基于排隊論的城市交通問題分析

孫 培，劉 凱，楊本朝

(1.信息工程大學；2.數(shù)學工程與先進計算國家重點實驗室；3.河南工程學院數(shù)理科學系)

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基于排隊論的城市交通問題分析

孫 培1,2，劉 凱3，楊本朝1,2

(1.信息工程大學；2.數(shù)學工程與先進計算國家重點實驗室；3.河南工程學院數(shù)理科學系)

城市道路中，交通事故、施工占道等因素會影響道路橫截面通行能力，從而引起交通堵塞，因此，正確估算被占用的車道對城市道路通行能力的影響程度就顯得格外重要。就車道被占用的交通問題，用排隊論的方法進行了分析，建立了數(shù)學模型，給出了通行能力與排隊長度、上游車流量等的關系，最后通過仿真驗證了模型的正確性。

通行能力；排隊論；隊列長度；服務時間

1 引 言

由于交通事故、路邊停車、占道施工等因素，車道或道路橫斷面通行能力在單位時間內(nèi)會降低。城市道路交通密度大，連續(xù)性強，一條車道被占用，會影響所有車道的通行能力，即使時間短，也可能引起車輛排隊，出現(xiàn)交通堵塞。因此，正確估算車道被占用對城市道路通行能力的影響程度，將為交通管理部門正確引導車輛行駛、審批占道施工、設計道路渠化方案、設置路邊停車位和設置非港灣式公交車站等提供理論依據(jù)。

本文針對車道被占用的交通問題，用排隊論的方法，詳細分析了事故發(fā)生路段的車流量、服務時間、排隊長度等信息，深入研究了交通事故所影響的路段車輛排隊長度與事故橫斷面實際通行能力、事故持續(xù)時間、路段上游車流量間的關系，最后通過仿真驗證模型的正確性。

2 模型假設與說明

(1)由于只研究交通事故占用車道對交通的影響，因此只考慮四輪及以上機動車、電瓶車的通行情況，其他車輛不予考慮；

(2)由實際情況知，車輛進入事發(fā)路段前，會選擇自己在下游路口要轉(zhuǎn)向的車道行駛；車輛進入事發(fā)路段后，自動占滿三個車道；

(3)假定所有車輛都遵守交通規(guī)則，不存在闖紅燈情況。

3 模型的準備

交通量觀測時，應采取自然車輛數(shù)計量，而在統(tǒng)計分析中，可根據(jù)需要采用自然車輛數(shù)及換算標準車當量數(shù)計量，單位為pcu。

公路交通量換算標準車當量數(shù)以小汽車當量數(shù)計算。對于題目中的問題，將車輛主要分為三種車型，分別為小汽車、電瓶車和大客車，通過查閱文獻可得，小汽車、電瓶車和大客車的換算系數(shù)分別為1、0.5和2。于是，可以將不同車型的交通量換算為同一標量，從而車流量的單位統(tǒng)一為pcu/h,換算公式為

標準車當量數(shù)=小汽車數(shù)×1+電瓶車數(shù)×0.5+大客車數(shù)×2，為方便表述，下文不區(qū)分“標準車當量數(shù)”和“車輛數(shù)”，并默認為前者。

4 模型建立與求解

下面我們構建數(shù)學模型，分析監(jiān)控錄像中事故發(fā)生路段車輛排隊長度與事故橫斷面實際通行能力、事故持續(xù)時間、路段上游車流量間的關系。首先，由以上的分析知，到達事發(fā)路段的車流量呈現(xiàn)一定的周期性，所以車流的到達時間間隔服從一般分布；其次，一輛車通過事故橫截面的時間即為服務時間，服務時間也服從一般分布；最后，事故發(fā)生前的道路為雙向六車道，發(fā)生事故后，單向只有一個車道可以通行，相當于一個服務臺，因此，由排隊論的知識，此問題是G/G/1排隊模型。

4.1 車輛到達時間間隔分析

從監(jiān)控錄像中可以看出來，t時刻到達事發(fā)路段的車流量數(shù)n(t)由三部分構成：從上游路口右轉(zhuǎn)的車流量數(shù)n1(t)，從小區(qū)出來的車流量數(shù)n2(t)，從上游路口直行進入事發(fā)路段的車流量數(shù)n3(t)，從而n(t)=n1(t)+n2(t)+n3(t)。從小區(qū)出來和從上游路口右轉(zhuǎn)的車不受紅綠燈限制，所以到達時間間隔服從泊松分布，設其參數(shù)分別為λ1和λ2，Pn(t)為在時間段[0,t]內(nèi)到達n輛車的概率，則

從上游直行的車受上游路口紅綠燈影響，所以在一個紅綠燈周期內(nèi)，到達時間間隔服從均勻分布，即每個周期內(nèi)直行進入事發(fā)路段的車流量是相等的。從黃燈時，未通過停止線的車就不能行進了，所以每個周期內(nèi)車輛通行時間為綠燈時間+綠閃時間=27s，故

