吳 中，馬 樂，徐 琴，蘇治北

(河海大學(xué)土木與交通學(xué)院，江蘇南京210098)*

0 引言

隨著汽車數(shù)量迅速增長，城市路網(wǎng)受到越來越越大的挑戰(zhàn).交叉口作為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點，在路網(wǎng)中起著使交通流四通八達、交流互通的重要作用.城市交叉口大多受信號燈控制，綠燈相位內(nèi)，交叉口相應(yīng)方向的車流可順利通過;黃燈開始時，車輛禁止進入交叉口(已越過停車線的車輛可以繼續(xù)前進);在其后的紅燈時間內(nèi)，到達的車輛只能在交叉口前排隊等候.平面交叉口是各方向車流分時共用空間的通道，因此交叉口也有制約、中斷連續(xù)交通流的作用.信號燈周期性運行，各種相位或狀態(tài)重復(fù)出現(xiàn)，城市道路車流狀態(tài)的周期性表現(xiàn)出不同于高速公路和鄉(xiāng)村公路的特征.

目前，城市交通流的準實時監(jiān)測與推算、車輛排放的估計受到高度關(guān)注，交叉口交通流的計算方法不可或缺.只考慮連續(xù)特性的交通流方程，一般不涉及交通信號對交通流的影響，也難以較好描述車輛在交叉口附近減速、怠速、起動等行為.單純的類流體宏觀交通流方程很難全面刻畫城市交叉口交通流特性.

1 交通流理論的選擇

交通流理論發(fā)展迅速，公認的原創(chuàng)代表性成果有 Lighthill、Whitham［1］以及 Richards［2］提出的LWR 模型，Daganzo［3］對簡單仿照流體動力學(xué)的密度梯度模型進行批判，提出的速度梯度模型，以及多人從微觀角度提出的描述車隊中車輛跟馳行為理論.1997年，嚴寶杰［4］利用前后車的相關(guān)關(guān)系確定車輛坐標位置，編制了信號交叉口車流運行模擬程序，模擬實現(xiàn)了信號交叉口交通流運行全過程在計算機屏幕上的再現(xiàn)，其交通理論基礎(chǔ)是跟馳模型理論.2012年，陳玉峰［5］基于類流體的動力學(xué)方程和守恒定律，采用離散網(wǎng)格法用C++在Linux平臺上編寫交通流微觀仿真程序，建立了交通流數(shù)值計算仿真平臺.他們在交叉口交通流計算上進行了有益的探索，促進了交叉口交通流仿真的發(fā)展.若考慮城市交通網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜(交叉口多)、交叉口信號相位多、交通流周期性中斷、車流速度受多種條件約束，交叉口交通流數(shù)值模型應(yīng)滿足計算量小、計算速度快且易表達路況及外界條件改變對交通流影響的要求.一般而言，包括元胞自動機和多智能體模型方法，基于跟馳理論的交叉口模型，無論是采用等時推進或事件驅(qū)動的離散仿真方法，當車輛和網(wǎng)絡(luò)規(guī)模較大時，計算量明顯過大，并且還要考慮車輛換道行為.道路狀況對車流速度的影響只能融入跟馳模型或計算推理規(guī)則中，不同外界條件要有不同的模型與規(guī)則;基于速度梯度的動力模型可以用差分方法求解，動力方程描述了車流的速度與加速度類似流體的變化規(guī)律(車流加速度被認為由速度梯度驅(qū)動，水流加速度由壓強梯度驅(qū)動).理論上，交通流體加速度改變除主要與速度的空間梯度有關(guān)外，還與平衡速度和反應(yīng)滯后時間有關(guān)，外界與路況影響速度的因素主要反映在速度梯度項的系數(shù)上，也與平衡速度和滯后時間相關(guān)，有的類似方程還給出附加項;與速度梯度方程相比，LWR模型更加簡單，只需列出車輛守恒(也稱流體對流)方程.城市道路交通流特征、道路交通控制、路況影響因素等都可由交通流基本圖表達.基本圖包含的信息量多于動力方程中的平衡速度與滯后時間.雖然LWR不是嚴格意義上的動態(tài)模型，但空間與時間上的差分求解方法可以賦予它足夠精度的動態(tài)特性.

本文基于差分方法、利用LWR模型和基本圖進行交叉口交通流計算仿真，不需考慮車輛換道、跟馳等微觀因素，也不必標定方程速度梯度項系數(shù)與平衡速度等，具有計算快捷，基本圖描述交通流方便簡單、易于標定的特點［6］.

