陳浩, 徐敏, 謝亮, 康偉

(西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 陜西 西安　710072)

保形動網(wǎng)格策略在CFD/CSD耦合中的應(yīng)用

陳浩, 徐敏, 謝亮, 康偉

(西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 陜西 西安710072)

摘要：提出了一種基于有限元插值投影,徑向基函數(shù)(RBF)和無限插值(TFI)的保形動網(wǎng)格策略,并將其用于考慮舵偏擾動的舵身組合體CFD/CSD耦合分析。研究思路為:首先采用RBF方法完成剛性運動組合體投影基面的彈性變形;其次采用基于有限元插值的投影方法按照點、線、面的順序?qū)⑸弦徊降奈锩婢W(wǎng)格向投影基面投影,獲得變形后的物面網(wǎng)格,期間通過TFI技術(shù)保持原始網(wǎng)格的分布;再采用TFI技術(shù)將物面網(wǎng)格的變形均勻地插往全場網(wǎng)格,獲得最終的全場網(wǎng)格;最后通過CFD/CSD松耦合策略配合耦合邊界條件實現(xiàn)耦合計算。通過算例獲得的主要結(jié)論有:(1)在剛性舵偏16°的算例中,保形動網(wǎng)格策略實現(xiàn)了組合體物面點保形率100%;(2)在考慮舵偏擾動的舵身組合體算例中,保形動網(wǎng)格策略在保持了彈身和舵面幾何形狀的同時,還保持了合理的網(wǎng)格分布,而總計算時間僅增加2.1%。

關(guān)鍵詞：氣動彈性;保形;網(wǎng)格變形;有限元方法CFD/CSD耦合;操縱面

在氣動彈性和流固耦合這類問題的分析中,由于結(jié)構(gòu)外形在外部氣動力的作用下發(fā)生了變形,這就需要采用某種方法根據(jù)結(jié)構(gòu)表面的變形使氣動網(wǎng)格中的空間節(jié)點做出相應(yīng)調(diào)整,即所謂的動網(wǎng)格方法[1]。如何提高動網(wǎng)格方法的計算效率和通用性正是目前研究的熱點。

在動網(wǎng)格領(lǐng)域,常用的方法有無限插值法(TFI)和徑向基函數(shù)法(RBF)。傳統(tǒng)的TFI方法一般僅能用于結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格,但計算效率高,能夠支持中等程度的變形。雖然國內(nèi)學(xué)者對TFI方法的缺點進(jìn)行了諸多的改進(jìn)[1-2],該方法也在很多問題中得到了應(yīng)用[3-4],但在三維算例中,要么彈身為方形截面[3-4],要么根部無變形[1-2]。即這些改進(jìn)依然沒有解決一般截面彈身組合體僅舵面變形的問題。最近出現(xiàn)的徑向基函數(shù)法(RBF)在用于網(wǎng)格變形時,有著通用性好,容易編程實現(xiàn)和在變形連續(xù)時對原始網(wǎng)格的正交性保持性好的優(yōu)點,從而在數(shù)值計算中得到了應(yīng)用[5-7]。但是,文獻(xiàn)[7]中僅考慮了舵面的剛性運動,尚未考慮舵面同時存在剛性運動和彈性運動時的動網(wǎng)格策略。

綜上所述,目前常用的動網(wǎng)格技術(shù)都不能解決舵身組合體只有舵面運動,且同時發(fā)生剛性和彈性運動時的網(wǎng)格變形問題。其根本原因在于傳統(tǒng)的動網(wǎng)格方法無法保持運動后的組合體幾何外形:即使對于單個舵面這樣的簡單外形,由于實際計算過程中往往通過設(shè)置對稱面邊界進(jìn)行半模計算以減少計算量,而原始的RBF和TFI方法無法保持對稱面位置。如不引入新的方法,單純的RBF方法、TFI方法或是RBF和TFI結(jié)合的方法必然會至少破壞一個部件(翼面/舵面/彈身/機身)的幾何外形,甚至?xí)⒔Y(jié)合部位的各部件幾何外形全部破壞掉。僅僅在極少數(shù)的情況下(彈身為方形截面或運動部件的根部不變形),才能保持組合體的幾何外形。

