通、環(huán)境及經(jīng)濟(jì)等諸多領(lǐng)域.SPA集是通過(guò)定義在[0,1]區(qū)間上的一個(gè)集合對(duì)子，對(duì)集合對(duì)子之間的聯(lián)系、變化、制約，通過(guò)建立一個(gè)聯(lián)系數(shù)函數(shù)μ=a+bi+cj來(lái)反映事物之間同a(同意、支持或肯定)、異b(不確定或猶豫)、反c(否定、對(duì)立或反對(duì))的證據(jù).聯(lián)系數(shù)理論彌補(bǔ)了Fuzzy集[2]用隸屬函數(shù)來(lái)表示模糊信息的單一性，同時(shí)也克服了Vague集[3]和直覺(jué)模糊集[4-5]只能采用支持真隸屬度函數(shù)和假隸屬度函數(shù)刻畫(huà)模糊信息的不足，彌補(bǔ)了對(duì)Vague集或直覺(jué)模糊集中信息異態(tài)(不確定或猶豫)變化無(wú)法描述的缺陷.SPA集能更有效地反映事物之間確定、不確定及模糊之間的變化規(guī)律，對(duì)人類(lèi)模糊信息處理的思維規(guī)律和認(rèn)知信息有一定啟發(fā)作用.雖然SPA集在人工智能、信息處理、決策分析、模式識(shí)別、環(huán)境工程、水文資源及工業(yè)控制等方面得到較好應(yīng)用，并取得了相應(yīng)研究成果[6-12]，但作為SPA集重要內(nèi)容之一的記分函數(shù)研究，目前尚處于空白，仍然有許多問(wèn)題亟待解決和研究.

本文基于上述分析及SPA集相關(guān)文獻(xiàn)資料研究，試圖借鑒Vague集和直覺(jué)模糊集中記分函數(shù)[13-16]概念，并將其引入到集對(duì)分析聯(lián)系數(shù)中，提出了SPA集記分函數(shù)概念及構(gòu)造方法，并分析了該記分函數(shù)的涵義、構(gòu)造準(zhǔn)則及相關(guān)特性.該記分函數(shù)能有效刻畫(huà)聯(lián)系數(shù)同、異、反3者之間的聯(lián)系變化趨勢(shì)，克服了傳統(tǒng)SPA集中采用集對(duì)勢(shì)刻畫(huà)支持證據(jù)與反對(duì)證據(jù)變化的不足及不可分辨性的缺陷.最后結(jié)合具體算例分析了該記分函數(shù)的有效性、合理性及可分辨性.

1 SPA集及記分函數(shù)

1.1 SPA集及相關(guān)概念

集對(duì)分析[1](SPA集)是一種數(shù)學(xué)、系統(tǒng)科學(xué)和認(rèn)知科學(xué)交叉的邊緣學(xué)科，是處理模糊不確定性信息的一種有效工具.它從事物的同、異、反3個(gè)方面通過(guò)聯(lián)系數(shù)函數(shù)定量描述事物屬性的確定與不確定性.

定義1設(shè)N是一個(gè)論域，對(duì)?x∈N，有N上的一個(gè)SPA集用一個(gè)同一(支持或肯定)度函數(shù)tA(x)，一個(gè)不確定(猶豫)度函數(shù)πA(x)和一個(gè)反對(duì)(否定或?qū)α?度函數(shù)fA(x)來(lái)描述其聯(lián)系數(shù)(度)函數(shù)uA(N).即

tA(x):N→[0,1]，πA(x):N→[0,1]，fA(x):N→[0,1],uA(N)=tA(x)+πA(x)i+fA(x)j,

其中,tA(x)+πA(x)+fA(x)=1，i為差異標(biāo)記符號(hào)，i∈[-1,1]，其值視不同情況而確定；j為對(duì)立標(biāo)記符號(hào)，規(guī)定取值為-1，有時(shí)視情況可作為表達(dá)式的標(biāo)志不起實(shí)際意義.其實(shí)tA(x)描述了支持或肯定證據(jù)的隸屬度下界，πA(x)描述了不確定或猶豫證據(jù)的隸屬度下界，fA(x)描述了反對(duì)或否定證據(jù)的隸屬度下界.

