何墉, 章衛(wèi)國(guó), 王敏文, 史靜平,

變體飛行器的切換LPV控制

何墉1,2, 章衛(wèi)國(guó)1, 王敏文3, 史靜平1,3

摘要：運(yùn)用切換線性變參數(shù)(linear parameter varying, LPV)的控制方法解決變體飛行器在不同機(jī)翼構(gòu)型有不同的控制目標(biāo)問(wèn)題。首先根據(jù)變體飛行器的任務(wù)需求把后掠角變化范圍分成不同的區(qū)域,針對(duì)不同的變化區(qū)域分別設(shè)計(jì)相應(yīng)的LPV控制器，采用參數(shù)依賴公共Lyapunov函數(shù)方法實(shí)現(xiàn)在變形機(jī)構(gòu)允許的范圍內(nèi)以盡可能快的變體速度實(shí)現(xiàn)變體過(guò)程。仿真結(jié)果表明用所用方法設(shè)計(jì)的控制器具有良好的響應(yīng)特性，可實(shí)現(xiàn)對(duì)指令信號(hào)的良好跟蹤。

關(guān)鍵詞：變體飛行器；切換LPV系統(tǒng)；參數(shù)依賴公共Lyapunov函數(shù)

傳統(tǒng)飛行器飛行模式單一，只能執(zhí)行特定的飛行任務(wù)。隨著國(guó)防建設(shè)的需要和科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，人們希望擁有一種飛行器能夠根據(jù)飛行環(huán)境和飛行任務(wù)的變化而改變外形，始終以最優(yōu)的飛行狀態(tài)在變化較大的飛行環(huán)境中完成多種飛行任務(wù)[1]。常見(jiàn)的變形形式包括改變機(jī)翼后掠角、機(jī)翼折疊和機(jī)翼伸縮等形式。作為一種新概念飛行器，變體飛行器有望成為現(xiàn)代高性能飛行器實(shí)現(xiàn)突破發(fā)展的源泉，具有重要的研究?jī)r(jià)值和廣闊的應(yīng)用前景[2]。

變體飛行器的變體過(guò)程主要是通過(guò)改變機(jī)翼的氣動(dòng)外形來(lái)實(shí)現(xiàn)。機(jī)翼形狀的改變使得飛行器本體參數(shù)如翼面面積、重心位置都隨著翼型的改變而改變，由此產(chǎn)生的氣動(dòng)力和動(dòng)量矩(積)的大小和方向隨之發(fā)生變化[3]。變體過(guò)程中氣動(dòng)力與力矩都會(huì)隨著飛行器的構(gòu)型而變化，使得模型具有較強(qiáng)的時(shí)變性和不確定性，飛行穩(wěn)定性會(huì)受到較大影響，為了滿足飛行品質(zhì)要求，所設(shè)計(jì)的飛行控制系統(tǒng)需要確保變體過(guò)程中的飛行穩(wěn)定性[4]。同時(shí)對(duì)于變體飛行器而言不同的飛行模式有不同的性能指標(biāo)要求，如巡航飛行時(shí)要求變體飛行器有較大的升阻比；而快速撤離戰(zhàn)區(qū)時(shí)則希望飛行器以最小的飛行阻力構(gòu)型進(jìn)入工作區(qū)域；因此，很難用一種控制器來(lái)滿足變體飛行器在不同構(gòu)型下的性能指標(biāo)。

針對(duì)上述問(wèn)題本文用切換LPV(linear parameter varying,LPV)的方法為變體飛行器的控制問(wèn)題提供了一種解決方案。LPV系統(tǒng)是一類特殊的線性系統(tǒng)，其狀態(tài)空間矩陣是以某些時(shí)變參數(shù)向量為自變量的函數(shù)[5-6]。從控制的角度看，系統(tǒng)參數(shù)的變化導(dǎo)致其動(dòng)態(tài)特性在工作點(diǎn)附近發(fā)生性變化，而LPV控制技術(shù)能夠處理參數(shù)變化及模型本身描述不精確等問(wèn)題，從而改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性[7]。由于LPV系統(tǒng)本身的特點(diǎn)，使得其在工程實(shí)際中應(yīng)用廣泛[8]。對(duì)于LPV系統(tǒng)的處理，現(xiàn)有的方法大多是將LPV系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為多胞系統(tǒng)來(lái)處理[9-10]，這種方法雖然從一定程度上能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)LPV系統(tǒng)的近似，但若權(quán)系數(shù)選擇不當(dāng)會(huì)引起多胞系統(tǒng)和實(shí)際LPV系統(tǒng)之間的誤差過(guò)大。文獻(xiàn)[11-12]用參數(shù)相關(guān)Lyapunov函數(shù)的方法繞開(kāi)了用多胞系統(tǒng)對(duì)LPV系統(tǒng)的近似，文獻(xiàn)[12]基于平均駐留時(shí)間的方法考慮了參數(shù)大范圍變化的一類LPV系統(tǒng)并取得了良好的控制效果，但是用平均駐留時(shí)間方法處理切換系統(tǒng)使得切換頻率受到限制，若將該方法用于處理變體飛行器變體過(guò)程中的穩(wěn)定性問(wèn)題時(shí)，勢(shì)必影響其變體速度，據(jù)此本文用參數(shù)依賴公共Lyapunov函數(shù)方法實(shí)現(xiàn)變體飛行器在不同控制器間切換時(shí)的穩(wěn)定性和快速性問(wèn)題。