為了解決該問題,本文采用有限元插值投影來保持運動后的組合體外形,并結(jié)合RBF和TFI動網(wǎng)格方法,形成保形動網(wǎng)格策略(SPGDM),然后將其應(yīng)用于CFD/CSD耦合氣動彈性分析系統(tǒng)中,計算了舵身組合體(彈身為圓形截面)中舵面在同時考慮剛性運動與彈性運動時的動響應(yīng)。

1保形動網(wǎng)格策略

較新的RBF動網(wǎng)格方法[5-7]與傳統(tǒng)的TFI動網(wǎng)格方法[1-4,8]已經(jīng)在許多氣動網(wǎng)格發(fā)生剛性/彈性變形的問題中得到了應(yīng)用。但是這2種方法要進(jìn)一步應(yīng)用于復(fù)雜外形的氣動網(wǎng)格變形則還存在各自的問題。

而本文提出的保形動網(wǎng)格策略通過將目前已有的成熟技術(shù)(基于有限元插值的投影技術(shù),RBF插值技術(shù)和TFI動網(wǎng)格技術(shù))有機地結(jié)合起來,以可以接受的計算效率,來解決組合體外形非定常CFD網(wǎng)格變形中的幾何外形保持問題。針對原始物面變形不連續(xù)這一本質(zhì)問題,采用合理的投影策略來獲得連續(xù)的物面網(wǎng)格變形。其中，RBF插值的實現(xiàn)見文獻(xiàn)[9]，徑向基函數(shù)選擇Wendland’s C2函數(shù)[9],采用貪心算法進(jìn)行選點；TFI動網(wǎng)格的實現(xiàn)見文獻(xiàn)[2]。

由于本文采用的基于有限元形函數(shù)的曲面插值有其特殊的處理步驟,故將其與本文提出的保形動網(wǎng)格策略分別進(jìn)行介紹。

1.1基于有限元形函數(shù)的曲面插值

本文所采用的有限元插值,借鑒了文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[11]中等參單元逆變換的思想,采用數(shù)值迭代算法獲得當(dāng)?shù)刈鴺?biāo),然后進(jìn)行物理量的正向插值。

對一般的三維等參單元來說,坐標(biāo)變換就是將各單元從整體坐標(biāo)系x-y-z下變換到當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系ξ-η-ζ下。其顯式正變換為:

(1)

(2)

(3)

式中,xi,yi,zi為單元中第i個節(jié)點的位置坐標(biāo),n為單元的節(jié)點個數(shù),Ni為第i個節(jié)點對應(yīng)的形函數(shù),x,y,z為插值點處的位置坐標(biāo),ξ,η,ζ為插值點處的當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)。一般物理量u擬采用與坐標(biāo)變換相同的函數(shù)來進(jìn)行插值:

(4)

式中,ui為單元中第i個節(jié)點處的物理量。

雖然(7)式～(9)式本身并不復(fù)雜,但是由于Ni一般并非ξ,η,ζ的線性函數(shù),其逆變換一般并不存在解析形式。因此需要采用數(shù)值迭代算法進(jìn)行逆變換。令b=(x,y,z)T,α=(ξ,η,ζ)T,則(7)式～(9)式可以表示為:b=f(α)。這是一個3階非線性方程組,可以采用非線性方程組的迭代方法求解。本文選擇牛頓迭代法來求解,具體求解步驟如下:

1) 給定迭代初值α0;

2) 計算第k步的誤差向量:ek=f(αk)-b;

3) 如果‖ek‖足夠小,則轉(zhuǎn)步驟7);

5) 解線性方程組:JkΔα=ek;

