王立文，吳志恒，張威，3

(1.中國(guó)民航大學(xué)地面特種設(shè)備研究基地，天津300300;2.中國(guó)民航大學(xué)航空自動(dòng)化學(xué)院，天津300300;3.中國(guó)民航大學(xué)機(jī)場(chǎng)學(xué)院，天津 300300)

0 前言

飛機(jī)牽引車是一種通過(guò)外加動(dòng)力移動(dòng)飛機(jī)的地面特種保障設(shè)備，它具有“車身低矮、車輛自重較大、牽引力大”等特點(diǎn)［1］。飛機(jī)牽引車分為有桿牽引車和無(wú)桿牽引車。同有桿牽引車相比，無(wú)桿飛機(jī)牽引車借助了飛機(jī)的部分質(zhì)量來(lái)增加牽引車車輪與地面附著力，達(dá)到對(duì)牽引飛機(jī)的牽引力和制動(dòng)力的要求，其車身低矮，車輛自重小，更加靈活、安全、高效［2－4］。夾持舉升機(jī)構(gòu)是無(wú)桿飛機(jī)牽引車與飛機(jī)直接相連的部分，是飛機(jī)牽引車的關(guān)鍵機(jī)構(gòu)之一［5］。飛機(jī)與無(wú)桿牽引車對(duì)接時(shí)，通過(guò)液壓缸的提升與伸出動(dòng)作，使得飛機(jī)前輪進(jìn)入夾持舉升機(jī)構(gòu)并帶動(dòng)相關(guān)裝置將前輪抱緊并抬離地面100～150 mm，該機(jī)構(gòu)不僅承受前輪承載的飛機(jī)質(zhì)量，傳遞軸向力及側(cè)向力，還可以保持一定范圍內(nèi)的回轉(zhuǎn)自由度［3，5－7］。

本文作者利用Kutzbach-Grübler公式分析了市面上常用兩種夾持舉升機(jī)構(gòu)的自由度，并利用機(jī)器人學(xué)相關(guān)知識(shí)，計(jì)算位姿矩陣，進(jìn)行相關(guān)的速度分析，為理論創(chuàng)新提供了依據(jù)。

1 夾持舉升機(jī)構(gòu)

夾持舉升機(jī)構(gòu)分為夾持機(jī)構(gòu)和舉升機(jī)構(gòu)。夾持機(jī)構(gòu)可分為4種類型，分別是回轉(zhuǎn)夾持式、非對(duì)稱軌道式、對(duì)稱軌道式、軌道彈簧式［3］。市面上常用的兩種為回轉(zhuǎn)夾持式 (圖1)和對(duì)稱軌道式 (圖2)。文中據(jù)此計(jì)算兩種夾持舉升機(jī)構(gòu)的自由度以及正向運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。

圖1 回轉(zhuǎn)夾持式

圖2 對(duì)稱軌道式

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 回轉(zhuǎn)夾持式

2.1.1 自由度的計(jì)算

根據(jù)圖1所示機(jī)構(gòu)畫(huà)出回轉(zhuǎn)夾持式的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖3所示。

圖3 回轉(zhuǎn)夾持式機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

由于機(jī)構(gòu)整體是一個(gè)完全對(duì)稱結(jié)構(gòu)，則自由度的計(jì)算只考慮一邊即可。根據(jù)Kutzbach-Grübler公式M=∑fi+3(n－g－1)［8］，fi表示第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的相對(duì)自由度數(shù)，n為構(gòu)件數(shù)，g為運(yùn)動(dòng)副數(shù)。圖中有5個(gè)構(gòu)件，5個(gè)運(yùn)動(dòng)副，每個(gè)運(yùn)動(dòng)副都只含有一個(gè)自由度，故機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)M1=5+3×(5－5－1)=2，與機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖中主動(dòng)件數(shù)相同，所以符合條件。

2.1.2 齊次坐標(biāo)的變換

利用Denavit-Hartenberg法建立回轉(zhuǎn)夾持機(jī)構(gòu)的坐標(biāo)系如圖4所示。

圖4 回轉(zhuǎn)夾持式D-H坐標(biāo)

將初始坐標(biāo)原點(diǎn)建立在飛機(jī)前輪中心的位置，設(shè)飛機(jī)前輪的外徑為r，各點(diǎn)的距離如圖所示。坐標(biāo)變換矩陣包含4個(gè)，分別為:

手部位姿矩陣可以用如下矩陣來(lái)表達(dá):

2.1.3 速度分析

回轉(zhuǎn)夾持臂的手部坐標(biāo) (x，y)相對(duì)于各關(guān)節(jié)變量有

求偏微分有

將其寫(xiě)為矩陣形式有

令

將式子兩邊同時(shí)除以dt，得

式中:v為機(jī)器人末端在操作空間中的廣義速度，v=;J(q)為速度雅克比矩陣;為機(jī)器人關(guān)節(jié)在關(guān)節(jié)空間中的關(guān)節(jié)速度。

則手部速度為

2.2 對(duì)稱軌道式

2.2.1 自由度的計(jì)算

根據(jù)圖2所示機(jī)構(gòu)畫(huà)出對(duì)稱軌道式的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖5所示。

圖5 對(duì)稱軌道式機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

由于機(jī)構(gòu)整體是一個(gè)完全對(duì)稱結(jié)構(gòu)，則自由度的計(jì)算只考慮一邊即可。根據(jù)Kutzbach-Grübler公式M=∑fi+3(n－g－1)［8］，fi表示第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的相對(duì)自由度數(shù)，n為構(gòu)件數(shù)，g為運(yùn)動(dòng)副數(shù)。圖中有5個(gè)構(gòu)件，5個(gè)運(yùn)動(dòng)副，每個(gè)運(yùn)動(dòng)副都只含有一個(gè)自由度，故機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)M2=5+3×(5－5－1)=2，與機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖中主動(dòng)件數(shù)相同，所以符合條件。

2.2.2 齊次坐標(biāo)的變換

利用Denavit-Hartenberg法建立回轉(zhuǎn)夾持機(jī)構(gòu)的坐標(biāo)系如圖6所示。

圖6 對(duì)稱軌道式D-H坐標(biāo)

將初始坐標(biāo)原點(diǎn)建立在飛機(jī)前輪中心的位置，設(shè)飛機(jī)前輪的外徑為r，各點(diǎn)的距離如圖6所示。坐標(biāo)變換矩陣包含4個(gè)，分別為:

可以得到手部坐標(biāo)相對(duì)于各關(guān)節(jié)變量的方程:

2.2.3 速度分析

根據(jù)公式 (9)得出對(duì)稱軌道式手臂的速度雅可比矩陣

則手部速度為

圖7 回轉(zhuǎn)臂三維模型

3 仿真分析

建立回轉(zhuǎn)夾持式的回轉(zhuǎn)臂三維模型，利用Motion進(jìn)行仿真，并將仿真結(jié)果同理論結(jié)果相對(duì)比，得出手臂位置的兩個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)。

圖7給出回轉(zhuǎn)臂的三維模型。

圖8給出θ1的速度變化曲線。圖9給出l3的速度變化曲線。

圖8 θ1的角速度

圖9 l3速度

設(shè)l3的初始長(zhǎng)度為1 921 mm，θ1的初始角度為33.6°。由公式 (12)可以分別算出x方向及y方向的速度，如圖10、11所示。

圖10 回轉(zhuǎn)臂x方向的速度

圖11 回轉(zhuǎn)臂y方向的速度

根據(jù)圖10和圖11可知，基于D-H變換矩陣的數(shù)學(xué)模型同三維實(shí)體模型計(jì)算結(jié)果逼近程度較高，x方向的速度最大誤差不超過(guò)3 mm/s，y方向速度最大誤差不超過(guò)15 mm/s。通過(guò)數(shù)學(xué)模型得到的理論公式可以較為正確的得出實(shí)體模型的實(shí)際運(yùn)動(dòng)。

4 結(jié)論

(1)以D-H變換矩陣為建模工具所建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型較為精確，可以得到其正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程及飛機(jī)機(jī)輪中心同坐標(biāo)原點(diǎn)的理論位置變化關(guān)系。

(2)利用Solidworks對(duì)夾持舉升機(jī)構(gòu)進(jìn)行了三維實(shí)體建模并進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真，將理論速度計(jì)算公式輸入到Matlab中并代入各參數(shù)，將所求得理論解與仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。由結(jié)果可以看出二者結(jié)果逼近程度很高，文中的理論公式及推導(dǎo)以及三維模型的建立均是正確的，為進(jìn)一步的動(dòng)力學(xué)分析提供了理論基礎(chǔ)。

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