1變體飛行器的切換LPV建模

基于如圖1所示的某型變后掠翼無(wú)人機(jī)進(jìn)行研究，機(jī)翼后掠角χ的變化范圍為15°～16°，平均氣動(dòng)弦長(zhǎng)，展長(zhǎng)和機(jī)翼面積等參數(shù)隨著后掠角的變化而變化，因此易知該無(wú)人機(jī)的氣動(dòng)參數(shù)都是后掠角的函數(shù)，這里給出該變體飛行器的縱向短周期非線性動(dòng)力學(xué)模型：

圖1　變后掠翼飛行器

(1)

式中，γ為航跡角,α為迎角,q為俯仰角速度,θ為俯仰角,m為飛機(jī)質(zhì)量,g為重力加速度,V為飛行速度,Iy為飛機(jī)繞機(jī)體y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,T為推力,與機(jī)體軸x軸方向平行,ZT為動(dòng)力位置,L和MA分別為升力和由空氣動(dòng)力產(chǎn)生的俯仰力矩,其表達(dá)式為

(2)

(3)

(5)式中，σ(t)是控制子系統(tǒng)切換序列的切換信號(hào),在本文中其值由參數(shù)向量ρ(t)決定,這樣整個(gè)切換LPV系統(tǒng)可以表述為

(6)

2切換LPV控制器設(shè)計(jì)

考慮如下形式的切換LPV系統(tǒng)模型[14-15]：

(8)式中，xk∈Rnk,nk=n為控制器的狀態(tài)。當(dāng)參數(shù)變化到某個(gè)區(qū)間后使得相應(yīng)的控制器被激活,所以在每個(gè)參數(shù)子區(qū)域pi內(nèi),閉環(huán)系統(tǒng)描述為:

引理1(投影引理)設(shè)P、Q和H是給定的適當(dāng)維數(shù)的矩陣且H是對(duì)稱的,NP和NQ分別為由核空間Ker(P)和Ker(Q)的任意一組基向量作為列向量構(gòu)成的矩陣,那么存在一個(gè)矩陣X使得H+PTXTQ+QTXP<0

對(duì)于被控對(duì)象為(9)的切換LPV系統(tǒng),基于公共Lyapunov函數(shù)的有界實(shí)引理描述如下:

定理考慮開(kāi)環(huán)切換LPV系統(tǒng)(7),參數(shù)區(qū)域P和其子區(qū)域{pi}i∈ZN,如果對(duì)于參數(shù)區(qū)域的每個(gè)子區(qū)域都存在正定矩陣R(ρ)、S(ρ)和正實(shí)數(shù)γ使得對(duì)于任意pi?P都有下列不等式成立

(12)

(13)

(14)式中

證明:對(duì)于任意一個(gè)參數(shù)子區(qū)域pi內(nèi)的閉環(huán)系統(tǒng),都有如下關(guān)系式成立:

(15)式中

這樣,經(jīng)代數(shù)運(yùn)算后(11)式可以等價(jià)描述為

(16)式中

*表示矩陣對(duì)應(yīng)塊的轉(zhuǎn)置矩陣。

而由投影引理可知(16)式可以等價(jià)地寫成如下形式:

(17)

由PXcl,i和Pi的代數(shù)關(guān)系易得

這樣,(17)式可以寫為

(19)式中

根據(jù)系統(tǒng)和控制器的維數(shù)把參數(shù)相關(guān)Lyapunov函數(shù)矩陣進(jìn)行分割,則Lyapunov函數(shù)矩陣及其逆矩陣可以表示為如下形式:

式中，“?”表示對(duì)矩陣中對(duì)應(yīng)的元素不關(guān)注。經(jīng)過(guò)代數(shù)運(yùn)算后,(19)式等價(jià)于(12)式,(18)式等價(jià)于(13)式,由引理2易知滿足不等式約束的R(ρ)和S(ρ)構(gòu)成的矩陣Xcl(ρ),由此保證了閉環(huán)系統(tǒng)在整個(gè)參數(shù)區(qū)域P二次穩(wěn)定且H∞性能指標(biāo)滿足‖z‖2<γ‖ω‖2。