6) 更新迭代值:αk+1=αk+Δα,k=k+1,轉(zhuǎn)步驟2);

7) 結(jié)束迭代:α=αk。

求出α(即:ξ,η,ζ)之后,將其代入(12)式就能獲得u在另外一套網(wǎng)格節(jié)點上的值。

上面給出的逆變換求解方法對于插值點在網(wǎng)格單元內(nèi)部或者距離并不遠(yuǎn)的情況下,收斂非常迅速,對本文使用的算例,一般10步之內(nèi)就能收斂。但是,如果插值點與網(wǎng)格單元相距較遠(yuǎn)時就不容易收斂。所以,為了保證逆變換求解的正確性和效率,應(yīng)先確定插值點所在網(wǎng)格單元,具體方法見文獻(xiàn)[12]。

1.2保形動網(wǎng)格策略的實現(xiàn)步驟

在實現(xiàn)了上文的RBF技術(shù)、基于有限元形函數(shù)的插值和TFI動網(wǎng)格方法之后,本文提出的保形動網(wǎng)格策略具體步驟和示意圖如下(實線表示CFD網(wǎng)格的物面邊界,虛線表示投影基面網(wǎng)格,為保證相貫,投影基面應(yīng)有適當(dāng)延伸):

1) 采用RBF方法使投影基面網(wǎng)格發(fā)生彈性變形,然后使其發(fā)生剛性變形,如圖3所示;

2) 采用基于有限元插值的投影方法將上一步的物面網(wǎng)格的邊界向各投影基面網(wǎng)格反復(fù)投影,直到相貫線位置不再變化,如圖4所示;

3) 采用TFI技術(shù)將物面網(wǎng)格的邊界變形均勻地插到整個物面上,如圖5所示;

4) 采用基于有限元插值的投影方法將物面的內(nèi)點向各投影基面網(wǎng)格投影獲得當(dāng)前步的物面網(wǎng)格,如圖6所示。

5) 采用TFI技術(shù)將物面網(wǎng)格的變形均勻地插往全場網(wǎng)格,獲得當(dāng)前步的全場網(wǎng)格。

本文實現(xiàn)的保形動網(wǎng)格策略的實際應(yīng)用效果見3.2.2節(jié)。

2CFD/CSD耦合方法

2.1氣動力計算

三維可壓縮非定常守恒積分形式的歐拉方程[8]為:

(5)

式中,t為時間,Q為守恒變量矢量,Fc為對流通量項,Ω和?Ω是控制體和其邊界。對(1)式采用有限性體積法進(jìn)行求解;對流通量項Fc采用Vanleer格式計算,該格式在超聲速流域的穩(wěn)定性較好;限制器選用魯棒性較好的minmod型限制器;時間推進(jìn)格式采用雙時間推進(jìn),通過引入子迭代將LUSGS格式的時間離散精度擴展到2階;邊界條件在遠(yuǎn)場處根據(jù)速度方向判斷是流入還是流出,流入時賦遠(yuǎn)場值,流出時由內(nèi)場做一次外插;在物面處對速度采用無穿透條件,令溫度和壓強在物面法向梯度為零。

2.2結(jié)構(gòu)動力學(xué)求解

氣動彈性耦合系統(tǒng)中的結(jié)構(gòu)動力學(xué)部分采用模態(tài)疊加法求解。模態(tài)疊加法本質(zhì)是將各階結(jié)構(gòu)模態(tài)解耦后的降階方法。利用模態(tài)解耦后的結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程為:

(6)

2.3耦合技術(shù)

氣動彈性耦合計算采用松耦合策略,如圖7所示,主要步驟有:

1) 氣動力計算;

2) 將氣動力(壓強)插往結(jié)構(gòu)網(wǎng)格;

3) 進(jìn)行結(jié)構(gòu)動力學(xué)計算;

