連峰,王婷婷,韓崇昭

(西安交通大學(xué)電子與信息工程學(xué)院,710049,西安)

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多個(gè)不可分辨目標(biāo)群的聯(lián)合檢測與估計(jì)誤差界

連峰,王婷婷,韓崇昭

(西安交通大學(xué)電子與信息工程學(xué)院,710049,西安)

針對雜波和漏檢同時(shí)存在時(shí)多個(gè)不可分辨目標(biāo)群聯(lián)合檢測與估計(jì)的性能評價(jià)問題,在隨機(jī)有限集框架下,利用信息不等式和最優(yōu)子模式分配距離提出了該問題的誤差(下)界。首先將多個(gè)不可分辨目標(biāo)群的狀態(tài)建模為多Bernoulli隨機(jī)有限集,并利用Mahler提出的連續(xù)個(gè)體目標(biāo)數(shù)假設(shè)建模群目標(biāo)測量似然函數(shù);然后,結(jié)合最大后驗(yàn)概率檢測和無偏估計(jì)準(zhǔn)則獲得了建議的誤差界。仿真實(shí)驗(yàn)展示了該誤差界隨雜波密度和傳感器檢測概率的變化趨勢,并利用不可分辨目標(biāo)群勢概率假設(shè)密度濾波器和不可分辨目標(biāo)群勢平衡多目標(biāo)多Bernoulli濾波器對該誤差界的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)表明,利用該誤差界可以對現(xiàn)有的不可分辨目標(biāo)群聯(lián)合檢測與估計(jì)算法的性能進(jìn)行有效衡量,使其在不同雜波密度和檢測概率下的平均相對誤差不超過7%。

誤差界;不可分辨目標(biāo)群;聯(lián)合檢測與估計(jì);隨機(jī)有限集

由于傳感器分辨率的限制,導(dǎo)致多個(gè)相距較近的點(diǎn)或個(gè)體目標(biāo)不能夠被完全區(qū)分。將這一簇?zé)o法區(qū)分的點(diǎn)或個(gè)體目標(biāo)視為一個(gè)整體,即為一個(gè)不可分辨的目標(biāo)群[1]。目標(biāo)群聯(lián)合檢測與估計(jì)(JDE)問題是指根據(jù)傳感器測量同時(shí)估計(jì)群個(gè)數(shù)和存活群的狀態(tài),它是近年來一個(gè)新的研究熱點(diǎn)。目前,國內(nèi)外已有一些學(xué)者提出了該問題的研究方法[2-4]。

誤差(下)界是指一個(gè)跟蹤算法理論上所能達(dá)到的最小誤差。傳統(tǒng)的克拉美羅下界[5](CRLB)僅考慮了估計(jì)誤差而非檢測誤差,故其不適用于JDE問題。隨后,Rezaeian等在隨機(jī)有限集(RFS)框架下提出了當(dāng)雜波和漏檢同時(shí)存在時(shí)單個(gè)點(diǎn)目標(biāo)的JDE誤差界[6];Tong等給出了該誤差界在有漏檢無雜波時(shí)的遞推形式并將其擴(kuò)展到無雜波無漏檢時(shí)的多個(gè)點(diǎn)目標(biāo)跟蹤場景[7];連峰等給出了單個(gè)擴(kuò)展目標(biāo)的JDE誤差界[8]。然而,至今為止還尚未有關(guān)于多個(gè)目標(biāo)群JDE誤差界的相關(guān)結(jié)論。

為解決此問題,通過將多個(gè)不可分辨目標(biāo)群的狀態(tài)建模為多Bernoulli RFS,并利用Mahler提出的連續(xù)個(gè)體目標(biāo)數(shù)假設(shè)建模群測量似然函數(shù),本文得到了雜波和漏檢同時(shí)存在時(shí)基于最優(yōu)子模式分配(OSPA)距離[9]的不可分辨目標(biāo)群JDE誤差界。仿真實(shí)驗(yàn)展示了該誤差界隨雜波密度和傳感器檢測概率的變化趨勢,并利用不可分辨目標(biāo)群勢概率假設(shè)密度(U-CPHD)濾波器[3]和不可分辨目標(biāo)群勢平衡多目標(biāo)多伯努利(U-CBMeMBer)濾波器[4]對該誤差界的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,利用該誤差界可以對現(xiàn)有的不可分辨目標(biāo)群JDE算法的性能進(jìn)行有效衡量,在不同雜波密度和檢測概率下的平均相對誤差不超過7%。