定義2在聯(lián)系數(shù)uA(x)=tA(x)+πA(x)i+fA(x)j中，稱(chēng)H(x)=1-πA(x)=tA(x)+fA(x)為SPA集x的精確度或已確知度.

H(x)反映了x相對(duì)A的確知信息量，H(x)值越大，確知信息量就越多.

定義3在聯(lián)系數(shù)uA(x)=tA(x)+πA(x)i+fA(x)j中，稱(chēng)P(x)=tA(x)-fA(x)為SPA集x的優(yōu)度或偏度.

H(x)和P(x)在SPA集中相當(dāng)于統(tǒng)計(jì)學(xué)中方差和均值的概念.H(x)值越小且P(x)值越大，構(gòu)造的記分函數(shù)值應(yīng)該越大，反之亦然.

定義4在聯(lián)系數(shù)uA(x)=tA(x)+πA(x)i+fA(x)j中，稱(chēng)δ(x)=P(x)/H(x)為SPA集x的相對(duì)優(yōu)度或相對(duì)偏度.

相對(duì)優(yōu)度或相對(duì)偏度δ(x)反映了決策者樂(lè)觀、中立或悲觀等心態(tài)對(duì)決策證據(jù)偏向的程度，δ(x)值越大，決策者處于樂(lè)觀心態(tài)；δ(x)值越小，決策者處于悲觀心態(tài)，δ(x)值為0，決策者處于中立心態(tài).

定義5在聯(lián)系數(shù)uA(x)=tA(x)+πA(x)i+fA(x)j中，當(dāng)fA(x)≠0，稱(chēng)Shi(x)=tA(x)/fA(x)為SPA集x的勢(shì)態(tài)或集對(duì)勢(shì).

如果當(dāng)fA(x)=0時(shí)，則認(rèn)為Shi(H)→∞.勢(shì)態(tài)或集對(duì)勢(shì)反映了SPA集中支持證據(jù)與對(duì)立證據(jù)之間的一種趨勢(shì)變化關(guān)系.勢(shì)態(tài)或集對(duì)勢(shì)可以分為均勢(shì)、同勢(shì)和反勢(shì).

定義6[17]在聯(lián)系數(shù)uA(x)中，如果勢(shì)態(tài)或集對(duì)勢(shì)Shi(x)=1稱(chēng)均勢(shì)；Shi(x)>1稱(chēng)同勢(shì)；Shi(x)<1稱(chēng)反勢(shì).

集對(duì)勢(shì)Shi(x)越大，說(shuō)明支持證據(jù)相對(duì)反對(duì)證據(jù)越大，反之說(shuō)明支持證據(jù)相對(duì)反對(duì)證據(jù)越小.

1.2 SPA集記分函數(shù)

SPA集記分函數(shù)是集對(duì)分析信息處理的核心與關(guān)鍵，合理有效地構(gòu)造SPA集記分函數(shù)能客觀準(zhǔn)確地反映聯(lián)系數(shù)同、異、反3者屬性之間所包含的信息.它是SPA集中進(jìn)行確定與不確定信息集結(jié)處理的直觀體現(xiàn)，是用來(lái)衡量決策屬性滿足同、異、反聯(lián)系程度的有效衡量標(biāo)準(zhǔn).不同SPA集確定與不確定信息集結(jié)歸根到底是記分函數(shù)構(gòu)造形式?jīng)Q定的.不同的SPA集記分函數(shù)反映了SPA集中聯(lián)系數(shù)同、異、反3者之間信息屬性值力量對(duì)比影響.如何有效地構(gòu)造SPA集記分函數(shù)直接決定了SPA集中決策結(jié)果的準(zhǔn)確、有效與合理，甚至是決策結(jié)果的正確與否.因此，在SPA集中構(gòu)建高效的記分函數(shù)對(duì)集對(duì)分析多屬性決策有重要的影響和作用.

