曹玉松

(許昌學院 信息工程學院，河南 許昌 461000)

風險調(diào)整資本收益率下的最優(yōu)再保險策略

曹玉松

(許昌學院 信息工程學院，河南 許昌 461000)

摘要：在均值-方差保費計算原理下給出了最優(yōu)比例再保險和停止損失再保險策略，從保險人的角度，給出了基于風險調(diào)整資本收益率最大的自留風險比率和額度， 使得保險人的風險調(diào)整資本收益率最大.

關鍵詞：期望-方差計算原理；風險調(diào)整資本率；比例再保險；停止損失再保險

再保險指保險公司分散風險的重要途徑，保險公司通過購買再保險可以有效的進行風險規(guī)避，一般地，保險人通過支付一定的保費購買再保險人的再保險，相應的將一部分風險進行轉(zhuǎn)移，當索賠一旦發(fā)生，再保險人根據(jù)再保險合同的預定，承擔相應的風險.

再保險過程中面臨著兩個重要問題，一是再保險合同衡量標準，Pesonen.M[1]討論了原保險人的方差風險的最小，本文討論了風險調(diào)整收益率最大下的最優(yōu)再保險，20世紀70年代，美國信孚銀行提出利用風險調(diào)整收益率衡量銀行投資風險，此后風險調(diào)整資本收益率被廣泛應用在績效評估和風險測算中，其計算公式為

第二個問題是保費原則，即如何計算再保險的保費.Kaluszka[2]研究了在π(R)=(1+β)ER(Y)保費計算原理下的方差風險最小的停止損失再保險.Young[3,4]基于Wangs保費計算原理下，討論了使得期末效用最大的最優(yōu)比例再保險，更一般地情況參見文獻[5-7].

本文的保費計算原理采取期望值保費計算原理，即

P(R)=ER(Y)+βDR(Y).

(1)

1模型

設Y原保險人在最初簽訂合同的整個索賠，Y為隨機變量，非負；R為再保險人承擔的風險，即整個索賠分為

Y=R(Y)+R1(Y)，

R(Y)為保險人的自留風險，R1(Y)為保險人的分出風險.

則保險人從保單持有人針對風險X收取的保費為EX+βDX，針對轉(zhuǎn)移風險R1(X)，再保險保費為

ER1(X)+βDR1(X).

通過再保險后，保險人的剩余保費收入為

PR1=EX+βDX-ER1(X)-βDR1(X)=ER(X)+β(DX-DR1(X)).

簽訂再保險合同后，保險人的期末期望利潤為

期望利潤=PR1-ER(X)=β(DX-DR1(X)).

為了獲得期望收益，保險人需要額外補入資本以提高償付能力，根據(jù)巴塞爾II協(xié)議，我們采用給定置信水平下的風險價值來計算保險公司的償付能力.則對自留風險R(X)，置信水平α，償付能力要求資本為

VaRR(X)(α)=inf{y:P(R(X)>y)<1-α).

從概率論的角度而言，VaRR(X)(α)為自留風險的α分位點.因此保險人的風險調(diào)整資本為償付能力要求資本減去剩余保費部分，即：

風險調(diào)整資本=VaRR(X)(α)-PR=VaRR(X)(α)-ER(X)-β(DX-DR1(X)) .

風險調(diào)整資本收益率定義為

(2)

本文的目的就是找到最優(yōu)的比例再保險和停止損失再保險使得(2)式最大.

對于VaRR(X)(α)，我們給出如下引理

引理1如果R(X)是一個連續(xù)的單調(diào)非減函數(shù)，則

VaRR(X)(α)=R(VaRX(α)).

2最優(yōu)再保險策略

目前，最常用的兩種再保險策略是比例再保險和停止損失再保險，本文我們對這兩種常見的再保險策略分別來討論如何選取自留風險的比例和自留風險的額度，使得保險人的風險調(diào)資本收益率最大.

2.1最優(yōu)比例再保險

設保險人的自留風險比例為1-q，即再保險函數(shù)為

R(x)=(1-q)x.

