張?jiān)曝S，王 勇，龔本剛，但 斌

(1. 安徽工程大學(xué)管理工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241000；2. 重慶大學(xué)經(jīng)濟(jì)與工商管理學(xué)院，重慶 400030)

1 引言

改良品(Ameliorating Items)是指在持有期間，隨著時(shí)間的推移，自身會(huì)發(fā)生數(shù)量增加、重量增長或質(zhì)量改善，從而使得經(jīng)濟(jì)價(jià)值或效用獲得提升的一類物品[1-2]?，F(xiàn)實(shí)生活中有許多改良品的例子，如處于育肥期的生豬、快速生長的家禽、魚塘中飼養(yǎng)的魚、基地培植的水果蔬菜、酒莊里儲(chǔ)存的高檔酒類等都屬于改良品的范疇[3]。根據(jù)改良品在持有期間呈現(xiàn)出的不同改良特征，又可將改良品的改良現(xiàn)象分為有形改良和無形改良。有形改良是指在持有期間，由于生長或繁殖使得物品數(shù)量增加、重量增長而導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)價(jià)值或效用提升的一類改良現(xiàn)象；無形改良雖然在持有期間不會(huì)發(fā)生數(shù)量增加或重量增長，但其質(zhì)量卻隨著時(shí)間的推移而得到明顯提升[4]。改良品在持有期間隨時(shí)間推移會(huì)發(fā)生改良現(xiàn)象，因此與其他物品相比較更具有特殊性。Wee等[5]認(rèn)為少量的改良品訂貨可憑直覺或經(jīng)驗(yàn)完成而影響不大，對大規(guī)模的改良品訂貨問題，按照科學(xué)合理的方法進(jìn)行是非常必要的。Chou等[6]指出改良品在存儲(chǔ)期的特點(diǎn)與易變質(zhì)品正好相反，其訂貨問題值得進(jìn)行深入研究。

然而，學(xué)者們對改良品訂貨問題的研究起步卻較晚。直到1997年，Hwang[1]才首次研究了改良品的庫存決策，在假設(shè)改良品的改良率服從兩參數(shù)威布爾分布的基礎(chǔ)上，建立改良品補(bǔ)貨模型。隨后，Hwang[7-8]、Modal等[2,9]、Law和Wee[10]、Wee等[5]、Chou等[6]、Goyal等[11]、Panda等[12]、Vandana和Srivastava[13]基于不同的假設(shè)條件，如考慮需求依賴價(jià)格、資金時(shí)間價(jià)值、通貨膨脹率、有限計(jì)劃期、斜坡型需求率等，分別探討了威布爾分布改良率的改良品庫存最優(yōu)決策問題，而Moon等[3]、Sana[14]、Dem和Singh[15]、Mahata和De[16]則在考慮了時(shí)變需求、通貨膨脹、交易信用、資金時(shí)間價(jià)值等因素對庫存系統(tǒng)成本影響的基礎(chǔ)上，各自構(gòu)建了常系數(shù)改良率下的改良品庫存控制模型。國內(nèi)學(xué)者對改良品的研究才開始，著重從供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)的視角展開，如王勇等[17]、孫海雷等[18]、張?jiān)曝S等[4,19]分別探討了常系數(shù)改良率下改良品供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)機(jī)制。

改良品與其他物品的不同之處在于持有期間會(huì)發(fā)生改良現(xiàn)象，而改良率是描述改良現(xiàn)象的關(guān)鍵參數(shù)。上述文獻(xiàn)在改良率的處理上有兩種方式，一是假設(shè)改良率服從兩參數(shù)威布爾分布，另一種則將改良率設(shè)置為常系數(shù)。無論是何種處理方式，都未有實(shí)證數(shù)據(jù)予以支撐。陳暉等[20]以處于育肥期的生豬為研究對象，通過調(diào)研現(xiàn)場數(shù)據(jù)擬合育肥生豬的改良率曲線后發(fā)現(xiàn)，育肥生豬的改良率特征比較復(fù)雜，先是呈近似線性下降趨勢，接著類似于威布爾分布，后期下降到一個(gè)較小值且逐漸減小。銷售商庫存中的改良品已處于在售狀態(tài)，因而屬于改良末期階段。在欄生豬育肥是物品發(fā)生有形改良使得重量增加的典型案例，聯(lián)系到育肥生豬在育肥末期改良率的特征，可對處于銷售庫存系統(tǒng)中該類物品的改良率按常系數(shù)作近似處理。