2 交通流模型建立

將交通流比擬為連續(xù)介質(zhì)，交通流滿足車輛數(shù)量守恒方程:

式(1)包含兩個未知量k與q，k表示密度，q表示流量，需要與交通流基本圖聯(lián)立求解.為簡單起見，本文采用適于城市道路交通流的三角形基本圖，如圖1.

圖1 交通流三角形基本圖

圖1表達了下列交通流基本規(guī)律:

若i表示道路空間坐標，n表示時間坐標，式

(1)空間中心差分、時間前差的離散方程為:

為確保方程計算的穩(wěn)定性，在空間上對kni進行替代，n+1時間層kni+1表示為:

式(3)、(4)具有空間二階、時間一階精度，能夠滿足交通流計算的要求.n+1時間層的流量可依據(jù)式(2)給出離散式:

由基本關(guān)系求出速度:

離散方程(4)～(6)共同構(gòu)成交通流基本模型.

3 考慮信號燈的交叉口交通流模型

信號燈交叉口模型重點與難點在于信號燈相位變化與交叉口路權(quán)變換在模型中的表達.不失一般性，以兩單行道A與B及其它們的交叉口為例進行說明.

A與B道路分別進行網(wǎng)格等分剖分，重合的交叉口區(qū)域各自劃分.以A道路為例，車輛進入端第一個單元即圖2中的a單元設(shè)為駛?cè)虢o定邊界，進入A道路車輛數(shù)由外界依時給定.圖2中，b單元為駛?cè)脒吔缦掠蔚谝粋€單元，c、d單元為交叉口上游停車線前倒數(shù)第二第一單元，e單元為交叉口區(qū)域停車線后的第一個單元，f到g是交叉口區(qū)域其它單元，車輛離開端最后一個單元i設(shè)為駛離邊界，可設(shè)定暢通式無反射波的開邊界，也可根據(jù)實際情況設(shè)為駛離給定邊界.B路的網(wǎng)格劃分同A路.

圖2 道路網(wǎng)格劃分圖

數(shù)值模型中信號燈相位周期由特定交叉口相位數(shù)組指示，數(shù)組長度為仿真時間步數(shù)，交叉口信號燈共有四種狀態(tài)如圖3，每個時間步都由數(shù)組指明信號燈狀態(tài).狀態(tài)值tpd=0，對應(yīng)A路的綠燈和B路的紅燈燈;tpd=1，對應(yīng)A路的黃燈和B路的紅燈;tpd=2，對應(yīng)B路的綠燈和A路的紅燈;tpd=3，對應(yīng)B路的黃燈和A路的紅燈.

圖3 交叉口相位示意圖

事實上，每條道路交叉口只有綠燈、黃燈與紅燈三種狀態(tài)，分別對三種狀態(tài)進行計算.

A路綠燈時將道路分為三個部分計算:第一部分是給定的駛?cè)脒吔缰?，圖2中的a單元;第二部分是駛?cè)脒吔缦掠蔚谝粏卧榴傠x邊界上游一個單元，b到h之間的單元，按式(4)計算;第三部分是駛離邊界i單元，無反射開邊界計算.

黃燈時將道路分為六個部分計算:第一部分是給定的駛?cè)脒吔缰?第二部分是駛?cè)脒吔缦掠蔚谝粏卧两徊婵谏嫌吻皟蓚€單元，即b到c之間的單元，按式(4)計算;第三部分是交叉口上游一個單元d，考慮停車線上游的車輛不能進入交叉口區(qū)域，密度按黃紅燈前邊界條件式(8)計算.

第四部分是交叉口區(qū)域第一個單元e，考慮上一個單元格車輛不進入交叉口，密度按黃紅燈后邊界條件式(9)計算.

第五部分是交叉口區(qū)域第二個單元到駛離邊界上游一個單元，即f到h之間的單元，按式(4)計算;最后一部分是駛離邊界i，按式(7)計算.

紅燈時將道路分為五個部分計算:第一部分、第二部分、第三部分和第五部分和黃燈時計算相同;第四部分從交叉口區(qū)域到駛離邊界上游一個單元，e到h之間的單元，按式(4)計算.

交叉口區(qū)域計算中暫未考慮上一相位交叉口發(fā)生擁堵、較多車輛滯留交叉口區(qū)域影響本相位車流前進的情況.

B路計算原理與A路相同，A、B兩路只要根據(jù)交叉口紅綠燈變化在時間上組合即可完成考慮信號燈影響的交叉口交通流數(shù)值模型建立與計算，其算法流程如圖4所示.

