需求與庫存量相關及學習曲線的退化性產品最優(yōu)訂購策略

陳 铓，龔存宇

(湖南工程學院 機械工程學院，湘潭 411101)

參 考 文 獻

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需求與庫存量相關及學習曲線的退化性產品最優(yōu)訂購策略

陳 铓，龔存宇

(湖南工程學院 機械工程學院，湘潭 411101)

針對需求與庫存量相關的退化性產品，假設退化率為常數(shù)而需求率為庫存量的函數(shù)，考慮數(shù)量折扣與學習曲線，同時考慮了購買成本與時間和數(shù)量的關系，提出了有限計劃期需求與庫存相依的退化性產品庫存模型.在不允許缺貨、完全缺貨待補、部分缺貨待補且待補率與等待補貨時間相關等三種情況下，以庫存總成本最小化為研究目標提出了求解算法并進行了數(shù)值算例驗證及敏感性分析.

退化性產品；需求與庫存相依；數(shù)量折扣；學習曲線

0 引 言

傳統(tǒng)EOQ庫存模型往往忽略了退化性問題而假設產品是可以無限期儲存的，但是現(xiàn)實生活中很多產品如生鮮食品、農產品、血液、膠卷、化學品等，在儲存過程中會因為時間的因素而發(fā)生腐敗、揮發(fā)或變質等退化性現(xiàn)象，因此近年來對退化性庫存進行研究逐漸受到學者的重視.Giri[1]首先加入與時間呈線性關系的退化率函數(shù)，且假設在計劃期內所有的訂購周期都相等.Papachristos & Vrat[2]假設欠撥率為等候補貨時間的負指數(shù)函數(shù)，建立了退化性產品庫存模型.Wu & Liu[3]構建了需求率為單調線性函數(shù)且允許缺貨的退化性產品庫存模型，并假設退化率為常數(shù).

傳統(tǒng) EOQ 庫存模型中一般假設需求率為固定常數(shù)，或者是與時間相關而與庫存量無關的參數(shù)，然而Levin et al.[4]指出對于庫存量可能會影響到需求率的產品，對其庫存控制問題的研究就需要考慮需求率與庫存量之間的關系.張欽紅等[5]針對退化性產品提出了生產率為常數(shù)、線性庫存相依需求的經濟生產批量模型.Khmelnitsky & Gerchak[6]發(fā)展出需求率與庫存相依的庫存模型，假設需求率是初始庫存量的函數(shù).Padmanabhan & Vrat[7]假設庫存量與需求率相依，需求率為現(xiàn)有庫存量的函數(shù)且產品的退化率服從指數(shù)分布，并在不允許缺貨與允許缺貨兩種情況下建立了退化性產品EOQ 庫存模型.何偉等[8]提出了需求率與庫存水平相依的庫存模型，其中假設需求率為任一時間點庫存量的函數(shù).與之類似，Baker & Urban[9]也建立了需求率與庫存量相依的經濟訂購批量模型.Urban[10]回顧了庫存量與需求率相依的研究文獻，并對“需求與初始庫存相依”以及“需求與瞬時庫存相依”兩種庫存模型進行了比較.另外對于庫存量與需求率的關系，最常見的假設是線性函數(shù)，如孫靜春等[11]、Dye[12]、Wu et al.[13]、Chang et al.[14]等都建立了線性需求函數(shù).

簽于傳統(tǒng)庫存控制研究中對退化性產品的局限性，針對需求與庫存量相關的情況，本文將假設退化率為常數(shù)而需求率為庫存量的函數(shù)，并加入數(shù)量折扣和學習曲線的假設，建立退化性產品庫存模型，以庫存總成本最小化為研究目標確定最優(yōu)補貨次數(shù)，最優(yōu)訂購量、最優(yōu)補貨周期.

1 基本假設與符號定義

1.1 基本假設

(1)固定計劃期退化性產品庫存系統(tǒng)，補貨率為無限大且前置時間為零.

(2)需求率為庫存量的函數(shù)而庫存量為時間的函數(shù)，其值恒正且為確定性需求.

