曹周陽,楊鳳云

(鄭州航空工業(yè)管理學院a.土木建筑工程學院; b.繼續(xù)教育學院，河南鄭州　450015)

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移動荷載作用下加筋路堤的三維動力響應

曹周陽a,楊鳳云b

(鄭州航空工業(yè)管理學院a.土木建筑工程學院; b.繼續(xù)教育學院，河南鄭州450015)

摘要：利用半解析方法研究移動荷載作用下加筋路堤的動力響應問題。基于Biot多孔彈性介質(zhì)的波動理論，建立三維橫觀各向同性彈性加筋地基模型。在忽略土顆粒壓縮和自重的情況下，利用Fourier變換將土體波動方程轉(zhuǎn)化為常微分方程。通過數(shù)值計算研究加筋與不加筋時，速度、筋材彈性模量和加筋率等對路面豎向位移的影響。計算結(jié)果表明：在一定范圍內(nèi)，速度越大加筋效果越顯著；速度相同時，加筋后的路面豎向位移明顯小于加筋前；筋材彈性模量和加筋率在一定范圍內(nèi)增大時，加筋后的路面豎向位移均呈減小的趨勢。

關鍵詞：加筋路堤；動力響應；Biot方程；橫觀各向同性

近年來，國內(nèi)高速交通快速發(fā)展，貫穿軟弱土地區(qū)的高速公路路基沉陷問題不斷出現(xiàn)，提高道路的整體穩(wěn)定性是急需解決的問題。路堤加筋的主要目的是提高路堤的穩(wěn)定性和承載力，減小道路的沉降，因此有必要研究加筋技術在道路工程中的應用。雖然已有學者對加筋道路的性能進行了研究，但以研究加筋路堤的靜力特性為主，對移動荷載作用下加筋路堤的動力響應問題，仍停留在試驗方面，理論分析很少。

目前，對動荷載作用下飽和土體的動力響應問題和二維情況下加筋路堤的響應問題進行研究[1-4]。文獻[5]將移動車輛荷載簡化成4個大小相等的矩形荷載，研究移動矩形荷載作用于下臥飽和土體的動力響應問題。文獻[6]研究動荷載作用下加筋土的動力響應，得出加筋材料的彈性模量對土體強度有很大影響的結(jié)論。文獻[7]采用有限元的方法研究了加筋層數(shù)、加筋位置、加筋間距、軟基模量及路堤填筑速度等因素對加筋效果的影響。文獻[8]通過分析加筋率、筋材模量、荷載移動速度等因素對路面豎向位移的影響，研究移動線荷載作用下加筋道路的動力響應問題。文獻[9]將加筋路堤層簡化Pasternak模型，分析速率、阻尼以及土顆粒的壓縮性對加筋路堤系統(tǒng)的影響。文獻[10]采用線彈性模型分析循環(huán)荷載作用下加筋路基的動力特性。文獻[11]采用離心試驗法研究地震荷載作用下土工合成材料加筋路堤的特性。文獻[12]采用FLAC對土工格柵加筋路堤不同鋪設位置進行數(shù)值模擬，得出格柵材料、路堤材料、填土高度、過渡段模量比和格柵鋪設范圍是加筋路堤的5個影響因素。文獻[13]通過對路堤與軟土地基之間鋪設土工格柵的加筋道路和不加筋道路的動力特性的對比，得出加筋對軟弱土的道路有明顯影響的結(jié)論。文獻[14]通過對柔性路基、帶接縫板的混凝土路基以及加筋路基三者的對比研究，得出聚合物土工格柵在道路系統(tǒng)應用中的可行性結(jié)論。文獻[15]采用有限元分析荷載形式、荷載頻率、加筋位置、加筋層數(shù)、軟土層厚度等因素對加筋效果的影響。上述文獻大多都是基于二維情況下的加筋地基的研究，迄今為止尚很少見到針對三維彈性半空間上加筋路堤的動力響應問題的研究成果。