2 SPA集中勢(shì)分析及缺陷

在SPA集中，勢(shì)Shi(x)=tA(x)/fA(x)是一個(gè)非常重要的概念，它是集對(duì)分析中支持證據(jù)(同)與否定證據(jù)(反)的兩種力量對(duì)比，同時(shí)它也體現(xiàn)了同、反兩種證據(jù)力量走向趨勢(shì)變化.表1給出了不同勢(shì)值等級(jí)[17]之間的tA(x),πA(x),fA(x)大小關(guān)系.

從表1分析可知：

集對(duì)勢(shì)越大，說(shuō)明πA(x)趨向tA(x)的程度就越大，即：不確定證據(jù)偏向于支持證據(jù)，記分函數(shù)值越大；反之，集對(duì)勢(shì)越小，說(shuō)明πA(x)趨向fA(x)的程度就越大，即：不確定證據(jù)偏向于反對(duì)證據(jù)，記分函數(shù)值越小.

集對(duì)勢(shì)的概念有很大的局限性和缺陷，主要體現(xiàn)在如下4個(gè)方面：1) 當(dāng)反對(duì)證據(jù)fA(x)=0時(shí)，此時(shí)的勢(shì)定義是無(wú)效的，但實(shí)際上問(wèn)題本身具有實(shí)際意義，無(wú)法用勢(shì)進(jìn)行這種情況的信息決策處理；2) 集對(duì)勢(shì)定義中只包含了支持證據(jù)tA(x)和反對(duì)證據(jù)fA(x)的信息，沒(méi)有包含不確定度πA(x)的信息，缺乏客觀依據(jù)和說(shuō)服力；3) 采用集對(duì)勢(shì)進(jìn)行衡量決策屬性極易丟失有價(jià)值信息，容易出現(xiàn)決策結(jié)果的不合理甚至結(jié)論錯(cuò)誤；4) 集對(duì)勢(shì)無(wú)法體現(xiàn)或反映屬性決策者樂(lè)觀、中立或悲觀等情緒下偏好心態(tài)對(duì)決策嗜好程度的影響.

因此，如何建立SPA集中衡量同、異、反3者屬性滿足程度的記分函數(shù)要比采用集對(duì)勢(shì)值來(lái)衡量更加科學(xué)、合理和有效.

表1 不同勢(shì)值等級(jí)大小關(guān)系Tab.1 Relationship of different Shi values grade size

3 SPA集記分函數(shù)構(gòu)造法

3.1 SPA集記分函數(shù)及構(gòu)造準(zhǔn)則

為了構(gòu)造SPA集記分函數(shù)S(x)，應(yīng)該將SPA集聯(lián)系數(shù)中tA(x),πA(x),fA(x)所包含的信息進(jìn)行全面系統(tǒng)地分析.SPA集中信息有兩部分：一部分就是信息P(x)=tA(x)-fA(x)的值，它給出了支持證據(jù)對(duì)否定證據(jù)變化趨勢(shì)的優(yōu)度或偏度程度，P(x)值越大，SPA集記分函數(shù)S(x)的值越大；反之，P(x)值越小，SPA集記分函數(shù)S(x)的值越小.另一部分就是不確定度πA(x)信息，πA(x)值越大，不確定信息越多；πA(x)值越小，不確定信息越少.

SPA集的記分函數(shù)是將信息P(x)，確知信息H(x)和不確定信息πA(x)有效地進(jìn)行重新分配來(lái)衡量決策滿足屬性的程度要求體現(xiàn).對(duì)于不確定信息πA(x)，應(yīng)按照支持證據(jù)與反對(duì)證據(jù)力量對(duì)比程度將πA(x)分配到信息P(x)或確知信息H(x)中，得到一個(gè)新的確知信息，即為SPA集記分函數(shù).

