溫 書，嵇紹春*， 王 敏

(1.淮陰工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 淮安223003；2.淮陰工學(xué)院 圖書館，江蘇 淮安 223003)

分?jǐn)?shù)階脈沖積分微分方程的解

溫 書1，嵇紹春1*， 王 敏2

(1.淮陰工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 淮安223003；2.淮陰工學(xué)院 圖書館，江蘇 淮安 223003)

基于分?jǐn)?shù)階微積分和不動(dòng)點(diǎn)定理, 我們討論一類非局部條件下分?jǐn)?shù)階脈沖積分微分方程解的存在性, 主要方法是將分?jǐn)?shù)階積分微分方程轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的積分方程，然后在Lipschitz型條件下利用Banach壓縮原理證明其解的存在性。

分?jǐn)?shù)階積分微分方程；脈沖條件；解的存在性

分?jǐn)?shù)階微分方程作為一般整數(shù)階微分方程的推廣，在一些工程技術(shù)方面發(fā)揮著重要作用。由于分?jǐn)?shù)階微積分具有記憶性質(zhì)(非局部性)，它非常適合于刻畫具有記憶和遺傳性質(zhì)的過程，已成為復(fù)雜系統(tǒng)、彈性材料建模中有效的數(shù)學(xué)工具，近年來受到廣泛關(guān)注[1-3]。 另外, 在系統(tǒng)運(yùn)行中由于一些突發(fā)事件，會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)在某些時(shí)刻發(fā)生跳躍，稱為脈沖現(xiàn)象，脈沖微分方程刻畫了這一過程，近期有關(guān)微分方程在脈沖條件下解的存在性和可控性研究也取得了一些成果。Benchohra[4]利用Monch不動(dòng)點(diǎn)定理證明了一類分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程的解，嵇紹春等[5]討論了分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程在非局部項(xiàng)為Lipschitz連續(xù)和非Lipschitz連續(xù)時(shí)解的情形, 利用其中的方法，本文進(jìn)一步研究具有脈沖條件的分?jǐn)?shù)階積分微分方程的解。

具體地, 本文在Banach空間X中考慮如下分?jǐn)?shù)階積分微分方程

(1)

△x(tk)=Ik(x(tk))

(2)

x(0)=x0+g(x)

(3)

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 如果函數(shù)PC(J; X), 且方程(1)、(2)、(3)式成立, 則稱為方程(1)～(3)的解。

下面回顧分?jǐn)?shù)階微積分的一些基本內(nèi)容。

定義2 函數(shù)h∈L1([c,d];X)的α階分?jǐn)?shù)階積分定義為

其中，Γ(·)gamma函數(shù)。

定義3 函數(shù)h:[c,d]→X的α階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

其中，h(t)有從1到(n-1)階的絕對(duì)連續(xù)導(dǎo)數(shù),n=[α]+1。

Kilbas等[6]介紹了分?jǐn)?shù)階微積分的如下性質(zhì)：

引理1 設(shè)f是分?jǐn)?shù)階可導(dǎo)函數(shù)，令α、β>0,則下列性質(zhì)成立

2 主要結(jié)果

引理2 令α∈(0,1],h:J→R是連續(xù)函數(shù)。函數(shù)u∈C(J,R)滿足分?jǐn)?shù)階積分方程

當(dāng)且僅當(dāng)滿足分?jǐn)?shù)階微分方程Dαu(t)=h(t),t∈J,u(p)=u0,0

引理3 令0<α≤1,函數(shù)f、 h、Ik、g是連續(xù)函數(shù),則函數(shù)是方程(1)～(3)的解當(dāng)且僅當(dāng)x∈PC(J；X),且滿足分?jǐn)?shù)階積分方程

(4)

證明 假設(shè)x滿足方程(1)～(3)。當(dāng)t∈[0,t1]時(shí),有Dαx(t)=Ax(t)+f(t,x(t),Hx(t)),t∈[0，t1]，x(0)=g(x)

當(dāng)t∈[t1，t2]時(shí),有Dαx(t)=Ax(t)+f(t,x(t),Hx(t)),t∈(t1，t2],

由引理2可得

當(dāng)2≤k≤m,t∈(tk,tk+1]時(shí),重復(fù)上述過程,可得積分方程(4)。

我們?cè)谙铝屑僭O(shè)條件下討論這一問題。

H1:A:X→X是有界線性算子，且存在M>0,使得‖A‖≤M;

H2: f:J×X×X→X是連續(xù)函數(shù)且存在常數(shù)l1、l2>0,使得對(duì)任意t∈J,u,v,x,y∈X,有‖f(t,x,u)-f(t,y,v)‖≤l1‖x-y‖+l2‖u-v‖;

H3: h:△×X→X是連續(xù)函數(shù)且存在l3>0,使得對(duì)任意(t,s)∈△,u,v∈X,有‖h(t,s,u)-h(t,s,v)‖≤l3‖u-v‖;