4) 將結(jié)構(gòu)變形插往氣動網(wǎng)格,并進(jìn)行網(wǎng)格變形。

圖7　氣動彈性耦合示意圖

其中,第2步和第4步的插值是在流固耦合邊界上進(jìn)行的(三維問題就是面插值)。在氣動系統(tǒng)方面,耦合邊界上的速度在邊界法向上為零;在結(jié)構(gòu)動力學(xué)方面,耦合邊界上采用給定壓強的邊界條件。氣動力的插值采用RBF技術(shù),氣動網(wǎng)格變形采用本文提出的保形動網(wǎng)格策略予以實現(xiàn)。

3數(shù)值計算

為了考察保形動網(wǎng)格策略的保形效果及在CFD/CSD耦合計算中的適用性,以圓截面彈身的舵身組合體為對象進(jìn)行了16°舵偏和擾動下的動響應(yīng)計算。其中,氣動舵為全動舵,通過舵軸與彈身相連。在對舵身組合體進(jìn)行CFD/CSD耦合計算時,將彈身考慮為剛性,僅考慮氣動舵本身的彈性效應(yīng)。

3.1模型描述

3.1.1幾何外形及氣動網(wǎng)格

氣動舵的翼型為雙弧形,相對厚度為0.05;平面形狀為梯形,根弦弦長0.8m,梢弦弦長0.36m,前緣后掠角34.02°。舵身組合體為半模,圖8中給出了組合體的的網(wǎng)格拓?fù)浜臀锩婢W(wǎng)格。全場網(wǎng)格共21個塊,單元總數(shù)為373 480。

圖8　舵身組合體氣動網(wǎng)格

3.1.2結(jié)構(gòu)模型

氣動舵的結(jié)構(gòu)模型如圖9所示。該氣動舵由舵面和舵軸組成,舵面和舵軸的材料參數(shù)見表1,舵面采用實體單元進(jìn)行建模,舵軸采用半徑為10mm的圓截面梁進(jìn)行建模。舵軸位于舵面根部1/2弦線處。在舵軸根部加載固支約束,在舵軸與舵面相連的節(jié)點通過RBE2與周圍8個點相連。

圖9　氣動舵結(jié)構(gòu)網(wǎng)格

部件E/GPavρ/(kg·m3)舵面700.332800舵軸2200.374480

3.1.3保形所需的投影基面

為了在舵身組合體的耦合計算中保證彈身和舵面的幾何外形都不被破壞,本文采用了保形動網(wǎng)格策略,其中所需的投影基面如圖10所示。

圖10　投影基面網(wǎng)格

3.2計算結(jié)果

3.2.1結(jié)構(gòu)模態(tài)

采用Nastran計算獲得氣動舵的前4階結(jié)構(gòu)模態(tài),其中:1階模態(tài)為舵軸彎曲模態(tài),2階模態(tài)為舵軸扭轉(zhuǎn)模態(tài),3階模態(tài)為舵面彎曲模態(tài),4階模態(tài)為舵面扭轉(zhuǎn)模態(tài)。從圖11中可以看出,舵軸模態(tài)的頻率要比舵面模態(tài)的頻率低得多:舵軸模態(tài)頻率不超過60Hz,舵面模態(tài)的頻率不低于299Hz。這說明舵軸剛度要遠(yuǎn)小于舵面剛度。

圖11　舵面結(jié)構(gòu)模態(tài)

3.2.2動網(wǎng)格效果

對舵面施加16°的舵偏,采用常規(guī)TFI方法,保持舵面形狀不變,獲得變形后的網(wǎng)格如圖12所示。

圖12　TFI方法所獲得的組 圖13　保形動網(wǎng)格策略獲得　合體變形后網(wǎng)格　的組合體變形后網(wǎng)格

從圖12中可以看到,由于舵面變形的拖拽效應(yīng),導(dǎo)致彈身發(fā)生了巨大的變形,而這種變形在實際導(dǎo)彈舵偏時完全不存在。由表2知變形后的彈身網(wǎng)格僅有7.06%的網(wǎng)格點位于真實的彈身上。采用圖12中的氣動網(wǎng)格進(jìn)行定常CFD計算(Ma=2,H=3km)所獲得的壓力系數(shù)如圖14所示,從圖14可以看出,由于彈身被拉壞,產(chǎn)生了非物理的壓縮區(qū)和膨脹區(qū)?？上攵?在組合體的CFD/CSD耦合分析中采用常規(guī)TFI方法必然會造成巨大的誤差,結(jié)果的可信度將非常有限。