通過(guò)選取矩陣M(ρ)=R(ρ),N(ρ)=R-1(ρ)-S(ρ),則

用文獻(xiàn)[11]中的方法,先定義如下中間變量:

則切換LPV控制器增益矩陣分別為:

(20)

(21)

(22)

(23)

Remark若系統(tǒng)(7)不存在控制輸入和量測(cè)輸出,則系統(tǒng)模型中對(duì)應(yīng)的狀態(tài)矩陣中B2,i(ρ)=0,C2,i(ρ)=0,D12,i(ρ)=0,D21,i(ρ)=0,此時(shí)NR,i(ρ)和NS,i(ρ)退化為單位陣,在這種條件下定理?xiàng)l件中的三個(gè)不等式變?yōu)?/p>

(24)

(25)

(26)

由矩陣運(yùn)算的性質(zhì)易知,如果R(ρ)>0滿足矩陣不等式(24),則S(ρ)=R-1(ρ)>0滿足矩陣不等式(25)。因此不等式條件(24)～(26)等價(jià)于存在參數(shù)相關(guān)正定對(duì)稱矩陣R(ρ)使(24)式成立;或存在參數(shù)相關(guān)正定對(duì)稱矩陣S(ρ)使(26)式成立。同時(shí),從以上的分析可以看到NR,i(ρ)和NS,i(ρ)分別反映了系統(tǒng)的控制輸入不能影響的部分和系統(tǒng)的量測(cè)輸出不能放映的部分。

3仿真驗(yàn)證及分析

本節(jié)基于前文給出的變體飛行器切換LPV模型進(jìn)行仿真研究。先從待設(shè)計(jì)的區(qū)域內(nèi)選擇一些點(diǎn)作為參考點(diǎn),圍繞著這些點(diǎn)進(jìn)行配平并由局部線性化的方法從飛行器的非線性方程得到線性小擾動(dòng)方程。變體飛行器切換LPV系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖2所示,其中P(ρ)是在多個(gè)點(diǎn)線性化的飛行器縱向短周期動(dòng)態(tài)模型,把它的2個(gè)狀態(tài)迎角α和俯仰角速率q作為輸出,跟蹤的理想模型為

其輸出αideal和實(shí)際迎角輸出α的差α-αideal作為跟蹤誤差,通過(guò)權(quán)值函數(shù)懲罰跟蹤誤差。外部輸入包括二維傳感器噪聲n和迎角指令信號(hào)acmd。被控輸出為開(kāi)環(huán)加權(quán)誤差信號(hào)為αp和za,這樣跟蹤問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為外部輸入和被控輸出之間的H∞控制問(wèn)題。

圖2　變體飛行器切換LPV系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

由于在不同的后掠角變化范圍內(nèi)有不同的控制目標(biāo),在后掠角比較小的時(shí)候我們希望飛行器對(duì)指令信號(hào)有快速而準(zhǔn)確的響應(yīng);而在后掠角比較大時(shí),對(duì)飛行器的飛行品質(zhì)要求不是很苛刻,主要強(qiáng)調(diào)飛行器的穩(wěn)定性?；诖宋覀儼押舐咏堑淖兓秶譃?個(gè)區(qū)域:[15°～30°]、[30°～45°]和[45°～60°],K1(ρ)、K2(ρ)和K3(ρ)分別是用本文所用方法設(shè)計(jì)的不同后掠角變化區(qū)域的3個(gè)LPV控制器。對(duì)3個(gè)區(qū)域分別選擇3個(gè)權(quán)值函數(shù)

來(lái)體現(xiàn)設(shè)計(jì)要求,其中下角標(biāo)1、2和3分別對(duì)應(yīng)于后掠角的3個(gè)變化區(qū)域,3個(gè)權(quán)值函數(shù)體體現(xiàn)在不同的后掠角區(qū)域所對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)要求。3個(gè)區(qū)域跟蹤的穩(wěn)態(tài)誤差分別為1.25%、1.11%和1%,系統(tǒng)帶寬在3個(gè)子區(qū)域中也逐漸增加,因此不論從穩(wěn)態(tài)誤差還是系統(tǒng)帶寬,都和我們的控制目標(biāo)相一致[11]。作動(dòng)器動(dòng)態(tài)模型Wact為