(3)退化率λ為已知常數(shù)，0≤λ≤1，且商品退化后不允許修復.

(4)數(shù)量折扣方式采用兩部定價規(guī)則(two-part tariff)，即零售商向制造商購買商品時須先支付一筆固定的費用f，隨后再針對購買的商品收取單價Ct.

(5)假設學習曲線為線性關系，即訂購單價會隨著時間的增加而降低.購買成本是時間與數(shù)量的函數(shù)，即C(t,q)=f+(a+bt)q,f>0,α>0,b≤0且a,b,f為已知常數(shù).

(6)允許缺貨且部分缺貨待補.缺貨比例是與補貨時間相關的函數(shù)，即B(x)=C/(1+δx)，其中00，x表示客戶等待補貨所需時間.需要指出的是如果δ=0，則B(x) = 1代表完全缺貨待補，而B(x) = 0代表沒有顧客愿意等候補貨，即缺貨完全損失.

1.2 符號定義

H：固定計劃期.

n：計劃期間內補貨次數(shù).

T：庫存補充周期的長度，T=H/n.

q1：庫存補充周期的最大庫存量，即每周期的訂購量.

C(t,q) ：單位產品購買成本.

K：訂購成本.

h：單位時間單位庫存的持有成本.

I(t) ：時間點t時的庫存量.

TC：庫存總成本.

Ib：周期缺貨待補的數(shù)量.

2 模型建構

假設退化性產品庫存系統(tǒng)在固定計劃期H內有n次庫存補貨周期，每個庫存補貨周期都有相同的周期長度T.由于允許缺貨且部分缺貨待補，每個庫存補充周期T可以用T1來分割正庫存期間與負庫存期間，而訂購時間點為(j-1)T(j=1,2,…,n-1,n)，且最后一次訂購之后的周期內不允許缺貨.庫存水平的變化情形如圖1所示.

圖1 部分缺貨待補情況下，存貨系統(tǒng)訂購時貼及存貨水準變化圖

在[0,T1]內，庫存量因為需求與產品的退化而減少.I1(t) 隨著時間t變化如下式：

(1)

運用在時間點T1時I1(T) 的邊界條件，求解上式如下：

(2)

現(xiàn)在對[T1,T]內在庫存補充周期內時間t的缺貨量進行分析.由于時間t并沒有實際庫存，所以此期間內不會發(fā)生退化的現(xiàn)象.當庫存量降至零時允許缺貨，但是在所有缺貨的部分中只有B(x)比例的客戶愿意等待補貨，所以庫存量的變化是由于產品的需求且缺貨待補形成的，其隨著時間t變化而變化的動態(tài)過程可以用下式表示：

(3)

運用在時間點T1時I2(T)的邊界條件，求解上式如下：

(4)

將t=T帶入式(4)，可以獲得每周期中最大缺貨待補的數(shù)量：

(5)

由于第1期的訂購量不需要考慮負庫存期間的需求量，所以訂購量q1為：

(6)

從第2期到第n-1期中，每周期補充庫存的訂購量為周期內需求量與退化量之和，即q1加上負庫存期間的缺貨待補量Ib，所以訂購量q2為：

δ(T-T1)]

(7)

在最后一個庫存補充周期，由于不允許缺貨，且正庫存區(qū)間長度為T，所以訂購量修正如下：

(8)

綜合以上推導，各項庫存成本推導如下：

(1)訂購成本

在固定計劃期H內，退化性產品庫存系統(tǒng)總共會進行n次補貨，因此總訂購成本為：

(9)

(2)購買成本

(3)庫存持有成本

第一個庫存補充周期的持有成本為：

(11)

由于最后一個庫存補充周期的持有時間為T，所以固定計劃期H的總庫存持有成本為前n-1期的庫存持有成本加上最后一期的庫存持有成本：

(12)

(4)缺貨成本

由于最后一個庫存補充周期不允許缺貨，亦即實際上會發(fā)生缺貨的周期數(shù)為n-1，所以周期內的總銷售缺貨成本：

δ(T-T1)]-ln[1+δ(T-t)]}dt=

(13)

