王小霞, 姜金平, 趙寧寧, 李萍

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,陜西 延安 716000)

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不可數(shù)空間的可數(shù)補拓撲的幾類連通性

王小霞, 姜金平, 趙寧寧, 李萍

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,陜西 延安 716000)

討論了不可數(shù)空間的可數(shù)補拓撲的θ-連通性、θ-弧連通性和局部道路連通性.

不可數(shù)空間; 可數(shù)補空間; 連通性

連通性是拓撲空間研究的一個重要課題,文[1]討論了一般拓撲空間的連通性，文[2]討論了θ-連通性空間與θ-連通性，文[3]研究了θ-弧連通空間和θ-弧連通性,文[4]討論了局部道路連通性,文[5]討論了一類可數(shù)補空間的連通性和弧連通性。在文[5]的基礎(chǔ)上，討論了不可數(shù)空間的可數(shù)補拓撲的θ-連通性、θ-弧連通性和局部道路連通性,進一步完善可數(shù)補空間的連通性理論.

1 預(yù)備知識

定義3[2]設(shè)(X，T)、(Y，ω)為兩個拓撲空間,f:X→Y是映射,若?θ -開集B∈Y,有f-1(B)是X中的θ -開集,則稱f為θ-連續(xù)映射.

定義5[3]設(shè)(X，T)為拓撲空間,若對X中任意兩點x、y都有X中θ-連續(xù)映射f:[0,1]→X,使得f(0)=x,f(1)=y,則稱(X，T)為θ-弧連通空間.

定義6[4]設(shè)X為拓撲空間, ?x∈X,若?U∈Ux,?x∈X的道路連通鄰域V,使得x∈V?U,則稱X是局部道路連通空間.

定義7設(shè)X為拓撲空間,若X包含不可數(shù)多個點,則稱X為不可數(shù)空間.

2 主要結(jié)論

定理1設(shè)(X，T)是包含不可數(shù)多個點的可數(shù)補空間,則X是θ-連通的.

定理2[5]X為可數(shù)集,T={X-C:C為可數(shù)集}∪{Φ},則(X，T)為離散空間.

定理3如果Y為不少于兩點的離散空間,則拓撲空間X為θ-連通空間當(dāng)且僅當(dāng)有一θ-連續(xù)映射f:X→Y都是常值映射.

定理4設(shè)(X，T)是包含不可數(shù)多個點的可數(shù)補空間,則X不是θ-弧連通空間.

證明?x、y∈X,且x≠y,假設(shè)x、y是θ-弧連通的,由文[3]定義1.1知存在θ-連續(xù)映射f:[0,1]→X，使得f(0)=x,f(1)=y,由于[0,1]是不可數(shù)集,則f([0,1])也是不可數(shù)集.

事實上,若f([0,1])是可數(shù)集,且至少含兩點x、y,令Y=f([0,1]),由文[5]引理1知(Y,T|Y)為離散空間,且f|Y:[0,1]→Y為滿射,且為θ-連續(xù)映射,因為[0,1]是連通的,從而是θ-連通的,由文[2]定理4.8知f([0,1])是θ-連通的,由本文定理3知f([0,1])=Y為獨點集,矛盾.

令B={x|x∈I,x為有理數(shù)}?[0,1],則B為可數(shù)集,由文[1]定理1.7.2知f(B)為可數(shù)集.因為f(B)?f([0,1]),而f([0,1])為不可數(shù)集,所以?t∈[0,1],使f(t)∈f([0,1]),但f(t)?f(B),故t必為無理數(shù),令C=X-f(B)，則C為X中θ-開集且f(t)∈C,所以f-1(C)為[0,1]中θ-開集,且t∈f-1(C),因為f-1(f(B))?B,所以f-1(C)=f-1(X)-f-1(f(B))=[0,1]-f-1(f(B))?[0,1]-B，而[0,1]-B為[0,1]中無理數(shù)集,它的任意非空子集均不是θ-開集,這與f-1(C)為θ-開集矛盾,從而x、y不是θ-弧連通的,故X不是θ-弧連通空間.

定理5[1]可數(shù)補空間是局部連通空間.

定理6設(shè)(X，T)是包含不可數(shù)多個點的可數(shù)補空間,則X不是局部道路連通空間.

證明假設(shè)X是局部道路連通空間,則由文[4]定義2可知?x∈X,?U∈Ux,?x的道路連通鄰域V,使得x∈V?U.從而V為道路連通的,設(shè)y,z∈V,且y≠z,即y,z是道路連通的,由道路連通定義,存在連續(xù)映射f:[0,1]→X,使f(0)=x,f(1)=y,記I=[0,1],因為I不是可數(shù)集,類似于定理2,同理可證f(I)也是不可數(shù)集.

令B={x|x∈I,x為有理數(shù)}?I,則B為可數(shù)集，由文[1]定理1.7.2知f(B)為可數(shù)集，類似于本文定理2，可知I-B為I中無理數(shù)集, 它的任意非空子集均不是開集,這與f-1(C)為開集矛盾!故x、y不是道路連通的,故V不是道路連通子集,即?x∈X,?U∈Ux,不存在X的道路連通鄰域V,使x∈V?U,從而與假設(shè)矛盾!故X不是局部道路連通空間.

[1] 熊金城.點集拓撲講義[M].北京：高等教育出版社,1997.

[2] 許兆龍.θ-連通空間與θ-連通[J].韶關(guān)學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版,2002,23(6):17-24.

[3] 許兆龍.θ-弧連通空間與θ-弧連通[J].撫州師專學(xué)報,2003,22(3):46-49.

[4] 張喜貴.局部道路連通空間[J].通化師范學(xué)院學(xué)報,2002,23(5):14-17.

[5] 陳燕芬.一類可數(shù)補拓撲空間的連通性與弧連通性[J].韓山師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，1996 (3):27-29.

Several Connectedness of Countable RemainderTopological Spaces of Uncountable Spaces

WANG Xiao-xia, JIANG Jin-ping, ZHAO Ning-ning, LI Ping

(College of Mathematics and Computer Science,Yan′an University，Yan′an 716000，China)

This article discusses the θ-connectedness, θ-arcwise connectedness and local path connectedness in countable remainder topological spaces of uncountable spaces.

Uncountable spaces;Countable remainder topological spaces; Connectedness

2014-10-29

陜西省科技廳科研基金資助項目(2014k15-03-07，2014JM2-1005)；陜西省教育廳科研基金資助項目(15JK1832);延安市科技計劃基金資助項目(2012ks-01)；陜西省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃資助項目(1066).

王小霞(1978-)，陜西商洛人，副教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事格上拓撲學(xué)方面研究.

姜金平(1974-)，陜西洛川人，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事模糊拓撲與計算數(shù)學(xué)方面研究.

O189.1

A

1007-9793(2015)03-0033-03