1動力方程及求解

1.1加筋復合土體橫觀各向同性參數(shù)

加筋復合道路地基一般采用分層填筑方法壓實地基，填筑的材料一般等間距布置，由此，可將土體及加筋材料看作橫觀各向同性層的復合土體來進行研究。

加筋復合土體的加筋率[16]

式中：Vr、Ar、Hr分別為加筋單元層中筋材的體積、橫截面面積和筋材的截面厚度；Vs、As、Hs分別為加筋單元層中土體的體積、橫截面面積和土體的截面厚度。

由文獻[8]可知：

圖1　三維橫觀各向同性彈性加筋路堤

式中：Ωr=ηEr/[1-(μr)2]，其中Er為加筋單元層中筋材的彈性模量，μr為加筋單元層中筋材的泊松比；Ωs=Es/[1-(μs)2];其中，Es為加筋單元層上體的彈性模量，μs為加筋單元層中土體的泊松比；Ψr=ημr/(1-μr);Ψs=μs/(1-μs);Ecx為加筋復合土體水平方向的彈性模量；μcxy為復合土體水平方向應力在水平方向的泊松比；μcxz為復合土體水平方向應力在豎直方向的泊松比；Ecz為復合土體豎直方向的彈性模量;Gcz為復合土體豎直方向的剪切模量。

1.2三維橫觀各向同性彈性體的動力方程及求解

建立如圖1所示的三維橫觀各向同性彈性加筋路堤模型，假設三維橫觀各向同性彈性體位于下臥基巖上，忽略土體自重，上部為路面，忽略路面的厚度及路面自身的變形。

根據(jù)土介質(zhì)中波的傳播理論，在不考慮土顆粒壓縮性和滲透系數(shù)的條件下，三維橫觀各向同性彈性體的控制方程為：

(1)

(2)

(3)

對無量綱自變量τ的Fourier變換和逆變換定義為

對無量綱自變量x*,y*的Fourier變換和逆變換定義為：

將式(1)～(3)進行Fourier變換，可得：

(4)

(5)

(6)

式(4)～(6)解的基本形式為：

(7)

(8)

(9)

分別將式(7)～(9)代入式(4)～(6)，得：

(a1+b1r2)A+d1B+c1rC=0，

(10)

d2A+(a2+b2r2)B+c2rC=0，

(11)

c3rA+d3rB+(a3+b3r2)C=0，

(12)

要A、B、C使有非零解，則式(10)～(12)的系數(shù)行列式的值必為零，即：

(13)

設rk為式(13)的解，將rk代入式(10)～(12)得Bk、Ck的表達式：

Bk=RkAk，Ck=MkAk，

為滿足半空間無限遠處土體動力為零的輻射條件[17]，忽略實部為正的rk，則：

(14)

(15)

(16)

對式(14)～(16)求一次偏導，可得：

(17)

(18)

(19)

三維橫觀各向同性彈性介質(zhì)中的應力-應變關系為：

σz=C13εx+C13εy+C33εz，

(20)

τxz=C44γzx，

(21)

τyz=C44γyz。

(22)

土動力學的幾何方程為

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

將式(23)～(27)代入式(20)～(22)可得：

(28)

(29)

(30)

對式(28)～(30)進行三重Fourier變換(x*,y*,τ)～(ξ，η，Ω)，可得：

(31)

(32)

(33)

將式(17)～(19)代入式(31)～(33)中，得：

(34)

(35)

(36)

1.3模型邊界條件及求解

為了求解AK1、AK2、AK3、AK4、AK5、AK6，在加筋層上表面(z=0)引入如下邊界條件：

(37)

τxz=0，

(38)

τyz=0，

(39)

式中：F(x,y)為荷載集度的函數(shù)；a、b分別為荷載的長度和寬度。

對式(37)中F(x,y)應用雙重Fourier變換得其變換域內(nèi)的荷載表達式

式中Q為荷載幅值。

對式(37)～(39)進行Fourier變換后得：

(40)