(5)銷售損失成本

由于最后一個庫存補充周期不允許缺貨，亦即會發(fā)生銷售損失的周期數(shù)為n-1，所以周期內的總銷售損失成本：

(14)

綜合以上五點，退化性產品庫存系統(tǒng)的總庫存成本函數(shù)TC如下：

TC=n(K+f)+

(15)

3 模型求解

TC≈n(K+f)+α(n-

(16)

下面對求解最小值的必要與充分條件進行分析.首先，對庫存成本函數(shù)TC分別做T1的一階微分與二階微分，以判定是否存在可以使庫存成本函數(shù)最小化的最優(yōu)正庫存的時間點.

求解最小值的必要條件為令T1的一階偏微分為零，經過化簡可得 ：

(17)

需要指出的是對于T=H/n，由于n必須是正整數(shù)，其中T又會因n值的大小而有所影響，因此在小范圍的期間內，我們可以采用枚舉法求解最優(yōu)補貨次數(shù)、最優(yōu)訂購量、最優(yōu)補貨周期以及TC的最小值.

4 數(shù)值算例

本節(jié)對上文提出的退化性產品庫存模型采用第3節(jié)的求解算法進行數(shù)值分析.設定初始值H= 10，K= 250，h= 0.5，λ=0.05，α=600，β= 0.1，f= 15，a= 5，b= -0.1，f= 15，s= 3.5，r= 10，C= 0.9，δ=0.02，將其帶入退化性產品庫存模型之后可以求得結果如表1所示.

表1 退化性庫存模型成本表

從表 1 可以看出各項計算結果均符合最小值的充要條件，其中最優(yōu)值為：最優(yōu)補貨次數(shù)n=11，最優(yōu)庫存補充周期T=0.909091，每周期開始的缺貨時點T1=0.768754，服務水平η=84.56%，缺貨待補率B(x)=0.897481，最小成本為 32532.8.補貨次數(shù)與訂購量之間的關系如表 2所示.

表2 補貨次數(shù)與訂購量之間的關系

在以上研究基礎上分別對庫存參數(shù)h，λ，s，r，C等進行敏感度分析，可以發(fā)現(xiàn)：①最優(yōu)庫存成本會隨著訂購成本K、庫存持有成本h、退化率λ、缺貨損失成本s、缺貨損失成本r、缺貨待補率δ等參數(shù)值的增加而增加，其中缺貨待補率δ對成本影響極小.同時，庫存成本會隨缺貨待補率C的增加而減少.②缺貨待補率C對總庫存成本的影響十分顯著，特別是隨著缺貨待補率C的降低，缺貨待補的比例也會隨之快速下降，而缺貨待補的比例降低正意味著有較高比例的銷售損失.因此，在缺貨待補率較低的情下，為了避免造成銷售損失，應該增加總訂購量以提高服務水平從而降低缺貨比例.

5 結 論

本文探討了有限計劃期內產品具有固定退化特性且需求率與庫存量相關的情況下，以總庫存成本最小化為目標如何決策最優(yōu)庫存補充周期、再訂購點的問題.通過研究可以發(fā)現(xiàn)完全缺貨待補情況下總庫存成本是最小的，然而現(xiàn)實交易中很多客戶往往會選擇部分缺貨待補，對于這種情況，研究發(fā)現(xiàn)隨著缺貨待補比例的增加，總庫存成本也會隨之下降，所以經銷商可以采用一些優(yōu)惠措施來鼓勵消費者采取等候補貨的方式.另外，對于研究文獻中常常忽略的購買成本與時間及數(shù)量變化之間的關系，研究發(fā)現(xiàn)在增加相關因素之后可以使經銷商的總庫存成本獲得較明顯的改善.在未來的研究中，由于本文采用固定退化率建立了退化性產品庫存模型，為了與現(xiàn)實相適應，建議采用不同形式的隨機分布來描述不同產品的退化特性.