圖4 算法流程圖

4 算例

以A和B單向道路為算例，A路取1 km，B路取1.2 km，兩條路每10 m一個等間距網(wǎng)格單元，選Δx=10 m，模擬時長為3 960 s，時間步長為Δt=0.1 s，暢行速度為 50 km/h，阻塞密度取160pcu/km，臨界密度取60 pcu/km.信號周期如下:0～30 s，A路綠燈B路紅燈;31～33 s，A路黃燈B路紅燈;34～63 s，B路綠燈A路紅燈;64～66s，B路黃燈A路紅燈.

初始密度:kp0=40 pcu/km

時變給定駛?cè)脒吔纾側(cè)敕逯荡笥趒m:

A路40+22sin(πt/1600+π/2)

B路40+22sin(πt/1600+π/4)

駛出邊界:開邊界沒有計算域外反射交通波傳入.

圖5是A路、B路停車線上游第一個單元d與d'密度時間圖.A、B路d與d'單元在遇到黃紅燈時密度增大到最大值;綠燈時間推移，單元格密度逐步減小，表達了交叉口中斷交通的特征.

5 A、B路停車線上游第一個單元d與d'密度時間圖

圖6對應(yīng)圖5的流量，與密度有很好的對應(yīng)關(guān)系.綠燈中流量逐步增加和黃燈下流量突然減至為0的曲線，描述了真實的情況.

6 A、B路停車線上游第一個單元d與d'流量時間圖

圖7是A路、B路交叉口區(qū)域第一個單元e與e'密度時間圖.當上游不再來車，則e與e'單元的密度減小;綠燈內(nèi)密度增大，反映特性合理可信.

圖7 A、B路交叉口區(qū)域第一個單元e與e'密度時間圖

圖8 A、B路交叉口區(qū)域第一個單元e與e'流量時間圖

圖8對應(yīng)圖7的流量，與密度有很好的對應(yīng)關(guān)系.上游不再來車時，下游流量減小，綠燈內(nèi)流量增大.

由于黃紅燈前后邊界條件所描述的周期性中斷交通流，交通流突然中止，使得其交通波產(chǎn)生截斷“尾波”，這是由數(shù)據(jù)計算帶來的誤差.事實上，當黃燈亮前3～5 s，上游趕不上綠燈相位，越過停車線的上游車流已經(jīng)開始減速，其對應(yīng)的基本圖也受到速度與流量的限制，使真實交通流的“尾波”現(xiàn)象大為緩沖.通過在黃燈前短時間內(nèi)設(shè)定速度受限的基本圖可以清除“尾波”如圖9，A路停車線上游第一個單元d和交叉口區(qū)域第一個單元e的密度時間圖.

圖9 A路停車線上游第一個單元d和交叉口區(qū)域第一個單元e的流量時間圖

考慮修正黃紅燈上下游邊界黃燈前短時間交通流，計算得到算例的交通流時空圖見下圖，縱坐標是仿真時間，橫坐標是仿真空間，圖10～13分別表達了在周期性車流輸入的條件下，A、B兩條道路各處在3 960 s內(nèi)的交通流參數(shù).

圖10 A路密度時空圖

圖11 A路流量時空圖

圖12 B路密度時空圖

圖13 B路流量時空圖

5 結(jié)論

通過本文算例表明，LWR結(jié)合基本圖模型完全可以仿真交叉口的間斷交通流，它可以表達出車輛在信號燈控制下周期性中斷的宏觀特性;所建立的交叉口模型的路段需要根據(jù)紅綠燈狀態(tài)分段計算，數(shù)值模型中除了要設(shè)定常規(guī)的駛?cè)脒吔绾婉傠x邊界外，還要在特定單元設(shè)立黃紅燈前邊界與黃紅燈后邊界，這是交叉口模型特有邊界條件，也是將連續(xù)交通流方程應(yīng)用到間斷交通流中的關(guān)鍵銜接技術(shù);在特定時段黃紅燈前后邊界可以改變基本圖去限制流速，模擬車輛在停車線前信號轉(zhuǎn)變前短時減速的現(xiàn)象，以緩解或消除交通流突然中斷所帶來的“尾波”，基于基本圖能夠匹配到每一個單元;LWR結(jié)合基本圖模型適應(yīng)性廣，基本圖可由現(xiàn)場調(diào)查或經(jīng)驗推斷獲得，與城市道路實時傳感網(wǎng)結(jié)合，可為城市實時或準實時交通網(wǎng)絡(luò)流量推算與估計提供一種簡單、快速、適應(yīng)力強的方法.

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