本文研究對于地面或海面集群目標(biāo)監(jiān)控、遠(yuǎn)距多目標(biāo)編隊(duì)運(yùn)動、目標(biāo)群的算法性能評估和傳感器管理等領(lǐng)域[10]均有潛在的應(yīng)用價(jià)值。本文目前僅關(guān)注于目標(biāo)群靜態(tài)JDE問題的誤差界。

1 問題描述

單個(gè)不可分辨目標(biāo)群的狀態(tài)可建模為擴(kuò)展矢量

(1)

式(1)中,x′用于建模位于同一狀態(tài)x處的由一簇(a個(gè))個(gè)體目標(biāo)構(gòu)成的不可分辨目標(biāo)群的狀態(tài),其中L維列向量x=[x1,…,xL]T∈X?RL表示傳統(tǒng)的單目標(biāo)狀態(tài),a表示該不可分辨目標(biāo)群所包含的個(gè)體目標(biāo)數(shù)。根據(jù)Mahler提出的連續(xù)個(gè)體目標(biāo)數(shù)概念,a∈A?R+為一個(gè)正實(shí)數(shù),X′表示單個(gè)不可分辨目標(biāo)群的狀態(tài)空間,X′=A×X?R+×RL。

令多個(gè)不可分辨目標(biāo)群的狀態(tài)集合為X′,可建模為由N個(gè)獨(dú)立的單Bernoulli RFSsX′(t)并構(gòu)成的多Bernoulli RFS,即

(2)

式中:N表示目標(biāo)群的最大個(gè)數(shù);X′(t)表示單個(gè)不可分辨目標(biāo)群的狀態(tài)集合,密度為

(3)

(5)

式中:|X′|表示集合X′的勢。

記單個(gè)傳感器觀測矢量z∈Z,其中Z表示觀測空間。傳感器觀測集合由目標(biāo)測量和雜波測量構(gòu)成,可表示為

(6)

令?m(a,q)表示整數(shù)m≥0的廣義二項(xiàng)式分布,由概率產(chǎn)生函數(shù)Ga,q(l)定義,利用?m(a,q),單個(gè)不可分辨目標(biāo)群的似然函數(shù)可建模為[11]

(7)

式中:pD(xt)表示至少有一個(gè)源于第t個(gè)不可分辨目標(biāo)群的觀測被傳感器收到的概率;φ(z|xt)表示傳統(tǒng)的單目標(biāo)單測量似然函數(shù)。

2 不可分辨目標(biāo)群JDE誤差界

RFS框架下不可分辨目標(biāo)群JDE問題的均方誤差可定義為

(8)

(9)

(10)

式中:c>0表示截?cái)嗾`差;Πn表示集合{1,2,…,n}的全排列;max(·)和min(·)分別表示取最大值和最小值運(yùn)算;‖·‖2表示取2范數(shù)。

根據(jù)文獻(xiàn)[1]中的基本卷積公式,可得總的傳感器測量似然函數(shù)為

(11)

式中:W0⊕W1⊕…⊕W|X′|=Z表示若i≠j則Wi∩Wj=?,且W0∪W1∪…∪W|X′|=Z,即W0,W1,…,W|X′|是Z的一個(gè)個(gè)數(shù)為|X′|+1的劃分。

本文采用最大后驗(yàn)概率(MAP)檢測準(zhǔn)則估計(jì)不可分辨目標(biāo)群的個(gè)數(shù),給定測量集Z,目標(biāo)群狀態(tài)估計(jì)集合的勢通過最大化后驗(yàn)概率得到,即

(12)

為了獲得不可分辨目標(biāo)群JDE誤差界,需要利用信息不等式[11]:若X×Z上的聯(lián)合概率密度f(x,z)滿足正則條件,則

(13)

i,j=1,2,…,L

(14)

當(dāng)且僅當(dāng)條件概率密度f(x|z)滿足高斯分布時(shí),式(13)取“=”號。

定理1 若多個(gè)不可分辨目標(biāo)群的狀態(tài)集合和測量集合分別滿足如式(2)所示的多Bernoulli模型和如式(6)所示的觀測模型,那么其聯(lián)合MAP檢測與無偏估計(jì)的誤差界為

(15)

其中

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

dz1…dzm

(21)

(22)