在構(gòu)造SPA集記分函數(shù)S(x)時(shí)，為了合理、有效、準(zhǔn)確并能體現(xiàn)決策者樂(lè)觀、中立或悲觀等心態(tài)，則SPA集記分函數(shù)S(x)應(yīng)該滿足如下7條準(zhǔn)則.

對(duì)于兩個(gè)集對(duì)聯(lián)系數(shù)uA(x)=tA(x)+πA(x)i+fA(x)j,uA(y)=tA(y)+πA(y)i+fA(y)j,有：

準(zhǔn)則1若PA(x)>PA(y)，則S(x)>S(y)；

準(zhǔn)則2若PA(x)

準(zhǔn)則3若PA(x)=PA(y)，則

1) 若πA(x)=πA(y)，則S(x)=S(y)；

2) 若πA(x)>πA(y)，則S(x)

3) 若πA(x)<πA(y)，則S(x)>S(y)；

準(zhǔn)則4決策者樂(lè)觀偏好，當(dāng)PA(x)>PA(y)時(shí)，有δ(x)?δ(y)；

準(zhǔn)則5悲觀決策中，當(dāng)PA(x)

準(zhǔn)則6中立決策中，有δ(x)≈δ(y);

準(zhǔn)則7在SPA集定義域x上，P(x)，δ(x)是單調(diào)增函數(shù)，H(x)是單調(diào)減函數(shù).

3.2 SPA集記分函數(shù)

在明確了SPA集記分函數(shù)含義及構(gòu)造準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上，本文構(gòu)造了如下的SPA集記分函數(shù).

定義7在聯(lián)系數(shù)uA(x)=tA(x)+πA(x)i+fA(x)j中，稱(chēng)函數(shù)SA(x)為SPA集記分函數(shù)，

SA(x)=H(x)+P(x)+δ(x)πA(x)=

對(duì)于定義7，其實(shí)是由3部分組成：第1部分H(x)為精確度或已確知度部分，反映確知信息量的多少，與決策者心態(tài)偏好無(wú)關(guān)；第2部分P(x)為優(yōu)度或偏度部分，與決策者心態(tài)偏好無(wú)關(guān)；第3部分δ(x)πA(x)與決策偏好相關(guān)，這部分通過(guò)相對(duì)優(yōu)度或相對(duì)偏度函數(shù)δ(x)，將不確定度πA(x)偏好趨向支持證據(jù)進(jìn)行了有效處理，δ(x)函數(shù)體現(xiàn)了決策者在樂(lè)觀、中立、悲觀等不同決策心態(tài)下的偏好程度.

顯然定義7中的記分函數(shù)包含了SPA集中聯(lián)系數(shù)同、異、反3者之間的全部信息在不同決策心態(tài)下的偏好趨向總和，同時(shí)該函數(shù)體現(xiàn)了在沒(méi)有其他信息下，對(duì)不確定度均值分配符合極大熵原理[18].另外定義7的記分函數(shù)符合決策中的“馬太效應(yīng)”[16]和少數(shù)服從多數(shù)的一般決策原則，這與SPA集中采用勢(shì)態(tài)或集對(duì)勢(shì)相比較，利用記分函數(shù)更加科學(xué)、準(zhǔn)確和合理.由此利用定義7的SPA集記分函數(shù)來(lái)體現(xiàn)屬性決策滿足程度更具有效性和可行性，并且容易驗(yàn)證定義7的記分函數(shù)滿足準(zhǔn)則1到準(zhǔn)則7的要求.

4 算例分析

為了驗(yàn)證本文SPA集記分函數(shù)的有效性、合理性和可行性，現(xiàn)進(jìn)行算例結(jié)果分析(見(jiàn)表2所示).