供應(yīng)鏈中的不同經(jīng)濟(jì)主體在面臨決策時(shí)，通常會(huì)以自身利益最大化作為唯一目標(biāo)，即使在實(shí)現(xiàn)該目標(biāo)時(shí)可能會(huì)影響到其他主體或供應(yīng)鏈整體的利益。雙重邊際效應(yīng)的出現(xiàn)，使得整個(gè)供應(yīng)鏈系統(tǒng)的利益受損，此時(shí)設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膮f(xié)調(diào)機(jī)制來對供應(yīng)鏈中的個(gè)體經(jīng)濟(jì)行為加以協(xié)調(diào)則尤為必要。目前，學(xué)者們的研究興趣主要聚焦于供應(yīng)鏈上下游節(jié)點(diǎn)企業(yè)間的垂直(縱向)協(xié)調(diào)，如生產(chǎn)商與銷售商決策行為的協(xié)調(diào)[21-26]。除此之外，在企業(yè)運(yùn)作實(shí)踐中，供應(yīng)鏈水平(橫向)協(xié)調(diào)也十分常見，如多個(gè)銷售商之間開展聯(lián)合補(bǔ)貨。通過實(shí)施聯(lián)合補(bǔ)貨，銷售商可以分?jǐn)傆嗀洺杀荆岣吲c上游供應(yīng)商談判的話語權(quán)，容易爭取到更多的折扣價(jià)格優(yōu)惠，最終有利于實(shí)現(xiàn)規(guī)模經(jīng)濟(jì)。聯(lián)合補(bǔ)貨的局限性在于參與聯(lián)合補(bǔ)貨的銷售商需要改變自身原先的采購節(jié)奏，產(chǎn)生額外的訂貨協(xié)調(diào)成本，并且當(dāng)較多的銷售商加入到聯(lián)合補(bǔ)貨組織時(shí)，會(huì)導(dǎo)致生產(chǎn)運(yùn)作速度變慢，采購業(yè)務(wù)的效率大大降低。Zhang Jiawei[26]指出聯(lián)合補(bǔ)貨的訂貨協(xié)調(diào)成本通常會(huì)隨著采購組織中參與人員數(shù)量的增長而增加。張?jiān)曝S等[28]設(shè)計(jì)了銷售商聯(lián)合補(bǔ)貨的協(xié)調(diào)成本函數(shù)，但文中尚存在兩點(diǎn)不足之處：一是所設(shè)計(jì)的訂貨協(xié)調(diào)成本函數(shù)中增加的協(xié)調(diào)成本與增長的銷售商數(shù)量是正比例關(guān)系，過于簡單；二是雖然考慮了持續(xù)補(bǔ)貨對改良品供應(yīng)鏈系統(tǒng)成本的影響，卻在對銷售商成本函數(shù)作近似處理過程中忽略了補(bǔ)貨速率的影響。本文遵循張?jiān)曝S等[28]的研究思路并進(jìn)一步完善其研究，主要不同點(diǎn)在于：一是設(shè)計(jì)更為合理的訂貨協(xié)調(diào)成本函數(shù)；二是充分體現(xiàn)補(bǔ)貨速率對供應(yīng)鏈系統(tǒng)成本的影響；三是提出基于博弈核心的利潤分配方法。

2 基本假設(shè)與符號(hào)說明

2.1 基本假設(shè)

本文建立的改良品供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)模型基于以下基本假設(shè)：

(1) 單個(gè)供應(yīng)商和多個(gè)銷售商構(gòu)成二級改良品供應(yīng)鏈；(2) 只涉及一種改良品的訂貨決策；(3) 不允許銷售商缺貨；(4) 考慮無限個(gè)訂貨周期；(5) 提前期忽略不計(jì)；(6) 需求率已知且均勻穩(wěn)定；(7) 供應(yīng)商采用持續(xù)補(bǔ)充模式；(8) 改良率為常系數(shù)；(9) 持有期間改良的部分占有庫存；(10) 供應(yīng)商提供等級折扣價(jià)格策略；(11) 每個(gè)銷售商獨(dú)立補(bǔ)貨時(shí)具有相同的訂貨成本。