(23)

證明 給定觀測集合Zm,可得

(24)

其中

(25)

(26)

(27)

(28)

將式(27)、(28)代入式(24),可得

(29)

對于MAP檢測器,若滿足

(30)

利用式(9)的集合積分定義,可將式(8)寫為

(31)

再根據(jù)式(30)所示的MAP檢測準(zhǔn)則,將式(31)中的積分區(qū)域Zm劃分為Z0,m,Z1,m,…,ZN,m,則

(32)

(33)

(34)

式中:Ωn,m為歸一化因子。

將式(4)、(11)分別代入式(33)、(34),并對式(34)中的z1,…,zm積分后可得

(35)

根據(jù)式(33)和OSPA定義,式(32)可表示為

(36)

(37)

(38)

那么,根據(jù)式(37)、(38),式(36)可寫為

(39)

(40)

根據(jù)式(40),可將式(39)中的積分項(xiàng)寫為

(41)

(42)

(43)

(44)

將式(42)代入式(41)、(39),即可得式(15)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

(45)

式中:U(·;εt)為在區(qū)間εt=[τ1,t,τ2,t]內(nèi)均勻分布的概率密度函數(shù)(τ2,t>τ1,t>0),U(·;εt)=1/(τ2,t-τ1,t);N(·;x0,t,Qt)為高斯分布的概率密度函數(shù),x0,t、Qt分別為均值和協(xié)方差矩陣。

不可分辨目標(biāo)群的似然函數(shù)如式(7)所示,其中單目標(biāo)單測量似然為

(46)

式中:h(xt)表示關(guān)于狀態(tài)xt的觀測函數(shù);R表示測量噪聲協(xié)方差矩陣。

假設(shè)傳感器檢測概率為pD(xt)=pD,t=1,…,N。假設(shè)雜波集合Κ為一個(gè)Poisson RFS,密度可表示為

(47)

式中:υ(z)=λφ(z)為雜波強(qiáng)度;λ為平均雜波數(shù);φ(z)為單個(gè)雜波分布的概率密度。令φ(z)=U(z;S),其中U(·;S)為監(jiān)控區(qū)域內(nèi)均勻分布的概率密度函數(shù),U(·;S)=1/S2。

在本例中,假定監(jiān)控范圍參數(shù)S=100,可能存在的不可分辨目標(biāo)群的最大個(gè)數(shù)N=8,多個(gè)不可分辨目標(biāo)群狀態(tài)集合參數(shù)分別為:r1=r2=0.8,r3=r4=0.6,r5=r6=0.4,r7=r8=0.2,ε1=ε2=[2,4],ε3=ε4=[4,6],ε5=ε6=[6,8],ε7=ε8=[8,10],x0,1=[10,10]T,x0,2=[10,-10]T,x0,3=[-10,10]T,x0,4=[-10,-10]T,x0,5=[30,30]T,x0,6=[30,-30]T,x0,7=[-30,30]T,x0,8=[-30,-30]T,且

(48)

傳感器觀測函數(shù)和觀測噪聲協(xié)方差矩陣分別為

(49)

對不可分辨目標(biāo)群的個(gè)體目標(biāo)數(shù)和位置差的下界分別進(jìn)行展示。令OSPA距離中的個(gè)體目標(biāo)數(shù)截?cái)嗾`差為60,位置截?cái)嗾`差為500。

圖1展示了在不同pD下建議的不可分辨目標(biāo)群JDE誤差界隨λ的變化曲線,反映了給定不同的pD,建議的誤差界并不總是隨λ單調(diào)增,給定不同的λ,建議的誤差界并不總是隨pD單調(diào)減。這是因?yàn)楫?dāng)pD<1或λ>0時(shí),λ或pD的增大均能同時(shí)產(chǎn)生降低群丟失的可能性和增加虛假群估計(jì)兩個(gè)相反的作用,若前者占據(jù)主導(dǎo)作用,該界隨λ或pD的增大而減小,否則該界隨λ或pD的增大而增大。

本例利用U-CPHD濾波器和U-CBMeMBer濾波器兩種算法對建議的界進(jìn)行驗(yàn)證。由于目前該誤差界僅關(guān)注于靜態(tài)問題,因此在上述兩種算法中,令每個(gè)目標(biāo)群狀態(tài)的時(shí)間演化模型為

(50)