保險人的自留風險為R1(x)=qx，相應地我們通過選擇合適的自留風險比例1-q使得風險調(diào)整資本收益率最大.對于比例再保險，可得結(jié)論：

定理1

若再保險合同為傳統(tǒng)的比例再保險，則保險人的風險資本調(diào)節(jié)收益率與自留風險比率無關，其值為

證明

2.2停止損失再保險

停止損失再保險是另外一種常用的再保險函數(shù)，若自留額度為b，則原保險人承保不超過b的損失，超過b的部分由再保險人承擔.即

相應地我們通過選擇合適的自留風險額b使得風險調(diào)整資本收益率最大.對于該問題，我們又如下結(jié)論.

定理2保險人采用停止損失再保險

(1)當VaRX(α)

(2)VaRX(α)>b時， 此時知RORAC是b的增函數(shù)，b越大，RORAC越大，所以在b=VaRR(X)(α)時，取得最大.

(1)當VaRX(α)

(2)VaRX(α)>b時，

此時知RORAC是b的增函數(shù)，b越大，RORAC越大，所以在b=VaRR(X)(α)時，取得最大，最大為

3結(jié)語

本文的構(gòu)建了風險調(diào)整資本收益率最大下的最優(yōu)比例再保險和停止損失再保險模型，主要考慮了再保險過程中比例再保險和停止損失再保險，在保費采取方差計算原理的假設下，得到了比例再保險函數(shù)的自留風險比例及停止損失再保險中的自留風險額度.根據(jù)上述論證可得如下結(jié)論，若選擇比例再保險，保險人自留風險越多，風險調(diào)整資本收益率越大，保險人應該根據(jù)自己的資本盡可能多的保留風險.

參考文獻：

[1]PESONEN M L. Optimal reinsurances[J]. Scandinavian Actuarial Journal, 1984, 84(1): 65-90.

[2]KALUSZKA M. Optimal reinsurance under mean-variance premium principles [J]. Insurance:Mathematics and Economics, 2001, 28(1): 61-69.

[3]YOUNG V R. Optimal insurance under Wang’s premium principle[J]. Insurance: Mathematics and Ecomonics, 1999, 25(2): 109-122.

[4]YOUNG V R. Discussion of Christofides’ conjecture regarding Wang’s premium principle [J]. ASTIN Bulletin, 1999, 29(2): 191-195.

[5]GAJEK L, ZAGRODNY D. Insurer’s optimal reinsurance strategies[J]. Insurance:Mathematics and Economics, 2000, 27(1): 105-122.

[6]BUHLMANN H. Mathematical Methods in Risk Theory [M]. New York： Springer, 1970.

[7]DAYKIN C D, PENTIKAINEN T, PESONEN M. Practical Risk Theory for Actuaries [M]. London： Chapman&Hall, 1993.

Optimal Reinsurance Strategies under Return

On Risk Adjusted Capital

CAO Yu-song

(SchoolofComputerScience&Technology,XuchangUniversity,Xuchang461000,China)

Abstract:The paper addresses to the question of how to purchase proportional reinsurance and stop-loss reinsurance in order to get the insurer’s maximum risk-adjusted capital rate. In the paper, the contract is priced according to the mean-variance principle. The paper obtains the optimal retention ration and the optimal retention level respectively.

Key words:mean-variance principle; risk-adjusted capital rate; proportional reinsurance; stop-loss reinsurance

責任編輯：趙秋宇

中圖分類號：O211.6

文獻標識碼：A

文章編號：1671-9824(2015)02-0019-04

作者簡介：曹玉松(1981—)，女，河南濮陽人，副教授，碩士，研究方向：應用概率統(tǒng)計.

基金項目：河南省科技廳基礎與前沿研究計劃資助項目(132300410323)；河南省高等學校重點科研項目(15A11041);許昌市科技局基礎與前沿項目(1404016)

收稿日期：2014-03-22