2.2 符號(hào)說明

本文建立的改良品供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)模型設(shè)定如下符號(hào)：

Di：第i個(gè)銷售商的市場需求率，i=1,2,…,n；

R：供應(yīng)商提供的統(tǒng)一補(bǔ)貨速率，R>Di；

K：銷售商獨(dú)立補(bǔ)貨時(shí)的訂貨成本；

KJ：銷售商聯(lián)合補(bǔ)貨時(shí)的訂貨成本，KJ>K；

Hi：第i個(gè)銷售商的單位存儲(chǔ)成本；

Ci：第i個(gè)銷售商的單位改良成本；

ωi：銷售商i獨(dú)立補(bǔ)貨時(shí)的單位批發(fā)價(jià)格，ωi>Ci；

ωJ：銷售商聯(lián)合補(bǔ)貨時(shí)的單位批發(fā)價(jià)格，ωJ>Ci；

p0：改良品在市場上的單位銷售價(jià)格；

λ：改良品的凈改良率；

3 模型

3.1 獨(dú)立補(bǔ)貨模型

設(shè)第i個(gè)銷售商的一個(gè)補(bǔ)貨周期長度為Ti，從t=0時(shí)刻開始補(bǔ)貨，在補(bǔ)充、改良與需求的共同作用下，庫存逐漸增加，至t=ti時(shí)刻持有的庫存水平達(dá)到最大值；隨后供應(yīng)商停止補(bǔ)貨，庫存在改良與需求的影響下慢慢減少，在t=Ti時(shí)刻達(dá)到最小值零。接著，第二輪補(bǔ)貨開始。第i個(gè)銷售商獨(dú)立補(bǔ)貨的模型圖如下圖1所示。

圖1 獨(dú)立補(bǔ)貨模型圖

第i個(gè)銷售商在一個(gè)補(bǔ)貨周期內(nèi)任意時(shí)刻持有的庫存水平Ii(t)滿足微分方程

(1)

其中，n取自然數(shù)。

結(jié)合邊界條件Ii(0)=0與Ii(Ti)=0，運(yùn)用常數(shù)變易法求解式(1)，得到

Ii(t)=

(2)

當(dāng)t=(n-1)Ti+ti時(shí)，有(R-Di)(eλti-1)/λ=Di(1-eλ(ti-Ti))/λ成立。直接求解ti與Ti之間的表達(dá)式很困難，這里借鑒Sivashankari等[29]的處理方式，將式中的指數(shù)函數(shù)進(jìn)行泰勒展開，并取其前兩項(xiàng)，得到ti=DiTi/R。

第i個(gè)銷售商在一個(gè)補(bǔ)貨周期Ti的總成本包括訂貨成本、采購成本、存儲(chǔ)成本、改良成本四個(gè)部分，分別為：

(1) 訂貨成本

=K；

(2) 采購成本

(3) 存儲(chǔ)成本

(4) 改良成本

從而，第i個(gè)銷售商的單位時(shí)間利潤表達(dá)式為

(3)

命題1 第i個(gè)銷售商獨(dú)立補(bǔ)貨時(shí)的最佳訂貨周期與最大單位時(shí)間利潤分別為

其中，Hi+λCi-λωi>0。

第i個(gè)銷售商的最優(yōu)訂購數(shù)量為

(4)

當(dāng)R→+∞，即供應(yīng)商的補(bǔ)貨速率無窮大，便可得到瞬時(shí)補(bǔ)充下第i個(gè)銷售商的最佳補(bǔ)貨周期和最大單位時(shí)間利潤。此時(shí)有

將第i個(gè)銷售商在持續(xù)補(bǔ)充與瞬時(shí)補(bǔ)充下的最大單位時(shí)間利潤進(jìn)行比較，有

因此，持續(xù)補(bǔ)貨能夠獲得比瞬時(shí)補(bǔ)貨更大的單位時(shí)間利潤。n個(gè)銷售商在獨(dú)立補(bǔ)貨下的最大單位時(shí)間總利潤為