參 考 文 獻

[1] Giri B. C.，Chaudhuri K. S. Deterministic Models of Perishable Inventory with Stock-dependent Demand rate and Nonlinear Holding cost[J]. European Journal of Operational Research，1998，105(3)：467-474.

[2] Padmanabhan G.，Vrat P. EOQ Models for Perishable Items Under Stock Dependent Selling rate[J]. European Journal of Operational Research，1995，86(2)：281-292.

[3] Wu K. S.，Liu H. A. A Production Lot Size Inventory Model for Deteriorating Items with Inventory-Level-Dependent Demand and Partial Backordering[J]. Tamsui Oxford Journal of Mathematical Sciences，1998，14：113-123.

[4] Levin R. I.，McLaughlin C. P.，Lamone R. P.，Kottas J. F. Production/Operations Management：Contemporary Policy for Managing Operating Systems[M]. McGraw-Hill，1972：373.

[5] 張欽紅，駱建文．基于雙邊拍賣模型的易逝變質品供應鏈協(xié)作研究[J]. 工業(yè)工程與管理，2009，14(3)：33-44.

[6] Khmelnitsky E.，Gerchak Y. Optimal Control Approach to Production Systems with Inventory-Level-Dependent Demand[J]. IEEE Transactions on Automatic Control，2002，47(2)： 289-292.

[7] Padmanabhan G.，Vrat P. EOQ Models for Perishable Items under Stock Dependent Selling Rate[J]. European Journal of Operational Research，1995，86(2)：281-292.

[8] 何 偉，徐福緣. 需求依賴庫存且短缺量部分拖后的促銷商品庫存模型[J]. 計算機應用，2013，33(10) ：2950-2953.

[9] Baker R. C.，Urban T. L. A Deterministic Inventory System with an Inventory-Level-Dependent Demand Rate[J]. The Journal of the Operational Research Society，1988，39(9)：823-831.

[10]Urban T. L. Inventory Models with Inventory-Level-Dependent Demand: A Comprehensive Review and Unifying Theory[J]. European Journal of Operational Research, 2005，162(3)：792-804.

[11]孫靜春，李雙杰，方 燁. 非線性成本庫存模型在易逝品供應鏈中的應用[J].系統(tǒng)管理學報，2013，22(1)：10-16.

[12]Dye C. Y. Joint Pricing and Ordering Policy for A Deteriorating Inventory with Partial Backlogging[J]. Omega，2007，35(2)：184-189.

[13]Wu K. S.，Ouyang L.Y.，Yang C.T. An Optimal Replenishment Policy for Non-Instantaneous Deteriorating Items with Stock-Dependent Demand and Partial Backlogging[J]. International Journal of Production Economics，2006，101(2)：369-384.

[14]Chang C. T.，Goyal S. K.，Teng J. T. On “An EOQ Model for Perishable Items Under Stock-Dependent Selling Rate and Time-Dependent Partial Backlogging” by Dye and Ouyang[J]. European Journal of Operational Research，2006，174(2)：923-929.

Optimal Degradation Items Inventory Policy with Stock-dependent Demand and Learning Curve

CHEN Mang, GONG Cun-yu

(College of Mechanical Engineering, Hunan Institute of Engineering , Xiangtan 411101,China)

For deteriorating items having demand rates that increase with inventory levels, the thesis presentes the deteriorating items inventory model with stock-dependent demand and learning curve over the finite planning horizon. In addition, the thesis also incorporates the effect of quantity discount and time factor of purchase cost with inventory decision making. No backorders, complete backlogged and partial backlogging are considered in the deteriorating items inventory model. And further, the backlogging rate is variable and dependent on the waiting time for the next replenishment. The thesis presents an algorithm in order to minimize the total inventory cost. Finally the thesis verifies and gives sensitivity analysis by numerical examples.

deteriorating items; stock-dependent demand; quantity discount; learning curve

2015-03-23

國家自然科學基金資助項目(71271220)；湖南工程學院科研基金(2014).

陳 铓(1970-)，男，講師，博士，研究方向：物流庫存理論、工業(yè)工程.

F253.4；TH166

A

1671-119X(2015)03-0027-05