4.2 車輛服務時間分析

排隊論中，服務時間定義為在忙期內(nèi)相繼離開系統(tǒng)的兩個顧客的時間間隔，對應到本問題中，服務時間應為兩輛相繼通過事故橫截面的時間差，即一輛標準當量的車通過事故橫截面的平均時間。由監(jiān)控可以看出，不同的時刻，服務時間不同，當車流量較小時，車輛通過事故橫截面的時間短；當車流量大時，車輛通過橫截面時間長。令T(t)代表t時刻的服務時間。

觀察監(jiān)控錄像可知，當未堵車時，車輛都從右車道(即未被占領的車道)通過，車輛通過事故橫截面的時間與事故發(fā)生前基本一樣；堵車時，隨著車流密度的增加，車輛會均勻地占滿三個車道，然后加塞通過未被占的車道，導致服務時間變長。

設車輛數(shù)較少未持續(xù)堵車時，右車道標準當量的車通過事故橫截面的平均時間為t0；當發(fā)生持續(xù)堵車時，其他兩個車道的車輛要通過加塞通過右車道，令Δt代表從中間車道加塞至右車道使得服務時間的增加值，Δt1代表從左車道加塞至中間車道使得服務時間的增加值，所以從中間車道經(jīng)過事故橫截面的時間為t0+Δt，從左車道經(jīng)過事故橫截面的時間為t0+Δt+Δt1。設t時刻總車輛數(shù)為B，再由問題中各車道車輛的比例知，所有車輛經(jīng)過事故橫截面的時間t總=0.21Bt0+0.44B(t0+Δt)+0.35B(t0+Δt+Δt1)，所以服務時間的平均值為

為了簡化模型，可認為Δt=Δt1，故T=t0+1.14Δt。

4.3 排隊長度分析

在沒有發(fā)生持續(xù)堵車時，我們研究t時刻道路的實際同行能力Q(t)、車輛速度v(t)與車流量Ls(t)的關系。我們?nèi)”O(jiān)控中堵車的路段長度120m為單位長度，則t時刻120m內(nèi)的車輛數(shù)Ls(t)即為t時刻事故路段單位長度的車輛密度，所以，由物理學基本知識，有

Q(t)=v(t)·Ls(t)

(1)

由實際生活中的經(jīng)驗知，速度和密度之間存在密切關系，當?shù)缆飞宪囕v增多，車流密度加大時，司機就被迫降低車速。1935年，Greenshields通過大量觀測和統(tǒng)計分析，得出了車速與密度之間的一個線性模型

v(t)=vf(1-Ls(t)/Lj)

(2)

其中vf是車流量為0時的車速，即理論上的最高車速，一般取60 km/h;Lj是速度為0時的密度，稱為阻塞密度，一般城市道路的阻塞密度為110輛/km,即133輛/120 m。

將(2)式代入(1)式中，得到t時刻道路的實際通行能力與隊長的關系

圖1 實際通行能力與時間的關系

5 問題的仿真

我們依據(jù)監(jiān)控錄像，對此問題進行仿真，步驟如下。

第一步，從監(jiān)控中統(tǒng)計一些數(shù)據(jù)信息，例如道路長度M=240 m,事故持續(xù)時間T=18 min,車輛進入事發(fā)路段的平均速度v=8.5 m/s，兩輛車車頭的距離6.22 m。

第二步，將車輛轉(zhuǎn)換成標準當量的車，并產(chǎn)生泊松隨機數(shù)。把這些泊松隨機數(shù)設置成車輛右拐泊松參數(shù)和車輛進出小區(qū)參數(shù)。

第三步，生成均勻分布，安排直行車輛；有第二步產(chǎn)生的參數(shù)安排右拐車輛和進出小區(qū)車輛。

第四步，以10 s為間隔進行仿真，中間加入車輛加塞信息作為擾動。

第五步，輸出仿真結果，如圖2所示。

圖2 仿真結果

從圖2可以看出，車輛排隊長度也呈現(xiàn)上下浮動，以60 s為一周期，車隊都呈現(xiàn)先增加后減少的趨勢，體現(xiàn)了上游紅綠燈的周期性，排隊的最長長度在123 m左右，與真實情況符合地較好。

6 結束語

本文用排隊論的方法，分析了車道被占用時對城市道路通行能力的影響程度，深入研究了交通事故所影響的路段的車輛排隊長度與事故橫斷面實際通行能力、事故持續(xù)時間、路段上游車流量間的關系，并通過仿真驗證了模型的正確性，與實際情況相吻合。將本文中的模型和結論進行適當推廣，可以用于研究高速公路等不同交通環(huán)境下因交通事故、路邊停車、占道施工等因素，導致車道或道路橫斷面通行能力在單位時間內(nèi)降低的現(xiàn)象，并為采取有效措施解決這些問題提供參考。

[1] 城市道路工程設計規(guī)范[EB/OL]. http://wenku.baidu.com/view/d923118acc22bcd126ff0ccb.html.

[2] 邵敏華，邵顯智，孫立軍. 對城市道路通行能力定義方法的探討[J].交通與計算機，2005，6(23):68-71.

[3] 姜啟源，等.《數(shù)學模型》(第四版)[M].北京：高等教育出版社，1987.

[4] 韓中庚.《數(shù)學建模及其應用》(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2008.

2015-02-11

孫培(1982-)，女，河南平頂山人，講師，研究方向：數(shù)學建模及其應用。

O29

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1008-3383(2015)11-0173-02