(5)

3.2 聯(lián)合補(bǔ)貨模型

設(shè)n個(gè)銷售商組建采購聯(lián)盟N，共同決策補(bǔ)貨周期TJ。采購聯(lián)盟N需要協(xié)調(diào)每個(gè)銷售商的補(bǔ)貨計(jì)劃，并因此產(chǎn)生相應(yīng)的訂貨協(xié)調(diào)成本。在此，假定采購聯(lián)盟N總的訂貨協(xié)調(diào)成本函數(shù)為KJ=Knφ，其中φ表示協(xié)調(diào)成本系數(shù)且φ>0，n表示采購聯(lián)盟中成員的數(shù)量。由dKJ/dn=φKnφ-1>0知隨著參與聯(lián)合補(bǔ)貨的銷售商數(shù)量增長，整個(gè)采購聯(lián)盟的訂貨協(xié)調(diào)成本也在增加。當(dāng)d2KJ/dn2=φ(φ-1)Knφ-2<0時(shí)，即φ<1，表示任意銷售商加入到采購聯(lián)盟的邊際協(xié)調(diào)成本遞減；當(dāng)d2KJ/dn2=φ(φ-1)Knφ-2>0時(shí)，即φ>1，表示任意銷售商加入到采購聯(lián)盟的邊際協(xié)調(diào)成本遞增；當(dāng)d2KJ/dn2=φ(φ-1)Knφ-2=0時(shí)，即φ=1，表示任意銷售商加入到采購聯(lián)盟的邊際協(xié)調(diào)成本不變。

(6)

命題2 若n個(gè)銷售商聯(lián)合補(bǔ)貨，則采購聯(lián)盟N的最佳訂貨周期與最大單位時(shí)間總利潤分別為

證明：將式(6)對TJ分別求一階、二階導(dǎo)數(shù)，有

采購聯(lián)盟N的最優(yōu)訂購數(shù)量為

(7)

當(dāng)R→+∞，即供應(yīng)商的補(bǔ)貨速率無窮大，便可得到瞬時(shí)補(bǔ)貨下采購聯(lián)盟N的最佳補(bǔ)貨周期和最大單位時(shí)間總利潤。此時(shí)有

聯(lián)合補(bǔ)貨時(shí)，采購聯(lián)盟N在持續(xù)補(bǔ)充與瞬時(shí)補(bǔ)充下的最大單位時(shí)間總利潤差值為

3.3 兩種補(bǔ)貨模式比較

(8)

在式(8)中，考慮聯(lián)合補(bǔ)貨模式下單位產(chǎn)品批發(fā)價(jià)格ωJ和協(xié)調(diào)成本系數(shù)φ對ΔΠ的影響。由于采購聯(lián)盟N在聯(lián)合補(bǔ)貨時(shí)的訂貨數(shù)量通常大于任一銷售商在獨(dú)立補(bǔ)貨時(shí)的訂貨數(shù)量。因此，在供應(yīng)商提供數(shù)量折扣策略下一般有ωJ≤ωi成立。在聯(lián)合補(bǔ)貨時(shí)，采購聯(lián)盟N需要協(xié)調(diào)各個(gè)銷售商的行動(dòng)，并產(chǎn)生相應(yīng)的訂貨協(xié)調(diào)成本，所以聯(lián)合補(bǔ)貨會(huì)使得訂貨成本KJ大于獨(dú)立補(bǔ)貨時(shí)的訂貨成本K。協(xié)調(diào)成本系數(shù)φ反映了采購聯(lián)盟N在聯(lián)合補(bǔ)貨時(shí)的訂貨協(xié)調(diào)成本大小。如果協(xié)調(diào)成本系數(shù)φ較大，表示采購聯(lián)盟N對各個(gè)銷售商的協(xié)調(diào)變得比較困難，可能導(dǎo)致聯(lián)合補(bǔ)貨獲得的價(jià)格節(jié)約不足以補(bǔ)償訂貨協(xié)調(diào)成本的增加。為了確保聯(lián)合補(bǔ)貨優(yōu)于獨(dú)立補(bǔ)貨，協(xié)調(diào)成本系數(shù)φ需滿足下列條件。