表2　彈身節(jié)點保形效果

而采用保形動網(wǎng)格策略,在舵偏16°時,可同時保持舵面和彈身形狀不變,變形后的網(wǎng)格如圖13所示。在這一過程中所使用的4個投影基面網(wǎng)格如圖10所示,為了保證投影的精度,這些投影基面都采用了8節(jié)點四邊形單元。為了考察保形動網(wǎng)格策略是否有效,表2給出了彈身節(jié)點的保形效果,從表中可以看出氣動網(wǎng)格彈身節(jié)點在變形之后100%保持在了彈身上。從圖13中可以清晰地看出,采用了保形動網(wǎng)格策略之后,在常規(guī)TFI方法中巨大的彈身變形得以完全避免。從圖15中可以看出由于變形之后的彈身網(wǎng)格依然維持了原始外形,因此沒有產(chǎn)生非物理的壓縮區(qū)和膨脹區(qū),從而說明保形動網(wǎng)格策略能夠保持組合體的CFD/CSD耦合分析的可信度。

圖14　TFI變形后Cp云圖　圖15　SPGDM變形后Cp云圖

3.2.3CFD/CSD耦合結(jié)果

采用本文的CFD/CSD耦合方法,在Ma=2,H=3 km的來流狀態(tài)下,對舵身組合體進(jìn)行擾動下的動響應(yīng)分析。CSD部分采用3.2.1節(jié)中計算出的前4階結(jié)構(gòu)模態(tài)。耦合時間步長取為0.0001 s,內(nèi)迭代步數(shù)為50步。氣動舵上加載的舵偏擾動為:δ(t)=Δδasin(2πωt)。其中,Δδa=2°,ω=40 Hz。

表3中給出了在1個非定常耦合時間步內(nèi),不同動網(wǎng)格方法計算時間(計算機CPU主頻3.4GHz,內(nèi)存2G)的對比。

表3　計算時間對比

從表3中可以看出,雖然保形動網(wǎng)格策略本身的計算時間(0.73s)相對TFI方法(0.05s)大大增加,但在單個CFD/CSD耦合時間步內(nèi)僅使計算時間(32.92s)增加了0.68s,不到總時間的2.1%?？紤]到保形策略能保證耦合分析的可信度,僅增加2.1%的計算時間完全可以接受。

為了考察該種擾動下的氣動彈性效應(yīng),特別設(shè)置2個算例:case1中來流狀態(tài)為Ma=2,H=3km,case2則忽略外界氣流的影響,僅考慮結(jié)構(gòu)本身在擾動激勵下的響應(yīng)。兩算例各階模態(tài)廣義位移的對比如圖16所示。

圖16　廣義位移響應(yīng)對比

圖17　典型時刻物面網(wǎng)格變形示意圖

從該圖中可以看出,case1和case2的響應(yīng)主要位于1階模態(tài)和2階模態(tài)上;但由于氣動和結(jié)構(gòu)的耦合效應(yīng),case1的廣義位移振蕩幅值遠(yuǎn)超case2,并且幅值隨時間衰減,在達(dá)到動穩(wěn)定之后,1階模態(tài)和2階模態(tài)的振蕩幅值分別是case2的3.2倍和1.75倍。