圖2給出了建議的界與上述2種算法的穩(wěn)態(tài)誤差的比較結(jié)果。從圖2可以得出以下結(jié)論。

(1)對于不同的雜波密度和檢測概率,盡管U-CPHD和U-CBMeMBer的平均OSPA距離曲線沒有完全達(dá)到本文所建議的誤差界,但兩者均接近于該誤差界,且后者的性能優(yōu)于前者。這是因?yàn)閁-CPHD和U-CBMeMBer算法本身均有不同程度的近似,

并且在它們的粒子濾波實(shí)現(xiàn)中,U-CPHD

(a)群內(nèi)個(gè)體目標(biāo)數(shù)JDE誤差界

(b)群位置JDE誤差界圖1 不同pD下建議的不可分辨目標(biāo)群JDE誤差界隨λ的變化曲線

(a)pD=1時(shí)群內(nèi)個(gè)體目標(biāo)數(shù)的JDE誤差

(b)pD=1時(shí)群位置的JDE誤差

(c)pD=0.6時(shí)群內(nèi)個(gè)體目標(biāo)數(shù)的JDE誤差

(d)pD=0.6時(shí)群位置的JDE誤差

(e)pD=0.2時(shí)群內(nèi)個(gè)體目標(biāo)數(shù)的JDE誤差

(f)pD=0.2時(shí)群位置的JDE誤差圖2 U-CPHD和U-CBMeMBer算法的JDE誤差與建議的界隨λ的變化曲線

在狀態(tài)提取步由于聚類還會引入額外誤差,而U-CBMeMBer無需聚類便可直接提取狀態(tài)。

(2)給定檢測概率、雜波密度越大時(shí),或者給定雜波密度、檢測概率越低時(shí),U-CPHD和U-CBMeMBer在執(zhí)行過程中由于各自算法本身的近似或聚類等因素而增加的誤差會越顯著,導(dǎo)致它們的平均OSPA距離誤差超過建議的誤差界越多。兩者中的最優(yōu)值與該界相比:相對誤差最大不超過12%;不同pD和λ下的平均相對誤差約為7%。這說明本文建議的誤差界能夠正確反映這兩個(gè)不可分辨目標(biāo)群JDE算法可能達(dá)到的最優(yōu)性能,可用作衡量該類算法性能的一個(gè)有效指標(biāo)。

4 總 結(jié)

本文在RFS框架下,根據(jù)信息不等式提出了雜波和漏檢同時(shí)存在時(shí)針對多個(gè)不可分辨目標(biāo)群的JDE誤差界。為了推導(dǎo)該誤差界,首先采用多Bernoulli RFS和連續(xù)個(gè)體目標(biāo)數(shù)假設(shè)建模目標(biāo)群的狀態(tài)和觀測模型,并利用OSPA距離而非傳統(tǒng)的歐式距離定義目標(biāo)群估計(jì)狀態(tài)集和真實(shí)狀態(tài)集間的誤差,最后結(jié)合MAP檢測和無偏估計(jì)準(zhǔn)則獲得本文結(jié)論。仿真實(shí)驗(yàn)表明:利用該誤差界可以對現(xiàn)有的不可分辨目標(biāo)群JDE算法的性能進(jìn)行有效衡量。

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(編輯 趙煒)

Error Bounds of Joint Detection and Estimation for Multiple Unresolved Target-Groups

LIAN Feng,WANG Tingting,HAN Chongzhao

(School of Electronics and Information Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

Aiming at the performance evaluation of joint detection and estimation (JDE) for multiple unresolved target-groups in the presence of clutters and missed detections, an error (lower) bound is proposed using information inequality and optimal sub-pattern assignment distance within the random finite set (RFS) framework. Firstly, the states of multiple unresolved target-groups are modeled as a multi-Bernoulli RFS, and the group observation likelihood is modeled based on the assumption of the continuous individual target number proposed by Mahler. Then, the maximum posterior probability detection criteria and unbiased estimation criteria are used in deriving the proposed bound. Experimental results show that the proposed bound can effectively indicate the performance limits of JDE algorithms for the existing unresolved target-groups, and the average relative error is less than 7% for various clutter density and detection probability.

error bound; unresolved target-group; joint detection and estimation; random finite set

2015-02-01。

連峰(1981—),男,副教授。

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61473217);陜西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014JQ8333)。

10.7652/xjtuxb201511015

TP274

A

0253-987X(2015)11-0089-07