命題3 在由單個(gè)供應(yīng)商和n個(gè)銷售商構(gòu)成的二級改良品供應(yīng)鏈中，聯(lián)合補(bǔ)貨優(yōu)于獨(dú)立補(bǔ)貨的充要條件是協(xié)調(diào)成本系數(shù)φ需滿足

φ<

(9)

證明：當(dāng)ΔΠ>0時(shí)，聯(lián)合補(bǔ)貨優(yōu)于獨(dú)立補(bǔ)貨。由式(8)知應(yīng)滿足

在供應(yīng)商提供等級折扣價(jià)格時(shí)，式(9)中ωi/ωJ是訂貨數(shù)量的函數(shù)，需要通過試錯(cuò)法來確定。設(shè)供應(yīng)商提供的m等級折扣價(jià)格函數(shù)為

4 聯(lián)合補(bǔ)貨博弈

4.1 問題描述

雖然聯(lián)合補(bǔ)貨能獲得比獨(dú)立補(bǔ)貨更大的單位時(shí)間總利潤，但尚不足以保證所有的銷售商都會(huì)加入到采購聯(lián)盟N中來，除非每一位銷售商都能夠獲得不小于自己在獨(dú)立補(bǔ)貨下的單位時(shí)間利潤，如此才能讓每一位銷售商有動(dòng)力參與聯(lián)合補(bǔ)貨，從而實(shí)現(xiàn)利潤的增加。

本文以聯(lián)合補(bǔ)貨的最大單位時(shí)間總利潤作為分配對象，將聯(lián)合補(bǔ)貨的利潤分配轉(zhuǎn)換成多人合作博弈的收益分配問題。以N={1,2,…,n}表示n個(gè)銷售商的集合，稱為全聯(lián)盟。函數(shù)Φ:2N→R為分派給任意非空子聯(lián)盟S?N的特征函數(shù)，且Φ(φ)=0，Φ(S)稱為聯(lián)合補(bǔ)貨博弈(N,Φ)中子聯(lián)盟S的最大單位時(shí)間總利潤。聯(lián)合補(bǔ)貨博弈需要解決的問題是在全聯(lián)盟成立后，如何將整個(gè)聯(lián)盟的最大單位時(shí)間總利潤Φ(N)合理分配給每位銷售商。

定義1 對任意的S?N，子聯(lián)盟S的利潤是最大化聯(lián)盟在聯(lián)合補(bǔ)貨時(shí)所產(chǎn)生的單位時(shí)間總利潤。改良品聯(lián)合補(bǔ)貨博弈(S,Φ)可定義為

(10)

其中，s表示子聯(lián)盟S中銷售商的數(shù)量，以此類推。

4.2 基本性質(zhì)

性質(zhì)1表明，在聯(lián)合補(bǔ)貨博弈中，當(dāng)協(xié)調(diào)成本系數(shù)滿足一定條件時(shí)，采購聯(lián)盟的規(guī)模越大，其補(bǔ)貨的最佳訂貨周期越短。因而每位銷售商持有的最大庫存量將減少，平均庫存水平也因此隨最佳訂貨周期的縮短而降低，使得單位時(shí)間承擔(dān)的庫存成本降低。因此，參加采購聯(lián)盟進(jìn)行聯(lián)合補(bǔ)貨有利于每位銷售商提高企業(yè)利潤水平。

性質(zhì)2 對任意的采購子聯(lián)盟S,G?N

證明：

Φ(S∪G)-(Φ(S)+Φ(G))

顯然，若有

性質(zhì)2表明，當(dāng)協(xié)調(diào)成本系數(shù)滿足一定條件時(shí)，聯(lián)合補(bǔ)貨博弈(N,Φ)具有次可加性，合作是有益的。對各銷售商而言，聯(lián)合補(bǔ)貨的最大單位時(shí)間總利潤將大于獨(dú)立補(bǔ)貨的最大單位時(shí)間利潤之和。從理論上來說，只要采取合適的利潤分配方案就能夠使所有的銷售商實(shí)現(xiàn)利潤的帕累托改善。