(41)

(42)

在z*=0,erkz*=1時，將式(34)～(36)代入式(40)～(42)，得：

引用空間輔助坐標xt*=x*-cτ后，得三維橫觀各向同性彈性體的位移表達式為：

2數(shù)值計算及討論

本文所用的計算參數(shù)見表1[5，18]。本文使用快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT)來計算Fourier逆變換。為了使計算所得結(jié)果足夠精確，按照文獻[5]將-16m-1<ξ<16m-1和-16m-1<η<16m-1的區(qū)間分割為 2 048×2 048個區(qū)間進行計算，以確保足夠的精度。

令Er=0，本文的計算模型退化為文獻[18]中的模型，并令計算荷載強度與文獻[18]相同，將本文的計算結(jié)果與文獻[18]給出的土體位移進行對比，如圖2所示。從圖2可以看出，計算結(jié)果與文獻[18]計算結(jié)果吻合較好。

表1　加筋路堤及荷載計算參數(shù)

圖2　本文結(jié)果與JONES結(jié)果對比　　　　　　　　　　　　圖3　 速度為20 m/s時的路面豎向位移

圖4　速度為150 m/s時的路面豎向位移　　　　　　　　　　　　圖5　筋材模量對路面豎向位移的影響

圖6　加筋率對路面豎向位移的影響

3結(jié)論

本文主要研究了移動荷載作用下加筋路堤的三維動力響應，通過數(shù)值計算結(jié)果分析了加筋與不加筋時，速度對路面豎向位移的影響，以及筋材彈性模量和加筋率等對路面豎向位移的影響。計算結(jié)果表明：

1)在一定范圍內(nèi)，速度越大，加筋效果越顯著；同一速度作用下，加筋后的路面豎向位移小于未加筋時，超過這個范圍后，加筋與未加筋對路面豎向位移的影響不再顯著。

2)在一定范圍內(nèi)，路面豎向位移隨著筋材彈性模量的增大而減小，超過這一范圍后，加筋模量的變化對路面豎向位移的影響不顯著。

3)在一定范圍內(nèi)，路面豎向位移隨著加筋率的增大而減小，與未加筋時相比，加筋后的路面位移明顯小于未加筋時的路面豎向位移。

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(責任編輯：郎偉鋒)

3-D Dynamic Response of Reinforced

Embankment Subjected to Moving Load

CAOZhouyanga，YANGFengyunb

(a.InstituteofCivilEngineeringandArchitecture;b.SchoolofContinuingEducation,

ZhengzhouInstituteofAeronauticalIndustryManagement,Zhengzhou450015,China)

Abstract:An analytical approach was used to research the 3-D dynamic response of reinforced embankment subjected to moving load. Based on Biot′s dynamic poro-elastic theory, 3-D transversely isotropic dynamic analytical model of elastic reinforced pavement were established. In the case of the hypothesis of an incompressible solid grain and neglecting the density of soil quality, the governing equations of motion were reduced to a system of ordinary differential equations by the Fourier transform. By using the numerical method, the speed of moving loads, the elastic modulus of reinforcement and the reinforced ratio were investigated. Numerical results showed that the vertical displacement of road increased with the increase of load speed in a certain range. The displacement of road with reinforced embankment was lesser than the ones without reinforced embankment. The displacement of road decreased with the increase of the elastic modulus and ratio of reinforcement.

Key words:reinforced pavement; dynamic response; Biot′s equation; transversely isotropic

文章編號：1672-0032(2015)04-0040-07

中圖分類號：U416.12

文獻標志碼：A

DOI：10.3969/j.issn.1672-0032.2015.04.009

作者簡介：曹周陽(1982—),男,河南濟源人，講師,工學博士, 主要研究方向為巖土工程與公路路基工程.

基金項目：國家自然科學 (50808119)

收稿日期：2015-09-16