H4: Ik:X→X是連續(xù)函數(shù)且存在l4>0,使得對(duì)任意u,v∈X,k=1,…,m,有‖Ik(u)-Ik(v)‖≤l4‖u-v‖;

H5:g:PC(J:X)→X連續(xù)，且存在l5>0,使得‖g(x)-g(y)‖≤l5‖x-y‖PC, x,y∈PC(J;X)。

定理1 若假設(shè)H1～H5成立, 則分?jǐn)?shù)階脈沖積分微分方程(1)～(3)當(dāng)條件

l5+ml4+(M+l1+bl2l3)bα/Γ(α+1)<1

(5)

成立時(shí), 必有解且解是唯一的。

令x,y∈PC(J;X),則對(duì)t∈J,有

由PC(J; X)中的最大值范數(shù)定義可得

‖Gx-Gy‖PC]≤[l5+ml4(M+l1+bl2l3)bα/Γ(α+1)]‖x-y‖PC。

再由(5)式可知,G是一個(gè)壓縮映射，根據(jù)Banach壓縮原理，G有唯一的不動(dòng)點(diǎn),即為方程(1)～(3)的解。證明結(jié)束。

[1]BonillaB,RiveroM,Rodriguez-GermaL,etal.Fractionaldifferentialequationsasalternativemodelstononlineardifferentialequations[J].ApplMathComput,2007,187(1):79-88.

[2]LakshmikanthamV.Theoryoffractionalfunctionaldifferentialequations[J].NonlinearAnal,2008,69(10):3337-3343.

[3]JiSC,LiG.Solutionstononlocalfractionaldifferentialequationsusinganoncompactsemigroup[J].ElectronJDifferEqu,2013(240):1-14.

[4]BenchohraM,SebaD.ImpulsivefractionaldifferentialequationsinBanachspaces[J].ElectronJQualTheoryDifferEqu,2009(8):1-14.

[5] 嵇紹春,李剛.一類分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程的解[J].揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版, 2012,15(4):12-15.

[6]KilbasAA,SrivastavaHM,TrujilloJJ.TheoryandApplicationsofFractionalDifferentialEquations[M].Amsterdam:Elsevier,2006.

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(責(zé)任編輯：尹曉琦)

“結(jié)構(gòu)檢測與加固”欄目

欄目主持人介紹：孫文彬(1969-)，男，教授，博士生，碩士生導(dǎo)師，淮陰工學(xué)院改革發(fā)展研究中心副主任，江蘇省工程結(jié)構(gòu)鑒定與加固改造委員會(huì)委員，長期從事混凝土結(jié)構(gòu)、鋼-混凝土組合結(jié)構(gòu)、結(jié)構(gòu)鑒定與加固、結(jié)構(gòu)無損檢測等方向的教學(xué)與研究工作，2000年以來，發(fā)表論文80余篇(其中SCI/EI收錄20余篇)，授權(quán)結(jié)構(gòu)加固方向?qū)＠麅身?xiàng)。

欄目主持人按語：專欄與淮安市建筑工程檢測中心有限公司合作以來，關(guān)注建筑結(jié)構(gòu)的檢測和既有結(jié)構(gòu)的加固與改造。本期刊發(fā)了揚(yáng)州大學(xué)曹大富課題組的研究成果，鋼筋混凝寬柱雙梁托環(huán)節(jié)技術(shù)，曹老師長期從事工程結(jié)構(gòu)的加固改造研究，主持國家基金2項(xiàng)。本期欄目還刊發(fā)了一篇船閘加固工程及一篇磚木結(jié)構(gòu)建筑的抗震振動(dòng)試驗(yàn)研究。三文并發(fā)，以饗讀者。

Solutions to Fractional Impulsive Integro-differential Equations

WEN Shu1,JI Shao-chun1*,WANG Min2

(1.Faculty of Mathematics and Physics, Huaiyin Institute of Technology, Huai'an Jiangsu 223003, China;2.Library, Huaiyin Institute of Technology, Huai'an Jiangsu 223003, China)

By using fractional calculus and fixed point theorems, we discussed a class of fractional impulsive integro-differential equations. The main method is to transform fractional integro-differential equations into equivalent integral equations. Then the solution existence is obtained under Lipschitz conditions according to Banach contraction principle.

fractional integro-differential equations; impulsive conditions; existence of solutions

2015-07-14

江蘇省高校自然科學(xué)研究面上項(xiàng)目(14KJB110001)；2015年江蘇省自然科學(xué)基金青年基金項(xiàng)目(BK20150415)

溫書(1961- )，男，江蘇淮安人，副教授，主要從事非線性分析與泛函分析研究；*為通訊作者。

O175.15

A

1009-7961(2015)05-0015-03