證明：對任意的S?G?N{l}，有

欲證Φ(G∪{l})-Φ(G)>Φ(S∪{l})-Φ(S)，即

對不等式兩邊平方并消去公因子2K，得到

性質(zhì)3表明，當(dāng)協(xié)調(diào)成本系數(shù)滿足一定條件時(shí)，銷售商對所屬采購聯(lián)盟的邊際利潤隨著采購聯(lián)盟規(guī)模的增大而增大，任意一個(gè)銷售商或子聯(lián)盟加入另一個(gè)不相連子聯(lián)盟的動(dòng)機(jī)隨著聯(lián)盟成員的增多而增大。所以，每位銷售商都有動(dòng)機(jī)組建采購聯(lián)盟，并且傾向于加入成員較多的采購聯(lián)盟，這樣不僅能夠分?jǐn)傆嗀洺杀?，而且有可能由于訂貨批量的增大而享受更低的折扣價(jià)格，從而獲得更多的單位時(shí)間利潤。

4.3 利潤分配方案

子模博弈的核心非空且是其邊際向量的凸組合，夏普利值是核心的重心，然而核心是一個(gè)集合概念，并不是唯一的分配方案，且夏普利值的計(jì)算比較復(fù)雜，隨著聯(lián)盟參與人數(shù)的增加，其計(jì)算復(fù)雜度呈指數(shù)型增大[30]。因此，下文將設(shè)計(jì)一種屬于核心且易于計(jì)算的單值利潤分配方案。將全聯(lián)盟N的最大單位時(shí)間總利潤Φ(N)表示為

=Φ(S).

性質(zhì)4表明，利潤分配方案ψ是一個(gè)公平且穩(wěn)定的分配方案，這時(shí)沒有任何銷售商從全聯(lián)盟中撤出組建自己的聯(lián)盟，沒有任何子聯(lián)盟有動(dòng)機(jī)從全聯(lián)盟中分離出來。

5 數(shù)值算例

5.1 參數(shù)設(shè)置與求解

在由單個(gè)供應(yīng)商和三個(gè)銷售商組成的二級改良品供應(yīng)鏈中，相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下：D1=700千克/月，D2=800千克/月，D3=900千克/月，R=2000千克/月，H1=H2=H3=4.0元/千克·月，C1=C2=C3=12.0元/千克，K=200元，φ=0.5，λ=0.10，p0=25元/千克。供應(yīng)商提供的等級折扣價(jià)格為：

ωJ(Q)

設(shè)三位銷售商組建采購聯(lián)盟N，共同決策訂貨周期，向改良品供應(yīng)商進(jìn)行聯(lián)合補(bǔ)貨，則N={1,2,3}，S可取{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}或{1,2,3}。將上述各項(xiàng)參數(shù)代入式(9)進(jìn)行檢驗(yàn)，易知當(dāng)φ=0.5時(shí)，任意兩位及以上銷售商組建采購聯(lián)盟進(jìn)行聯(lián)合補(bǔ)貨都比各自獨(dú)立補(bǔ)貨更優(yōu)。對每一個(gè)子聯(lián)盟S，結(jié)合所設(shè)置的參數(shù)，得到下表1所示計(jì)算結(jié)果。

由表1數(shù)據(jù)可知，子聯(lián)盟的最佳訂貨周期隨著子聯(lián)盟規(guī)模的增大而逐漸減小，但子聯(lián)盟的最優(yōu)訂貨批量卻隨著子聯(lián)盟規(guī)模的增大而逐漸增加。任意兩個(gè)及以上的銷售商聯(lián)合補(bǔ)貨所獲得的最大單位時(shí)間總利潤都會(huì)大于他們獨(dú)立補(bǔ)貨時(shí)的最大單位時(shí)間利潤之和。在現(xiàn)有的參數(shù)設(shè)計(jì)下，聯(lián)合采購優(yōu)于獨(dú)立采購，并且采購聯(lián)盟的規(guī)模越大，聯(lián)合補(bǔ)貨的優(yōu)勢越明顯。

表1 子聯(lián)盟訂貨參數(shù)

