邢海芳,楊 晉

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,太原 030024)

高階中立型微分方程非振動(dòng)解的存在性

邢海芳,楊 晉

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,太原 030024)

運(yùn)用Banach壓縮映像原理,得到了當(dāng)系數(shù)p(t)在不同范圍內(nèi)變化時(shí)方程非振動(dòng)解存在的充分條件。文中結(jié)論推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)的相應(yīng)結(jié)果,并給出兩個(gè)事例說(shuō)明結(jié)論的適用性。

中立型微分方程;Banach壓縮映像原理;非振動(dòng)解

設(shè),變系數(shù)高階中立型線性微分方程為

[r(t)[x(t)+p(t)x(t-τ)](n-1)]′+

(1)

式中：n≥2為給定的正整數(shù);p∈C([t0,∞),R+);r∈C([t0,∞),R+);q1∈C([t0,∞)×[a,b],R+);q2∈C([t0,∞)×[a,b],R+),0

最近幾年,已經(jīng)研究了一階、二階和高階中立型微分方程的非振動(dòng)性。1998年,Kulenovic＇和Had?iomerspahic＇[3]建立了如下二階線性時(shí)滯微分方程非振動(dòng)解存在性的一些充分條件

Q2(t)x(t-σ2)=0 .

2002年,周勇和張寶國(guó)[4]將文獻(xiàn)[3]的結(jié)果延伸到如下高階線性中立型微分方程

[p(t)x(t-σ)-Q(t)x(t-δ)=0 .

2005年,俞元洪和王宏洲[5]研究了如下二階非線性中立型時(shí)滯方程非振動(dòng)解。

[r(t)[x(t)+p(t)x(t-τ)]′]′+

Q1(t)f(x(t-σ1))-Q2(t)g(x(t-σ2))=0 .

2010年,Candan和Dyhiya[6]研究了如下的一階、二階的分布型偏差變?cè)⒎址匠谭钦駝?dòng)解的存在性

式中，k=1,2.

2012年,Candan[7]研究了如下的高階非線性中立型方程非振動(dòng)解的存在性

[r(t)[x(t)+p(t)x(t-τ)](n-1)]′+

(-1)n[Q1(t)x(t-σ1)-Q2(t)x(t-σ2)]=0 .

2013年,Candan[8]研究了如下的一階非線性中立型方程非振動(dòng)解的存在性

[[x(t)-p1(t)x(t-τ)]γ]′+

Q1(t)G(x(t-σ))=0 ,

[[x(t)-p1(t)x(t-τ)]γ]′+

筆者給出了式(1)的非振動(dòng)解的存在性的充分條件。根據(jù)系數(shù)p(t)的范圍給出了4個(gè)定理。

通常,如果式(1)的解有任意大的零點(diǎn),那么稱式(1)的解是振動(dòng)的，否則稱它的解是非振動(dòng)的。

1 主要結(jié)論

定理1 假設(shè)0≤p(t)≤p<1,令

Q1(s)=

(2)

假設(shè)

(3)

成立,則式(1)存在非振動(dòng)解。

A(L1,L2)={x∈Λ∶L1≤x(t)≤L2,t≥t0}.

式中,L1和L2是正數(shù),使得pL2+L1<α

t1≥t0+max{b,d,τ}，

(4)

使得

(5)

(6)

定義算子T∶A→Λ為

由算子T的定義易得,Tx是[t0,∞)上的連續(xù)函數(shù)。對(duì)t≥t1和x∈A,根據(jù)(5),得到

由式(6),得到

這說(shuō)明TA?A.因?yàn)锳是Λ上的有界子集,下證T是Λ上的壓縮算子。對(duì)任意的x1,x2∈At≥tv

|(Tx1)(t)-(Tx2)(t)|≤

p(t)|x1(t-τ)-x2(t-τ)|+

x2(v-ξ)|dξ)dvds+

即 ‖Tx1-Tx2‖≤λ1‖x1-x2‖.

定理2 假設(shè) 1

式中,L3和L4是正數(shù),使得p0L3+L4<α

t1+τ≥t0+max{b,d} ，

(7)

使得

(8)

(9)

定義算子T∶A→Λ為

由算子T的定義易得,Tx是[t0,∞)上的連續(xù)函數(shù)。對(duì)t≥t1和x∈Λ,根據(jù)式(8),得到

由式(9),得到

這說(shuō)明TA?A.因?yàn)锳是Λ上的有界子集,下證T是Λ上的壓縮算子。對(duì)任意的x1,x2∈At≥tv

|(Tx1)(t)-(Tx2)(t)|≤

即‖Tx1-Tx2‖≤λ2‖x1-x2‖,

定理3 假設(shè)-1

(10)

(11)

定義算子T∶A→Λ為

由算子T的定義易得,Tx是[t0,∞)上的連續(xù)函數(shù)。對(duì)t≥t1和x∈Λ,根據(jù)式(10),得到

由式(11)得到

這說(shuō)明TA?A.因?yàn)锳是Λ上的有界閉的凸子集,為了應(yīng)用壓縮映像原理，下證T是Λ上的壓縮算子。對(duì)任意的x1,x2∈A,t≥t1,

|(Tx1)(t)-(Tx2)(t)|≤

|p(t)||x1(t-τ)-x2(t-τ)|+

‖x1-x2‖

即‖Tx1-Tx2‖≤λ3‖x1-x2‖.