為了考察保形動網(wǎng)格策略在組合變形下的效果,特別選擇case1中t=0.105s(N=1 050,剛性舵偏角為1.8°,各階廣義位移為0.238,0.073,-0.591×10-3,0.174×10-4)和case2中t=0.356s(N=3 560,剛性舵偏角為2°,各階廣義位移分別為-0.022,0.043,-0.102×10-6,-0.155×10-5)這2個典型時刻,其物面網(wǎng)格變形如圖11所示。從圖17中可以看出,在氣動彈性耦合效應(yīng)下,case1的變形遠(yuǎn)大于case2;即使在case1如此巨大的變形之下,保形動網(wǎng)格策略依然保證了彈身和舵面的幾何形狀不被破壞,同時還保持了原始網(wǎng)格上較為合理的網(wǎng)格分布。

4結(jié)論

本文結(jié)合RBF技術(shù)、基于有限元形函數(shù)的插值和TFI動網(wǎng)格方法,形成了能夠同時考慮剛性變形與彈性變形的保形動網(wǎng)格策略并將其應(yīng)用于舵身組合體CFD/CSD耦合計算中。通過計算分析,獲得結(jié)論如下:

1) 通過使舵身組合體剛性舵偏16°,驗證了本文提出的保形動網(wǎng)格策略能夠避免常規(guī)TFI方法導(dǎo)致的巨大彈身變形,實現(xiàn)了100%的保形率,從而沒有產(chǎn)生非物理的壓縮區(qū)和膨脹區(qū),說明保形動網(wǎng)格策略能夠保證組合體的CFD/CSD耦合分析的可信度。

2) 在舵身組合體CFD/CSD耦合計算中發(fā)現(xiàn),采用保形動網(wǎng)格策略僅使單個非定常步內(nèi)總時間(32.92s)增加了0.68s,不到總時間的2.1%,其計算效率可以接受。

3) 在Ma=2,H=3km的來流和振幅為2°頻率為40Hz舵偏擾動的共同作用下,舵身組合體氣動彈性效應(yīng)明顯,其1階模態(tài)和2階模態(tài)的廣義位移幅值為無來流時的3.2倍和1.75倍。

(4) 在CFD/CSD耦合分析中產(chǎn)生的組合變形下,保形動網(wǎng)格策略依然保證了彈身和舵面的幾何形狀不被破壞,同時還保持了原始網(wǎng)格上較為合理的網(wǎng)格分布。

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Applying Shape Preserving Grid Deformation to CFD/CSD Coupling

Chen Hao, Xu Min, Xie Liang, Kang Wei

(College of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China)

Abstract:The shape preserving grid deforming method (SPGDM) based on finite element interpolating projection, radial basis function (RBF) and transfinite interpolation (TFI) is proposed and used in the CFD/CSD coupling analysis of rudder-body combination with the rudder-deflection interaction considered. To fulfill this research, firstly, the project base surfaces of combination with rigid deformation are deformed elastically with RBF method. Secondly, solid surface grids are projected to base surfaces in point-line-surface order with the projection method based on finite element interpolation, meanwhile TFI is used to keep the grid distribution. Thirdly, deformed volume grid is obtained by interpolating the deformation of surface grids evenly with TFI method. Finally, the CFD/CSD coupling is achieved after using loose coupling methodology with coupling boundary. The results and their analysis show preliminarily 2 conclusions: (1) in the 16°rudder deflection case, SPGDM fills 100% shape preserving ratio of the combination; (2) in the rudder-body combination case with rudder-deflection interaction, SPGDM not only preserves the geometrical shape of body and rudder but also keeps reasonable distribution of original grid, while the total time increase is only 2.1%.

Key words:aeroelasticity; shape preserving; grid deformation; finite element method; CFD/CSD coupling; control surfaces

中圖分類號：V211

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號:1000-2758(2015)05-0732-07

作者簡介：陳浩(1988—)，西北工業(yè)大學(xué)博士研究生，主要從事超聲速氣動彈性問題、高超聲速氣動熱彈性問題研究。

基金項目：國家自然科學(xué)基金(11402212)資助

收稿日期：2015-04-08