5.2 敏感性分析

下面分別考慮凈改良率λ、補(bǔ)貨速率R與協(xié)調(diào)成本系數(shù)φ發(fā)生變化時(shí)對各銷售商在獨(dú)立補(bǔ)貨與聯(lián)合補(bǔ)貨中最大單位時(shí)間利潤的影響，具體結(jié)果如表2-表4所示。

表2 凈改良率的敏感性分析

由表2數(shù)據(jù)可知，當(dāng)單位改良成本小于批發(fā)價(jià)格時(shí)，無論是獨(dú)立補(bǔ)貨還是聯(lián)合補(bǔ)貨，三位銷售商的最大單位時(shí)間利潤都隨著凈改良率的增加而增加。此時(shí)，銷售商們更傾向于通過改良而不是直接采購來滿足需求。三位銷售商在聯(lián)合補(bǔ)貨中分配的最大單位時(shí)間利潤都明顯高于在獨(dú)立補(bǔ)貨下的最大單位時(shí)間利潤，主要原因來自于兩方面：一是在聯(lián)合補(bǔ)貨中每位銷售商分?jǐn)偟挠嗀泤f(xié)調(diào)成本比獨(dú)立補(bǔ)貨時(shí)小(獨(dú)立補(bǔ)貨下三位銷售商的總訂貨成本為600元，而在聯(lián)合補(bǔ)貨中三位銷售商的協(xié)調(diào)成本只有346.4元)；二是每位銷售商都享受到供應(yīng)商提供的等級折扣價(jià)格，采購成本大幅度下降(每位銷售商獨(dú)立采購時(shí)的批發(fā)價(jià)格是18元/千克，聯(lián)合補(bǔ)貨時(shí)單次訂貨批量增加較多，從而享受到16元/千克的折扣價(jià)格，節(jié)約了采購成本)。最后，隨著改良率的增加，每位銷售商在聯(lián)合補(bǔ)貨與獨(dú)立補(bǔ)貨中獲得的最大單位時(shí)間利潤差值逐漸減小，這是由于聯(lián)合補(bǔ)貨的最佳訂貨周期比任何一位銷售商獨(dú)立補(bǔ)貨的最佳訂貨周期都短，因此持有期間改良品的改良量相對較少，而單位改良成本小于批發(fā)價(jià)格，所以聯(lián)合補(bǔ)貨在物品改良這部分增加的利潤比獨(dú)立補(bǔ)貨要少。

由表3數(shù)據(jù)可知，三位銷售商無論是采取獨(dú)立補(bǔ)貨還是聯(lián)合補(bǔ)貨，其獲得的最大單位時(shí)間利潤都隨著補(bǔ)貨速率的增加而減少。當(dāng)補(bǔ)貨速率逐漸增加時(shí)，會(huì)導(dǎo)致最佳訂貨周期慢慢縮短，最優(yōu)訂貨數(shù)量也在減少，周期平均存儲(chǔ)數(shù)量漸漸減少，如此使得單位時(shí)間的訂貨成本增加而單位時(shí)間的存儲(chǔ)成本減少，最終導(dǎo)致各位銷售商的最大單位時(shí)間利潤下降。在補(bǔ)貨速率增加的過程中，若剛好使得銷售商的最優(yōu)訂貨數(shù)量下降到上一等級折扣價(jià)格對應(yīng)的數(shù)量區(qū)間時(shí)，銷售商的最大單位時(shí)間利潤就會(huì)產(chǎn)生較大幅度的下降。極端情況下，若補(bǔ)貨速率趨向于無窮大，即瞬時(shí)補(bǔ)貨下，每位銷售商的最大單位時(shí)間利潤都下降到極小值。