定理4 假設(shè)-∞

其中L7和L8是正數(shù),使得(-1-p0)L7<α<(-1-p)L8,易證A(L7,L8)是Λ的一個(gè)有界凸閉子集?？梢赃x擇充分大的t1≥t0,使得

(13)

(14)

定義算子T∶A→Λ為

由算子T的定義易得,Tx是[t0,∞)上的連續(xù)函數(shù)。對(duì)t≥t1和x∈Λ,根據(jù)式(13),得到

由式(14),得到

這說(shuō)明TA?A.因?yàn)锳是Λ上的有界子集,下證T是Λ上的壓縮算子。對(duì)任意的x1,x2∈A，t≥t1，

即‖Tx1-Tx2‖≤λ4‖x1-x2‖.

2 算例

例1 考慮方程

經(jīng)驗(yàn)證,滿足定理3的條件,則該方程存在一個(gè)非振動(dòng)解。其解圖像如圖1所示。

圖1 例1的解圖像

例2 考慮方程

經(jīng)驗(yàn)證,滿足定理3的條件,則該方程存在一個(gè)非振動(dòng)解。其解圖像如圖2所示。

圖2 例2的解圖像

與以前的結(jié)果相比較,這里的結(jié)論將現(xiàn)有的一階二階變系數(shù)中立型微分方程的結(jié)果推廣到變系數(shù)高階中立型微分方程中。從方程的形式和解的存在性條件兩方面對(duì)文獻(xiàn)[4-6]進(jìn)行了推廣和改進(jìn)。特別地,當(dāng)r(t)=1,n=2時(shí),定理1-4的結(jié)論即為文獻(xiàn)[6]中定理1-4的結(jié)論。

[1] Erbe L H,Kong Q K,Zhang B G.Oscillation Theory for Functional Differential Equation.New York:Marcel Dekker,1995.

[2] Gy?rl I,Ladas G.Oscillation Theory of Delay Differential Equation with Applications.Oxford：Clarendon Press ,1991.

[3] Kulenovic＇ M R S,Had?iomerspahic＇ S.Existence of Nonoscillatory Solution of Second-order Linear Delay Equation.Math Anal Appl,1998(228):436-448.

[4] Zhou Y,Zhang B G.Existence of Nonoscillatory Solution of Higher-order Neutral Differential Equation with Positive and Negative Coefficients.Appl Math Lett,2002(15):867-874.

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[7] Candan T.The Existence of Nonoscillatory Solution of Higher-order Nonlinear Neutral Equation.Appl Math Lett,2012(225):412-416.

[8] Candan T.Existence of Nonoscillatory of Solutions of First-order Nonlinear Neutral Differential Equation.Appl Math Lett,2013(26):1182-1186.

[9] Zi Xueping.The Existence of Nonoscillatory Solutions to Higher-order Nonlinear Neutral Differential Equations[J].Jounrnal of Guangdong University of Technology,2013(4):111-115.

(編輯：劉笑達(dá))

The Existence of Nonoscillatory Solutions of Higher Order Neutral Differential Equation

XING Haifang,YANG Jin

(CollegeofMathematics,TaiyuanUniversityofTechnology,Taiyuan030024，China)

The Banach contraction principle was used to obtain new sufficient conditions for the existence of nonoscillatory solutions.It proves that there exist nonoscillatory solutions when the coefficientp(t) changes in different ranges.The results of this paper imorove the conclusion of preuious study.We give two examples to illustrate the applicability of our result.

neutral differential equations;banach contraction principle;nonoscillatory solution

1007-9432(2015)04-0474-06

2015-01-15

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目:牙種植技術(shù)中的多參數(shù)識(shí)別問(wèn)題的計(jì)算方法(11401423)

邢海芳(1990-)，女,山西晉中人,碩士生,主要從事計(jì)算數(shù)學(xué)研究，(Tel)18334706500

楊晉,教授,(E-mail)addresses:ya_jin102@163.com

O241.81

A

10.16355/j.cnki.issn1007-9432tyut.2015.04.023