表2 本文構(gòu)造的SPA集記分函數(shù)結(jié)果比較Tab.2 The comparison of this paper score results based on SPA sets

從表2分析可知：如果采用傳統(tǒng)的集對(duì)勢(shì)是無(wú)法分辨聯(lián)系數(shù)0.4+0.2i+0.4j和0.3+0.4i+0.3j的，因?yàn)槠鋭?shì)值均為1.但通過(guò)SPA集記分函數(shù)分別得到其值為0.8和0.6，從直覺(jué)上感覺(jué)該值是符合實(shí)際的.另外對(duì)聯(lián)系數(shù)0.2+0.8i+0.0j采用集對(duì)勢(shì)是無(wú)法處理(無(wú)效)的，但利用記分函數(shù)得到其值為1.2.由此可知，本文的記分函數(shù)具有較好的分辨性.SPA集記分函數(shù)能較好地反映出集對(duì)分析中同、異、反3者之間屬性決策實(shí)際客觀中確定與不確定要求,并符合人類(lèi)思維的認(rèn)知規(guī)律，但利用集對(duì)勢(shì)有時(shí)無(wú)法進(jìn)行合理屬性決策體現(xiàn)，前面已經(jīng)分析其缺陷和不足.SPA集記分函數(shù)能較好地反映出實(shí)際客觀和直覺(jué)模糊的要求，符合人類(lèi)思維的認(rèn)知規(guī)律.因此本文提出的SPA集記分函數(shù)是可行的、有效的和可分辨的.

5 結(jié)束語(yǔ)

本文在SPA集聯(lián)系數(shù)理論基礎(chǔ)上，結(jié)合記分函數(shù)的概念，提出了一種SPA集記分函數(shù)的構(gòu)造方法，同時(shí)分析了傳統(tǒng)集對(duì)勢(shì)在屬性決策中的不足.分析了SPA集記分函數(shù)的含義，并建立了記分函數(shù)構(gòu)造的相關(guān)準(zhǔn)則.最后通過(guò)算例簡(jiǎn)要分析了該記分函數(shù)的可行性、有效性及可分辨性.

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A Construction Method for Score Function Based on SPA Sets

WANG Wan-jun1, YAN Yan2

(1.InformationEngineeringCollege,LanzhouUniversityofArtsandScience,Lanzhou730000,China；2.SchoolofElectricalandInformationEngineering,LanzhouUniversityofTechnology,Lanzhou730050，China)

A construction method for score function was put forward based on set pair analysis theory. The proposed score function can effectively reflect the connection and diversification trends among countenance (the same), difference (uncertain) and opposite (contrary) of connection number function in set pair analysis, and overcome the deficiencies in characterizing countenance evidence and opposite evidence while using the set pair force in traditional SPA. Construction criteria and meanings of score function of SPA were also analyzed. Finally, some numerical examples were given to illustrate the rationality, effectiveness and separability of the proposed algorithm.

SPA sets; score function; construction method

2014-10-14

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目，編號(hào)613363078；甘肅省青年科技基金計(jì)劃項(xiàng)目，編號(hào)1310RJYA004；甘肅省高等學(xué)校研究生導(dǎo)師科研項(xiàng)目，編號(hào)1215-04；蘭州文理學(xué)院科研能力提升計(jì)劃骨干項(xiàng)目，編號(hào)2012GGTS01.

王萬(wàn)軍(1974-)，男，甘肅天水人,副教授，主要從事計(jì)算機(jī)智能信息處理與信息決策分析技術(shù)研究,E-mail:wangwanjun1@163.com；通訊作者：晏燕(1980-)，女，甘肅蘭州人，講師，博士研究生，主要從事信息隱私保護(hù)及信息隱藏技術(shù)研究，E-mail:yanyan@lut.cn.

TP301，O22

A

1671-6841(2015)01-0033-05

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.01.007