表4 協(xié)調(diào)成本系數(shù)的敏感性分析

由表4數(shù)據(jù)可知，協(xié)調(diào)成本系數(shù)的變化只對銷售商在聯(lián)合補(bǔ)貨下的最大單位時(shí)間利潤產(chǎn)生影響，而不會(huì)改變獨(dú)立補(bǔ)貨時(shí)的利潤水平。隨著協(xié)調(diào)成本系數(shù)的增加，三位銷售商在聯(lián)合補(bǔ)貨中分配的最大單位時(shí)間利潤不斷減少?？梢灶A(yù)見的是，隨著協(xié)調(diào)成本系數(shù)的進(jìn)一步增加，很快使得某位銷售商在聯(lián)合補(bǔ)貨中分配的最大單位時(shí)間利潤小于其在獨(dú)立補(bǔ)貨下的最大單位時(shí)間利潤，該銷售商會(huì)率先退出采購聯(lián)盟，并最終導(dǎo)致采購聯(lián)盟瓦解。根據(jù)命題3，可計(jì)算出本算例中協(xié)調(diào)成本系數(shù)的最大值maxφ≈2.98，即協(xié)調(diào)成本系數(shù)大于2.98時(shí)，三位銷售商在聯(lián)合補(bǔ)貨中獲得的最大單位時(shí)間總利潤將小于獨(dú)立補(bǔ)貨獲得的最大單位時(shí)間利潤之和，導(dǎo)致至少一位銷售商在加入采購聯(lián)盟后分配的利潤水平小于其獨(dú)立補(bǔ)貨。另外，表4數(shù)據(jù)表明，協(xié)調(diào)成本系數(shù)并非越小越好，如φ=0.0時(shí)各位銷售商分配的最大單位時(shí)間利潤就比φ=0.5時(shí)小。這是因?yàn)檩^小的協(xié)調(diào)成本系數(shù)對應(yīng)著較小的最佳訂貨周期，意味著采購聯(lián)盟的最優(yōu)訂貨數(shù)量較少，則有可能享受不到供應(yīng)商提供的較為理想的折扣價(jià)格，從而導(dǎo)致銷售商的利潤水平大幅下降。

6 結(jié)語

本文的研究是對張?jiān)曝S等[27]的完善和補(bǔ)充，討論了供應(yīng)商提供持續(xù)補(bǔ)充方式與等級折扣價(jià)格下多銷售商的補(bǔ)貨決策問題，將銷售商在獨(dú)立補(bǔ)貨與聯(lián)合補(bǔ)貨兩種補(bǔ)貨模式的最大單位時(shí)間利潤進(jìn)行了比較。文中考慮了組建采購聯(lián)盟進(jìn)行聯(lián)合補(bǔ)貨時(shí)存在協(xié)調(diào)成本的影響，設(shè)計(jì)接近企業(yè)運(yùn)作實(shí)際的協(xié)調(diào)成本函數(shù)。在得到聯(lián)合補(bǔ)貨優(yōu)于獨(dú)立補(bǔ)貨充要條件的基礎(chǔ)上，將銷售商之間的聯(lián)合補(bǔ)貨行為轉(zhuǎn)化成多人合作博弈問題，證明博弈具有的基本性質(zhì)，設(shè)計(jì)基于博弈核心的利潤分配方法。最后通過一個(gè)數(shù)值算例對文中給出的相關(guān)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證。

論文證明聯(lián)合補(bǔ)貨博弈所具有的幾條基本性質(zhì)是以協(xié)調(diào)成本系數(shù)滿足特定條件為前提的。本文研究結(jié)論的實(shí)踐意義在于，當(dāng)組建采購聯(lián)盟進(jìn)行聯(lián)合補(bǔ)貨的協(xié)調(diào)成本小于特定值時(shí)，銷售商們聯(lián)合補(bǔ)貨要優(yōu)于獨(dú)立補(bǔ)貨，并且采購聯(lián)盟的規(guī)模越大，每位銷售商能夠從聯(lián)合補(bǔ)貨中獲得的單位時(shí)間利潤就越大。

文中在推導(dǎo)供應(yīng)商的周期補(bǔ)充時(shí)間與銷售商的訂貨周期之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，借鑒了Sivashankari等[28]的處理方式，將指數(shù)函數(shù)進(jìn)行泰勒展開并只取其前兩項(xiàng)。這是一種簡單的處理方式。這種做法與泰勒展開時(shí)取前三項(xiàng)相比存在一定的誤差，但在凈改良率與訂貨周期較小時(shí)(如取λ=0.10、T=0.5，相對誤差為0.12%)，所產(chǎn)生的誤差可以忽略不計(jì)。