控制輸入的懲罰函數(shù)Wu為Wu=diag(0.1,0.2)。

設(shè)待求解的參數(shù)依賴公共Lyapunov函數(shù)矩陣是具有如下形式的參數(shù)仿射型矩陣

式中，ρ=χ為變體飛行器的后掠角,矩陣Ri和Si,(i=0,1)是待優(yōu)化求解的矩陣。

下面分別給出了變體飛行器用本文所用的公共Lyapunov函數(shù)方法和文獻(xiàn)[12]中所用的平均駐留時(shí)間方法對(duì)H∞性能指標(biāo)的比較。

表1給出了參數(shù)依賴多Lyapunov函數(shù)方法和公共Lyapunov函數(shù)方法所對(duì)應(yīng)的H∞性能指標(biāo)的比較。由表可知,用文獻(xiàn)[12]中平均駐留時(shí)間方法在不同的子區(qū)域設(shè)計(jì)控制器得到的H∞性能指標(biāo)不同。當(dāng)后掠角在15°～60°范圍內(nèi)變化時(shí)用本文所用的方法得到的H∞性能指標(biāo)為13.226 2,該指標(biāo)大于用平均駐留時(shí)間方法得到的最大H∞性能指標(biāo)8.955 3,但用本文所用的方法不用考慮單個(gè)子系統(tǒng)的激活時(shí)間,這樣就放松了對(duì)飛行器后掠角變化速度的限制,可以在變形機(jī)構(gòu)允許的范圍內(nèi)盡可能快地完成變形動(dòng)作,這種需求在某些飛行任務(wù)中(如迅速撤離戰(zhàn)區(qū))是必要的。

表1　2種方法的H∞性能指標(biāo)對(duì)比

圖3　后掠角信號(hào)及切換信號(hào) 圖4　變體飛行器的迎角響應(yīng)曲線　　圖5　升降舵偏角圖6　俯仰角速率

圖3和圖4分別給出了變體飛行器以不同的變體速度實(shí)現(xiàn)變體的過(guò)程中對(duì)迎角指令信號(hào)的跟蹤效果圖。圖3中的后掠角先以5°/s的變體速度從0°構(gòu)型變形到45°構(gòu)型,保持45°構(gòu)型模式運(yùn)行1 s后又以10°/s的變體速度從45°構(gòu)型變化到25°構(gòu)型,運(yùn)行1 s后又以12.5°/s的變體速度變化到0°構(gòu)型并保持該構(gòu)型模式。隨著后掠角的變化激活相應(yīng)的控制器,相應(yīng)的切換信號(hào)如圖3中的虛線。圖4給出了變體飛行器變體過(guò)程中對(duì)迎角指令信號(hào)的跟蹤曲線。從仿真的結(jié)果看在各種變體速度下飛行器都能實(shí)現(xiàn)對(duì)指令信號(hào)的跟蹤。圖5和圖6給出了變體飛行器在給定的后掠角變化曲線和迎角指令信號(hào)下的升降舵偏角和俯仰角速率響應(yīng)曲線。

4結(jié)論

本文用切換LPV控制的方法解決變體飛行器變體過(guò)程中的穩(wěn)定性問(wèn)題，在設(shè)計(jì)過(guò)程中結(jié)合變體飛行器在不同的機(jī)翼構(gòu)型有不同的控制目標(biāo)，根據(jù)不同的控制目標(biāo)分別設(shè)計(jì)LPV控制器。采用本方案的最大優(yōu)點(diǎn)是在變體過(guò)程中可以不去考慮變體速度的限制，可在變形機(jī)構(gòu)允許的范圍內(nèi)以盡可能快的變體速度完成變形過(guò)程。仿真結(jié)果表明變體飛行器以不同的后掠角變化速度變形時(shí)對(duì)指令信號(hào)都有較好的跟蹤效果。

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Switching LPV Control for Morphing Aircraft

He Yong1,2, Zhang Weiguo1, Wang Minwen3, Shi Jingping1,3

Abstract:A switching linear parameter varying (LPV) system was applied to deal with multiple design objectives during the flight of morphing aircraft. A group of LPV controllers are then designed based on common parameter-dependent Lyapunov function and each of them is suitable for a specific subregion of the sweep angle; the process can be accomplished quickly within the permission of the morphing mechanism under the common parameter-dependent Lyapunov function scheme. The simulation results show that the controller designed in this paper can make the morphing aircraft have good response characteristics and tracking of command signal.

Key words:morphing aircraft; switching LPV system; common parameter-dependent Lyapunov function

中圖分類號(hào)：V241.62

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào):1000-2758(2015)05-0781-07

作者簡(jiǎn)介：何墉(1980—)，西北工業(yè)大學(xué)博士生，主要從事飛行控制方法的研究。

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(61374032)與航空科學(xué)基金(20140753012)資助

收稿日期：2015-03-02